Hipotesis Kontinum

Daftar Isi:

Hipotesis Kontinum
Hipotesis Kontinum

Video: Hipotesis Kontinum

Video: Hipotesis Kontinum
Video: Математик В. Хью Вудин объясняет гипотезу континуума 2024, Maret
Anonim

Navigasi Masuk

  • Isi Entri
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratinjau PDF Teman
  • Penulis dan Info Kutipan
  • Kembali ke atas

Hipotesis Kontinum

Pertama kali diterbitkan Rab 22 Mei 2013

Hipotesis kontinum (CH) adalah salah satu masalah terbuka paling sentral dalam teori himpunan, yang penting untuk alasan matematika dan filosofis.

Masalah sebenarnya muncul dengan kelahiran teori himpunan; memang, dalam banyak hal itu merangsang kelahiran teori himpunan. Pada tahun 1874 Cantor telah menunjukkan bahwa ada korespondensi satu-ke-satu antara bilangan asli dan bilangan aljabar. Lebih mengejutkan lagi, ia menunjukkan bahwa tidak ada korespondensi satu-ke-satu antara bilangan asli dan bilangan real. Mengambil keberadaan korespondensi satu-ke-satu sebagai kriteria ketika dua set memiliki ukuran yang sama (sesuatu yang pasti dia lakukan pada tahun 1878), hasil ini menunjukkan bahwa ada lebih dari satu tingkat infinity dan dengan demikian melahirkan yang lebih tinggi tak terbatas dalam matematika. Cantor segera mencoba menentukan apakah ada set bilangan real tak terbatas yang berukuran sedang, yaitu,apakah ada satu set bilangan real yang tidak terbatas yang tidak dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-ke-satu dengan bilangan alami dan tidak dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-ke-satu dengan bilangan real. Hipotesis kontinum (di bawah satu formulasi) hanyalah pernyataan bahwa tidak ada rangkaian bilangan real. Melalui upayanya untuk membuktikan hipotesis ini yang menyebabkan Cantor mengembangkan teori himpunan menjadi cabang matematika yang canggih.[1]

Meskipun usahanya Cantor tidak bisa menyelesaikan CH. Masalahnya tetap ada dan dianggap sangat penting oleh Hilbert sehingga ia menempatkannya pertama kali dalam daftar masalah terbuka yang terkenal yang akan dihadapi pada abad ke -20. Hilbert juga berjuang untuk menyelesaikan CH, sekali lagi tanpa hasil. Pada akhirnya, kurangnya kemajuan ini dijelaskan oleh hasil gabungan dari Gödel dan Cohen, yang bersama-sama menunjukkan bahwa CH tidak dapat diselesaikan berdasarkan aksioma yang digunakan para ahli matematika; dalam istilah modern, CH tidak tergantung pada teori himpunan Zermelo-Fraenkel yang diperluas dengan Axiom of Choice (ZFC).

Hasil kemerdekaan ini dengan cepat diikuti oleh banyak orang lain. Teknik-teknik independensi begitu kuat sehingga teoretisi segera menemukan diri mereka sibuk dengan perusahaan meta-teoretis untuk membuktikan bahwa pernyataan fundamental tertentu tidak dapat dibuktikan atau disangkal dalam ZFC. Pertanyaan kemudian muncul, apakah ada cara untuk menyelesaikan pernyataan independen. Komunitas ahli matematika dan filsuf matematika sebagian besar terbagi dalam pertanyaan ini. Para pluralis (seperti Cohen) berpendapat bahwa hasil-hasil kemerdekaan secara efektif menyelesaikan pertanyaan dengan menunjukkan bahwa mereka tidak memiliki jawaban. Pada pandangan ini, seseorang dapat mengadopsi suatu sistem di mana,katakanlah CH adalah aksioma dan seseorang dapat mengadopsi sistem di mana ¬CH adalah aksioma dan itu adalah akhir dari masalah-tidak ada pertanyaan mengenai yang mana dari dua ekstensi yang tidak kompatibel adalah yang "benar". Kaum non-pluralis (seperti Gödel) berpendapat bahwa hasil-hasil kemandirian hanya menunjukkan kurangnya sarana kita untuk membatasi kebenaran matematika. Pada pandangan ini, yang dibutuhkan adalah aksioma baru, aksioma yang dibenarkan dan cukup untuk tugas tersebut. Gödel benar-benar melangkah lebih jauh dalam mengusulkan kandidat untuk aksioma baru - aksioma kardinal besar - dan ia menduga bahwa mereka akan menyelesaikan CH. Gödel benar-benar melangkah lebih jauh dalam mengusulkan kandidat untuk aksioma baru - aksioma kardinal besar - dan ia menduga bahwa mereka akan menyelesaikan CH. Gödel benar-benar melangkah lebih jauh dalam mengusulkan kandidat untuk aksioma baru - aksioma kardinal besar - dan ia menduga bahwa mereka akan menyelesaikan CH.

Program Gödel untuk aksioma kardinal besar terbukti sangat sukses. Selama 30 tahun berikutnya ditunjukkan bahwa aksioma kardinal besar menyelesaikan banyak pertanyaan yang terbukti independen selama era kemerdekaan. Namun, CH tidak tersentuh. Situasi berubah menjadi agak ironis karena pada akhirnya ditunjukkan (dalam arti yang dapat dibuat tepat) bahwa meskipun aksioma kardinal besar standar secara efektif menyelesaikan semua pertanyaan kompleksitas di bawah CH, mereka tidak dapat (dengan hasil dari Levy dan Solovay dan lainnya) menyelesaikan CH itu sendiri. Jadi, dalam memilih CH sebagai uji kasus untuk programnya, Gödel meletakkan jarinya tepat pada titik kegagalannya. Karena alasan inilah CH terus memainkan peran sentral dalam pencarian aksioma baru.

Dalam entri ini kami akan memberikan tinjauan umum tentang pendekatan utama untuk menyelesaikan CH dan kami akan membahas beberapa kerangka dasar utama yang menyatakan bahwa CH tidak memiliki jawaban. Subjeknya besar dan kami harus mengorbankan kelengkapan penuh dalam dua dimensi. Pertama, kita belum bisa membahas masalah filosofis utama yang ada di latar belakang. Untuk ini pembaca diarahkan ke entri “Kardinal Besar dan Penentuan”, yang berisi diskusi umum tentang hasil kemerdekaan, sifat aksioma, sifat justifikasi, dan keberhasilan aksioma kardinal besar di ranah “di bawah CH”. Kedua, kami belum dapat mendiskusikan setiap pendekatan untuk CH yang ada dalam literatur. Alih-alih, kami membatasi diri pada pendekatan-pendekatan yang tampak paling menjanjikan dari sudut pandang filosofis dan di mana matematika telah dikembangkan menjadi negara yang cukup maju. Dalam pendekatan yang akan kita bahas - memaksa aksioma, teori model dalam, kardinal quasi-large - matematika telah ditekan ke tahap yang sangat maju selama 40 tahun. Dan ini membuat tugas kami agak sulit. Kami telah mencoba menjaga diskusi agar dapat diakses semaksimal mungkin dan kami telah menempatkan lebih banyak item teknis di catatan akhir. Tetapi pembaca harus ingat bahwa kami menyajikan pandangan mata burung dan bahwa untuk resolusi yang lebih tinggi pada titik mana pun pembaca harus mencelupkan ke dalam bacaan yang disarankan yang muncul di akhir setiap bagian. Dalam pendekatan yang akan kita bahas - memaksa aksioma, teori model dalam, kardinal quasi-large - matematika telah ditekan ke tahap yang sangat maju selama 40 tahun. Dan ini membuat tugas kami agak sulit. Kami telah mencoba menjaga diskusi agar dapat diakses semaksimal mungkin dan kami telah menempatkan lebih banyak item teknis di catatan akhir. Tetapi pembaca harus ingat bahwa kami menyajikan pandangan mata burung dan bahwa untuk resolusi yang lebih tinggi pada titik mana pun pembaca harus mencelupkan ke dalam bacaan yang disarankan yang muncul di akhir setiap bagian. Dalam pendekatan yang akan kita bahas - memaksa aksioma, teori model dalam, kardinal quasi-large - matematika telah ditekan ke tahap yang sangat maju selama 40 tahun. Dan ini membuat tugas kami agak sulit. Kami telah mencoba menjaga diskusi agar dapat diakses semaksimal mungkin dan kami telah menempatkan lebih banyak item teknis di catatan akhir. Tetapi pembaca harus ingat bahwa kami menyajikan pandangan mata burung dan bahwa untuk resolusi yang lebih tinggi pada titik mana pun pembaca harus mencelupkan ke dalam bacaan yang disarankan yang muncul di akhir setiap bagian. Kami telah mencoba menjaga diskusi agar dapat diakses semaksimal mungkin dan kami telah menempatkan lebih banyak item teknis di catatan akhir. Tetapi pembaca harus ingat bahwa kami menyajikan pandangan mata burung dan bahwa untuk resolusi yang lebih tinggi pada titik mana pun pembaca harus mencelupkan ke dalam bacaan yang disarankan yang muncul di akhir setiap bagian. Kami telah mencoba menjaga diskusi agar dapat diakses semaksimal mungkin dan kami telah menempatkan lebih banyak item teknis di catatan akhir. Tetapi pembaca harus ingat bahwa kami menyajikan pandangan mata burung dan bahwa untuk resolusi yang lebih tinggi pada titik mana pun pembaca harus mencelupkan ke dalam bacaan yang disarankan yang muncul di akhir setiap bagian.[2]

Sebenarnya ada dua jenis pendekatan untuk aksioma baru - pendekatan lokal dan pendekatan global. Pada pendekatan lokal kita mencari aksioma yang menjawab pertanyaan mengenai fragmen alam semesta yang dapat ditentukan, seperti V such + 1 atau V ω + 2, di mana CH terletak. Pada pendekatan global kita mencari aksioma yang berusaha untuk menerangi seluruh struktur alam semesta set. Pendekatan global jelas jauh lebih menantang. Dalam entri ini kita akan mulai dengan pendekatan lokal dan menjelang akhir kita akan secara singkat menyentuh pendekatan global.

Berikut ini adalah ikhtisar dari entri: Bagian 1 mensurvei hasil kemerdekaan dalam aritmatika kardinal, yang mencakup kasus kardinal reguler (di mana CH terletak) dan kardinal tunggal. Bagian 2 mempertimbangkan pendekatan untuk CH di mana seseorang secara berturut-turut memverifikasi hierarki perkiraan untuk CH, yang masing-masing merupakan versi "efektif" dari CH. Pendekatan ini mengarah pada penemuan Woodin yang luar biasa bahwa adalah mungkin (di hadapan kardinal besar) untuk memiliki kegagalan efektif CH, dengan demikian menunjukkan, bahwa kegagalan efektif CH adalah sama sulitnya (sehubungan dengan aksioma kardinal besar) sebagai CH itu sendiri. Bagian 3 berlanjut dengan perkembangan yang berasal dari penemuan ini. Inti dari diskusi adalah penemuan model "kanonik" di mana CH gagal. Ini membentuk dasar dari jaringan hasil yang secara kolektif disajikan oleh Woodin sebagai kasus kegagalan CH. Untuk menyajikan kasus ini dalam bentuk yang paling efisien, kami memperkenalkan logika Ω-logika yang kuat. Bagian 4 mengambil pandangan dasar yang bersaing bahwa tidak ada solusi untuk CH. Pandangan ini dipertajam dalam hal konsepsi multiverse generik tentang kebenaran dan pandangan itu kemudian diteliti. Bagian 5 melanjutkan penilaian kasus untuk ¬CH dengan menyelidiki kasus paralel untuk CH. Dalam dua bagian yang tersisa kita beralih ke pendekatan global untuk aksioma baru dan di sini kita akan jauh lebih singkat. Bagian 6 membahas pendekatan melalui teori model dalam. Bagian 7 membahas pendekatan melalui aksioma kardinal semu-besar. Untuk menyajikan kasus ini dalam bentuk yang paling efisien, kami memperkenalkan logika Ω-logika yang kuat. Bagian 4 mengambil pandangan dasar yang bersaing bahwa tidak ada solusi untuk CH. Pandangan ini dipertajam dalam hal konsepsi multiverse generik tentang kebenaran dan pandangan itu kemudian diteliti. Bagian 5 melanjutkan penilaian kasus untuk ¬CH dengan menyelidiki kasus paralel untuk CH. Dalam dua bagian yang tersisa kita beralih ke pendekatan global untuk aksioma baru dan di sini kita akan jauh lebih singkat. Bagian 6 membahas pendekatan melalui teori model dalam. Bagian 7 membahas pendekatan melalui aksioma kardinal semu-besar. Untuk menyajikan kasus ini dalam bentuk yang paling efisien, kami memperkenalkan logika Ω-logika yang kuat. Bagian 4 mengambil pandangan dasar yang bersaing bahwa tidak ada solusi untuk CH. Pandangan ini dipertajam dalam hal konsepsi multiverse generik tentang kebenaran dan pandangan itu kemudian diteliti. Bagian 5 melanjutkan penilaian kasus untuk ¬CH dengan menyelidiki kasus paralel untuk CH. Dalam dua bagian yang tersisa kita beralih ke pendekatan global untuk aksioma baru dan di sini kita akan jauh lebih singkat. Bagian 6 membahas pendekatan melalui teori model dalam. Bagian 7 membahas pendekatan melalui aksioma kardinal semu-besar. Bagian 5 melanjutkan penilaian kasus untuk ¬CH dengan menyelidiki kasus paralel untuk CH. Dalam dua bagian yang tersisa kita beralih ke pendekatan global untuk aksioma baru dan di sini kita akan jauh lebih singkat. Bagian 6 membahas pendekatan melalui teori model dalam. Bagian 7 membahas pendekatan melalui aksioma kardinal semu-besar. Bagian 5 melanjutkan penilaian kasus untuk ¬CH dengan menyelidiki kasus paralel untuk CH. Dalam dua bagian yang tersisa kita beralih ke pendekatan global untuk aksioma baru dan di sini kita akan jauh lebih singkat. Bagian 6 membahas pendekatan melalui teori model dalam. Bagian 7 membahas pendekatan melalui aksioma kardinal semu-besar.

  • 1 Kemandirian dalam Aritmatika Kardinal

    • 1.1 Kardinal Biasa
    • 1.2 Kardinal Singular
  • 2 Versi Pasti dari Hipotesis Continuum dan Negasinya

    • 2.1 Tiga Versi
    • 2.2 Program Foreman-Magidor
  • 3 Kasing untuk ¬CH

    • 3,1 ℙ maks
    • 3,2 Log-Logika
    • 3.3 Kasing
  • 4 Multiverse

    • 4.1 Tampilan Multiverse Luas
    • 4.2 Multiverse Generik
    • 4.3 The ject Conjecture dan Generic Multiverse
    • 4.4 Apakah Ada Jalan Keluar?
  • 5 Kasus Lokal Ditinjau Kembali

    • 5.1 Kasing untuk ¬CH
    • 5.2 Kasus Paralel untuk CH
    • 5.3 Penilaian
  • 6 Model Bagian Utama
  • 7 Teori Struktur L (V λ + 1)
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Daya Internet lainnya
  • Entri terkait

1. Kemandirian dalam Aritmatika Kardinal

Pada bagian ini kita akan membahas hasil independensi dalam hitung kardinal. Pertama, kita akan membahas kasus kardinal reguler, di mana CH terletak dan di mana sangat sedikit ditentukan dalam konteks ZFC. Kedua, demi kelengkapan, kita akan membahas kasus kardinal tunggal, di mana lebih banyak lagi yang dapat ditetapkan dalam konteks ZFC.

1.1 Kardinal Biasa

Penambahan dan penggandaan bilangan kardinal tak terbatas adalah sepele: Untuk kardinal tak terbatas κ dan λ,

κ + λ = κ ⋅ λ = maks {κ, λ}.

Situasi menjadi menarik ketika seseorang beralih ke eksponensial dan upaya untuk menghitung κ λ untuk kardinal tak terbatas.

Selama fajar teori himpunan Cantor menunjukkan bahwa untuk setiap kardinal κ,

2 κ > κ.

Tidak ada misteri tentang ukuran 2 n untuk hingga n. Pertanyaan alami pertama adalah di mana 2 0 terletak di aleph-hierarki: Apakah ℵ 1, ℵ 2,…, ℵ 17 atau sesuatu yang jauh lebih besar?

Kardinal 2 0 penting karena ukuran kontinum (himpunan bilangan real). Hipotesis kontinum terkenal Cantor (CH) adalah pernyataan bahwa 2 0 = ℵ 1. Ini adalah kasus khusus dari hipotesis kontinum umum (GCH) yang menyatakan bahwa untuk semua α, 2 α = ℵ α + 1. Salah satu kelebihan GCH adalah memberikan solusi lengkap untuk masalah komputasi κ λ untuk kardinal tak terbatas: Dengan asumsi GCH, jika κ ≤ λ maka κ λ = λ +; jika cf (κ) ≤ λ ≤ κ maka κ λ = κ +; dan jika λ <cf (κ) maka κ λ = κ.

Sangat sedikit kemajuan yang dibuat pada CH dan GCH. Faktanya, di era awal teori himpunan, satu-satunya bagian dari kemajuan di luar hasil Cantor adalah 2 κ > κ (dan hasil sepele bahwa jika κ ≤ λ maka 2 κ ≤ 2 λ) adalah hasil König yang cf (2 κ) > κ. Penjelasan tentang kurangnya kemajuan disediakan oleh hasil independensi dalam teori himpunan:

Teorema 1.1 (Gödel 1938a, 1938b).
Asumsikan bahwa ZFC konsisten. Maka ZFC + CH dan ZFC + GCH konsisten.

Untuk membuktikan ini, Gödel menemukan metode inner model -dia menunjukkan bahwa CH dan GCH diadakan di model dalam minimal L dari ZFC. Cohen kemudian melengkapi hasil ini:

Teorema 1.2 (Cohen 1963).
Asumsikan bahwa ZFC konsisten. Maka ZFC + ¬CH dan ZFC + ¬GCH konsisten.

Dia melakukan ini dengan menciptakan metode model luar dan menunjukkan bahwa CH gagal dalam generik perpanjangan V B V. Hasil gabungan dari Gödel dan Cohen dengan demikian menunjukkan bahwa dengan asumsi konsistensi ZFC, pada prinsipnya tidak mungkin untuk menyelesaikan CH atau GCH di ZFC.

Pada musim gugur 1963 Easton menyelesaikan gambar dengan menunjukkan bahwa untuk kardinal reguler tak terbatas κ satu-satunya kendala pada fungsi κ ↦ 2 κ yang dapat dibuktikan dalam ZFC adalah kendala sepele dan hasil Cantor dan König:

Teorema 1.3 (Easton 1963).

Asumsikan bahwa ZFC konsisten. Misalkan F adalah fungsi (kelas yang dapat didefinisikan) yang didefinisikan pada kardinal reguler tak terbatas sedemikian rupa sehingga

  1. jika κ ≤ λ maka F (κ) ≤ F (λ),
  2. F (κ)> κ, dan
  3. cf (F (κ))> κ.
Kemudian ZFC + “Untuk semua kardinal reguler tak terbatas κ, 2 κ = F (κ)” konsisten.

Dengan demikian, teoretisi himpunan telah mendorong aritmatika kardinal dari kardinal reguler sejauh yang bisa didorong dalam batas-batas ZFC.

1.2 Kardinal Singular

Kasus aritmatika kardinal pada kardinal tunggal jauh lebih halus. Demi kelengkapan kami berhenti sejenak untuk membahas ini sebelum melanjutkan dengan hipotesis kontinum.

Secara umum diyakini bahwa, seperti dalam kasus kardinal biasa, perilaku fungsi κ ↦ 2 κ akan relatif tidak dibatasi dalam pengaturan ZFC. Tetapi kemudian Silver membuktikan hasil luar biasa berikut: [3]

Teorema 1.4 (Perak 1974).
Jika ℵ δ adalah kardinal singular dengan cofinality yang tidak terhitung, maka, jika GCH bertahan di bawah ℵ δ, maka GCH bertahan di ℵ δ.

Ternyata (dengan hasil mendalam dari Magidor, yang diterbitkan pada tahun 1977) GCH dapat gagal pertama kali pada fail ω (dengan asumsi konsistensi kardinal superkompak). Teorema Silver menunjukkan bahwa ia tidak dapat gagal pertama pada ℵ ω 1 dan ini dapat dibuktikan dalam ZFC.

Hal ini menimbulkan pertanyaan apakah seseorang dapat "mengendalikan" ukuran 2 δ dengan asumsi yang lebih lemah daripada ℵ δ adalah kardinal tunggal dari kofinalitas tak terhitung sehingga GCH bertahan di bawah ℵ δ. Hipotesis alami yang perlu dipertimbangkan adalah ℵ δ adalah kardinal singular dari kofinalitas tak terhitung yang merupakan kardinal batas kuat, yaitu, untuk semua α <ℵ δ, 2 α <ℵ δ. Pada tahun 1975 Galvin dan Hajnal membuktikan (antara lain) bahwa di bawah asumsi yang lebih lemah ini memang ada batas:

Teorema 1.5 (Galvin dan Hajnal 1975).

Jika ℵ δ adalah kardinal batas kuat tunggal dari cofinality yang tidak terhitung maka

2 δ <ℵ (| δ | cf (δ)) +.

Mungkin saja ada lompatan, Woodin menunjukkan (sekali lagi dengan asumsi kardinal besar) bahwa ada kemungkinan bahwa untuk semua κ, 2 κ = κ ++. Apa yang ditunjukkan teorema di atas adalah bahwa di ZFC ada batasan yang dapat dibuktikan tentang seberapa besar lompatan itu.

Pertanyaan selanjutnya adalah apakah situasi yang sama berlaku dengan kardinal singular dari cofinality yang dapat dihitung. Pada 1978 Shelah menunjukkan bahwa memang inilah masalahnya. Untuk memperbaiki ide, mari kita berkonsentrasi pada ℵ ω.

Teorema 1.6 (Shelah 1978).

Jika ℵ ω adalah kardinal batas kuat, maka

2 ω <ℵ (2 0) +.

Salah satu kelemahan dari hasil ini adalah bahwa ikatan peka terhadap ukuran sebenarnya dari 2 0, yang bisa berupa apa saja di bawah ℵ ω. Luar biasa Shelah kemudian dapat memperbaiki ini dengan pengembangan teori pcf (kemungkinan cofinalities). Satu hasil yang sangat dapat dikutip dari teori ini adalah sebagai berikut:

Teorema 1.7 (Shelah 1982).

Jika ℵ ω adalah kardinal batas kuat maka (terlepas dari ukuran 2 0)

2 ω <ℵ ω 4.

Ringkasnya, walaupun fungsi kontinum pada kardinal reguler relatif tidak dibatasi pada ZFC, fungsi kontinum pada kardinal singular (terbukti dalam ZFC) dibatasi secara signifikan oleh perilaku fungsi kontinum pada kardinal yang lebih kecil.

Bacaan Lebih Lanjut: Untuk aritmatika kardinal lebih lanjut lihat Jech (2003). Untuk lebih lanjut tentang kasus kardinal tunggal dan teori pcf lihat Abraham & Magidor (2010) dan Holz, Steffens & Weitz (1999).

2. Versi Jelas Hipotesis Continuum dan Negasinya

Mari kita kembali ke fungsi kontinum pada kardinal biasa dan berkonsentrasi pada case paling sederhana, ukuran 2 0. Salah satu pendekatan awal Cantor terhadap CH adalah dengan menginvestigasi set angka nyata “sederhana” (lihat Hallett (1984), hlm. 3–5 dan §2.3 (b)). Salah satu hasil pertama dalam arah ini adalah teorema Cantor-Bendixson bahwa setiap himpunan tertutup tanpa batas dapat dihitung atau berisi himpunan bagian yang sempurna, dalam hal ini memiliki kardinalitas yang sama dengan himpunan real. Dengan kata lain, CH memegang (dalam formulasi ini) ketika seseorang membatasi perhatiannya pada serangkaian real tertutup. Secara umum, pertanyaan tentang set real "dapat didefinisikan" lebih mudah ditelusuri daripada pertanyaan tentang set real arbitrary dan ini menunjukkan melihat versi yang dapat didefinisikan dari hipotesis kontinum.

2.1 Tiga Versi

Ada tiga formulasi yang berbeda dari hipotesis kontinum-versi interpolant, versi pemesanan yang baik, dan versi perkiraan. Versi-versi ini semuanya setara satu sama lain dalam ZFC tetapi kami akan memaksakan batasan keterjelasan dan dalam hal ini mungkin ada perbedaan yang menarik (diskusi kami mengikuti Martin (1976)). Benar-benar ada sebuah hierarki gagasan tentang keterjangkauan - mulai dari hierarki Borel, hierarki projektif, hierarki dalam L (ℝ), dan, lebih umum, hierarki set Baire secara universal - dan masing-masing dari ketiga versi umum ini adalah benar-benar sebuah hierarki versi, masing-masing sesuai dengan level tertentu dari hierarki definability (untuk diskusi tentang hierarki definability lihat §2.2.1 dan §4.6 dari entri “Cardinals Besar dan Penentuan”).

2.1.1 Versi Interpolant

Formulasi pertama CH adalah bahwa tidak ada interpolant, yaitu, tidak ada himpunan A tak terbatas dari bilangan real sedemikian sehingga kardinalitas A benar-benar antara bilangan alami dan bilangan real. Untuk mendapatkan versi yang dapat didefinisikan, orang hanya menegaskan bahwa tidak ada interpolant yang “dapat didefinisikan” dan ini mengarah ke hierarki versi interpolant yang dapat ditentukan, tergantung pada gagasan tentang definabilitas yang digunakan seseorang. Lebih tepatnya, untuk kelas poin tertentu Γ dalam hirarki set real yang dapat didefinisikan, versi interpolant yang dapat didefinisikan yang sesuai dari CH menyatakan bahwa tidak ada interpolant dalam Γ.

Teorema Cantor-Bendixson menunjukkan bahwa tidak ada interpolant dalam Γ dalam kasus di mana Γ adalah kelas titik set tertutup, sehingga memverifikasi versi CH ini. Ini ditingkatkan oleh Suslin yang menunjukkan bahwa versi CH ini berlaku untuk Γ di mana Γ adalah kelas set Σ̰11. Seseorang tidak dapat melangkah lebih jauh dalam ZFC - untuk membuktikan versi yang lebih kuat, seseorang harus membawa asumsi yang lebih kuat. Ternyata aksioma dari determinasi yang pasti dan aksioma kardinal yang besar mencapai ini. Sebagai contoh, hasil Kechris dan Martin menunjukkan bahwa jika n1 n -determinacy berlaku maka versi CH ini berlaku untuk pointclass set Σ̰1n + 1. Lebih jauh, jika seseorang mengasumsikan AD L (ℝ)maka versi CH ini berlaku untuk semua set bilangan real yang muncul dalam L (ℝ). Karena hipotesis-hipotesis ini mengikuti dari aksioma kardinal besar, seseorang juga memiliki asumsi kardinal besar yang lebih kuat dan lebih kuat mengamankan versi yang lebih kuat dan lebih kuat dari versi ini dari hipotesis kontinum yang efektif. Memang aksioma kardinal besar menyiratkan bahwa versi CH ini berlaku untuk semua rangkaian realita dalam hierarki kepastian yang kita pertimbangkan; lebih tepatnya, jika ada kelas kardinal Woodin yang tepat maka versi CH ini berlaku untuk semua set real Baire secara universal.

2.1.2 Versi yang dipesan dengan baik

Formulasi kedua dari CH menyatakan bahwa setiap pemesanan dengan baik dari real memiliki tipe pesanan kurang dari ℵ 2. Untuk pointclass Γ yang diberikan dalam hierarki, versi CH yang sesuai dengan pesanan yang dapat didefinisikan menyatakan bahwa setiap pemesanan dengan baik (diberi kode oleh himpunan) di Γ memiliki jenis pesanan kurang dari ℵ 2.

Sekali lagi, aksioma dari determinasi yang pasti dan aksioma kardinal yang besar menyiratkan versi CH ini untuk pengertian yang lebih kaya tentang definability. Misalnya, jika AD L (ℝ) berlaku maka versi CH ini berlaku untuk semua set bilangan real dalam L (ℝ). Dan jika ada kelas kardinal Woodin yang tepat maka versi CH ini berlaku untuk semua set real Baire secara universal.

2.1.3 Versi Surjection

Perumusan CH versi ketiga menyatakan bahwa tidak ada penolakan ρ: ℝ → ℵ 2, atau, dengan kata lain, bahwa tidak ada prapenahapan ℝ dengan panjang ℵ 2. Untuk kelas poin tertentu Γ dalam hierarki definability, versi surtion yang sesuai dari CH menyatakan bahwa tidak ada surjection ρ: ℝ → ℵ 2 sedemikian rupa sehingga (kode untuk) ρ berada di Γ.

Di sini situasinya lebih menarik. Aksioma determinasi yang pasti dan aksioma kardinal yang besar berpengaruh pada versi ini karena mereka menempatkan batas pada berapa lama prewellordering dapat didefinisikan. Biarkan δ̰1 n menjadi supremum dari panjang Σ̰1 n -pengaturan pemesanan real dan biarkan Θ L (ℝ) menjadi supremum dari panjang prapengaturan real di mana prewellordering dapat didefinisikan dalam arti berada di L (ℝ). Ini adalah hasil klasik yang δ̰11 = ℵ 1. Martin menunjukkan bahwa δ̰12 ≤ ℵ 2 dan bahwa jika ada kardinal yang terukur maka δ̰13 ≤ ℵ 3. Kunen dan Martin juga menunjukkan di bawah PD, δ̰14 ≤ ℵ 4 dan Jackson menunjukkan bahwa di bawah PD, untuk setiap n <ω, δ̰1 n <ℵ ω. Jadi, dengan anggapan bahwa ada banyak kardinal Woodin yang tak terhingga, batasan ini berlaku. Selain itu, batas terus ditahan terlepas dari ukuran 2 0. Tentu saja, pertanyaannya adalah apakah batas-batas ini dapat ditingkatkan untuk menunjukkan bahwa pemesanan sebelum perang lebih pendek dari ℵ 2. Pada tahun 1986 Foreman dan Magidor memulai program untuk membangun ini. Dalam bentuk yang paling umum mereka bertujuan untuk menunjukkan bahwa aksioma kardinal besar menyiratkan bahwa versi CH ini berlaku untuk semua rangkaian real Baire secara universal.

2.1.4 Potensi Bantalan pada CH

Perhatikan bahwa dalam konteks ZFC, ketiga hierarki versi CH ini semuanya merupakan perkiraan CH dan dalam kasus batas, di mana Γ adalah kelas titik dari semua set real, semuanya setara dengan CH. Pertanyaannya adalah apakah perkiraan ini dapat memberikan wawasan tentang CH itu sendiri.

Ada asimetri yang ditunjukkan oleh Martin, yaitu, bahwa counterexample yang dapat didefinisikan untuk CH adalah counterexample yang nyata, sementara tidak peduli seberapa jauh seseorang menghasilkan verifikasi versi CH yang dapat didefinisikan pada tahap apa pun seseorang tidak akan menyentuh CH itu sendiri. Dengan kata lain, pendekatan definability bisa menyangkal CH tetapi tidak bisa membuktikannya.

Namun, orang mungkin berpendapat bahwa meskipun pendekatan definability tidak dapat membuktikan CH, ia mungkin memberikan beberapa bukti untuk itu. Dalam kasus dua versi pertama kita sekarang tahu bahwa CH berlaku untuk semua set yang dapat didefinisikan. Apakah ini memberikan bukti CH? Martin menunjukkan (sebelum hasil lengkap diketahui) bahwa ini sangat diragukan karena dalam setiap kasus seseorang berurusan dengan set yang tidak lazim. Sebagai contoh, dalam versi pertama, pada setiap tahap satu mengamankan versi CH yang dapat didefinisikan dengan menunjukkan bahwa semua set di kelas definability memiliki properti set yang sempurna; namun set tersebut tidak lazim dalam asumsi bahwa AC mudah untuk menunjukkan bahwa ada set tanpa properti ini. Dalam versi kedua, pada setiap tahap satu benar-benar menunjukkan tidak hanya bahwa setiap pemesanan dengan baik real di kelas definability memiliki jenis teks kurang dari ℵ 2, tetapi juga memiliki jenis teks kurang dari ℵ 1. Jadi tidak satu pun dari versi ini yang benar-benar menerangi CH.

Versi ketiga sebenarnya memiliki keunggulan dalam hal ini karena tidak semua set yang berurusan dengan tidak biasa. Misalnya, sementara semua Σ̰11-set memiliki panjang kurang dari ℵ 1, ada Π̰11-set panjang ℵ 1. Tentu saja, itu bisa berubah bahwa bahkan jika program Foreman-Magidor berhasil, set bisa berubah menjadi tidak khas dalam arti lain, dalam hal ini akan sedikit menjelaskan CH. Namun, yang lebih menarik adalah kemungkinan bahwa berbeda dengan dua versi pertama, itu sebenarnya akan memberikan contoh tandingan aktual untuk CH. Ini, tentu saja, akan memerlukan kegagalan program Foreman-Magidor.

2.2 Program Foreman-Magidor

Tujuan dari program Foreman-Magidor adalah untuk menunjukkan bahwa aksioma kardinal besar juga menyiratkan bahwa versi ketiga CH diadakan untuk semua set dalam L (ℝ) dan, lebih umum, semua set Baire secara universal. Dengan kata lain, tujuannya adalah untuk menunjukkan bahwa aksioma kardinal besar menyiratkan bahwa Θ L (ℝ) ≤ ℵ 2 dan, lebih umum, bahwa Θ L (A, ℝ)2 untuk setiap set Baire yang universal.

Motivasi datang dari hasil merayakan Foreman, Magidor dan Shelah on the Martin's Maximum (MM), yang menunjukkan bahwa dengan asumsi aksioma kardinal yang besar seseorang selalu dapat memaksa untuk mendapatkan cita-cita terjal pada ℵ 2 tanpa runtuh ℵ 2 (lihat Mandor, Magidor & Shelah) (1988)). Program ini melibatkan strategi dua bagian:

  1. Perkuat hasil ini untuk menunjukkan bahwa dengan asumsi aksioma kardinal besar seseorang selalu dapat memaksa untuk mendapatkan ideal jenuh pada ℵ 2 tanpa runtuh ℵ 2.
  2. Tunjukkan bahwa keberadaan ideal jenuh seperti itu menyiratkan bahwa Θ L (ℝ) ≤ ℵ 2 dan, lebih umum bahwa Θ L (A, ℝ)2 untuk setiap universal Baire set A.

Ini akan menunjukkan bahwa menunjukkan bahwa Θ L (ℝ) ≤ ℵ 2 dan, lebih umum bahwa Θ L (A, ℝ)2 untuk setiap set Baire yang universal. [4]

Pada Desember 1991, hasil berikut menghancurkan harapan program ini.

Teorema 2.1 (Woodin).
Asumsikan bahwa ideal non-stasioner pada ℵ 1 jenuh dan ada kardinal yang terukur. Kemudian δ̰12 = ℵ 2.

Intinya adalah bahwa hipotesis teorema ini selalu dapat dipaksakan dengan asumsi kardinal besar. Dengan demikian, dimungkinkan untuk memiliki Θ L (ℝ) > ℵ 2 (pada kenyataannya, δ̰13> ℵ 2).

Di mana programnya salah? Foreman dan Magidor memiliki perkiraan ke (B) dan pada akhirnya ternyata (B) benar.

Teorema 2.2 (Woodin).
Asumsikan ada kelas kardinal Woodin yang tepat dan ada ideal jenuh pada ℵ 2. Kemudian untuk setiap A ∈ Γ , Θ L (A, ℝ) ≤ ℵ 2.

Jadi masalahnya adalah dengan (A).

Ini menggambarkan kontras yang menarik antara tiga versi kami dari hipotesis kontinum efektif, yaitu, bahwa mereka dapat terpisah. Untuk sementara kardinal besar mengesampingkan contoh tandingan dari dua jenis pertama, mereka tidak dapat mengesampingkan contoh tandingan dari jenis ketiga. Tetapi sekali lagi kita harus menekankan bahwa mereka tidak dapat membuktikan bahwa ada contoh tandingan seperti itu.

Tetapi ada poin penting: Mengasumsikan aksioma kardinal besar (AD L (ℝ) sudah mencukupi), meskipun kita dapat menghasilkan model luar di mana δ̰13> ℵ 2 saat ini tidak diketahui bagaimana menghasilkan model luar di mana δ̰13> ℵ 3 atau bahkan Θ L (ℝ) > ℵ 3. Jadi itu adalah kemungkinan terbuka bahwa dari ZFC + AD L (ℝ) orang dapat membuktikan Θ L (ℝ) ≤ ℵ 3. Jika ini masalahnya, maka akan terjadi bahwa meskipun kardinal besar tidak dapat mengesampingkan kegagalan CH yang pasti, mereka dapat mengesampingkan kegagalan yang dapat ditentukan dari 2 0 = ℵ 2. Ini bisa memberikan beberapa wawasan tentang ukuran kontinum, menggarisbawahi sentralitas ℵ 2.

Bacaan Lebih Lanjut: Untuk lebih lanjut tentang tiga versi efektif CH lihat Martin (1976); untuk lebih lanjut tentang program Foreman-Magidor lihat Foreman & Magidor (1995) dan pengantar Woodin (1999).

3. Kasing untuk ¬CH

Hasil di atas membawa Woodin ke identifikasi model "kanonik" di mana CH gagal dan ini membentuk dasar dari argumennya bahwa CH salah. Dalam Bagian 3.1 kami akan menjelaskan model dan di bagian selanjutnya kami akan menyajikan kasus untuk kegagalan CH. Dalam Bagian 3.2 kami akan memperkenalkan logika and dan gagasan lain yang diperlukan untuk membuat kasus ini. Dalam Bagian 3.3 kami akan menyajikan kasus ini.

3,1 ℙ maks

Tujuannya adalah untuk menemukan model di mana CH salah dan yang kanonik dalam arti bahwa teorinya tidak dapat diubah dengan menetapkan memaksa di hadapan kardinal besar. Motivasi latar belakangnya adalah ini: Pertama, kita tahu bahwa di hadapan aksioma kardinal besar teori aritmatika orde kedua dan bahkan seluruh teori L (ℝ) tidak berubah-ubah dalam pemaksaan pemaksaan. Pentingnya ini menunjukkan bahwa teknik independensi utama kami tidak dapat digunakan untuk menentukan independensi pertanyaan tentang aritmatika orde dua (atau tentang L (ℝ)) di hadapan kardinal besar. Kedua,pengalaman telah menunjukkan bahwa aksioma kardinal besar yang dimaksud tampaknya menjawab semua masalah terbuka utama yang diketahui tentang aritmatika orde kedua dan L (ℝ) dan set teorema invarian memaksa memberikan konten yang tepat untuk klaim bahwa aksioma ini “secara efektif selesai”.[5]

Oleh karena itu jika ℙ adalah urutan parsial homogen dalam L (ℝ) maka ekstensi generik L (ℝ) mewarisi kemutlakan generik L (ℝ). Woodin menemukan bahwa ada urutan parsial khusus ℙ max yang memiliki fitur ini. Selain itu, model L (ℝ) max memenuhi ZFC + ¬CH. Fitur utama dari model ini adalah "maksimal" (atau "jenuh") berkenaan dengan kalimat-kalimat yang memiliki kompleksitas tertentu dan yang dapat ditunjukkan konsisten melalui set forcing atas model; dengan kata lain, jika kalimat-kalimat ini dapat menahan (dengan mengatur pemaksaan atas model) maka mereka menahan model tersebut. Untuk menyatakan ini dengan lebih tepat, kita harus memperkenalkan beberapa gagasan yang agak teknis.

Ada dua cara stratifikasi semesta set. Yang pertama adalah dalam hal ⟨V α | α ∈ Pada⟩, yang kedua adalah dalam hal ⟨H (κ) | κ ∈ Card⟩, di mana H (κ) adalah himpunan semua himpunan yang memiliki kardinalitas kurang dari κ dan yang anggotanya memiliki kardinalitas kurang dari κ, dan yang anggota anggotanya memiliki kardinalitas kurang dari κ, dan seterusnya. Misalnya, H (ω) = V ω dan teori-teori struktur H (ω 1) dan V ω + 1saling ditafsirkan. Struktur terakhir ini adalah struktur aritmatika orde kedua dan, seperti yang disebutkan di atas, aksioma kardinal besar memberi kita pemahaman "secara efektif lengkap" tentang struktur ini. Kita harus berada dalam posisi yang sama sehubungan dengan fragmen-fragmen yang lebih besar dan lebih besar dari alam semesta dan pertanyaannya adalah apakah kita harus melanjutkan dalam hal stratifikasi pertama atau kedua.

Stratifikasi kedua berpotensi lebih halus. Dengan asumsi CH satu memiliki teori H (ω 2) dan V ω + 2 yang saling ditafsirkan dan mengasumsikan fragmen yang lebih besar dan lebih besar dari GCH korespondensi ini berlanjut ke atas. Tetapi jika CH salah, maka struktur H (ω 2) kurang kaya daripada struktur V ω 2. Dalam peristiwa ini struktur yang terakhir menangkap aritmatika urutan ketiga penuh, sedangkan yang pertama hanya menangkap sebagian kecil aritmatika urutan ketiga tetapi cukup kaya untuk mengekspresikan CH. Mengingat hal ini, dalam upaya untuk memahami semesta set dengan bekerja melalui tingkat demi tingkat, adalah masuk akal untuk menggunakan stratifikasi yang berpotensi lebih halus.

Oleh karena itu langkah selanjutnya adalah memahami H (ω 2). Sebenarnya ternyata kita akan dapat sedikit lebih memahami dan ini agak teknis. Kami akan peduli dengan struktur ⟨H (ω 2), ∈, saya NS, A G ⟩ ⊧ φ, di mana saya NS adalah yang ideal non-stasioner pada ω 1 dan A G adalah interpretasi (representasi kanonik) satu set real A di L (ℝ). Detailnya tidak akan penting dan pembaca diminta untuk hanya memikirkan H (ω 2) bersama dengan beberapa "barang tambahan" dan tidak khawatir tentang detail tentang barang tambahan. [6]

Kami sekarang dalam posisi untuk menyatakan hasil utama:

Teorema 3.1 (Woodin 1999).

Asumsikan ZFC dan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Misalkan A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ) dan φ adalah Π 2 -ensi (dalam bahasa yang diperluas dengan dua predikat tambahan) dan ada satu set ekstensi pemaksa memaksa V [G] sedemikian rupa sehingga

⟨H (ω 2), ∈, saya NS, A G ⟩ ⊧ φ

(di mana AG adalah interpretasi dari A dalam V [G]). Kemudian

L (ℝ) maks ⊧ “⟨H (ω 2), ∈, I NS, A⟩ ⊧ φ”.

Ada dua poin kunci: Pertama, teori L (ℝ) max adalah "lengkap efektif" dalam arti bahwa itu invarian di bawah kekuatan yang ditetapkan. Kedua, model L (ℝ) max adalah "maksimal" (atau "jenuh") dalam arti bahwa ia memenuhi semua ent 2- kalimat (tentang struktur yang relevan) yang mungkin dapat menahan (dalam arti bahwa mereka dapat ditampilkan) agar konsisten dengan mengatur pemaksaan pada model).

Seseorang ingin memahami teori struktur ini dengan aksioma itu. Aksioma yang relevan adalah sebagai berikut:

Definisi 3.2 (Woodin 1999).
Aksioma (∗): AD L (ℝ) ditahan dan L (P (ω 1)) adalah ekstensi maksimum energenerasi L (ℝ).

Akhirnya, aksioma ini mengendap CH:

Teorema 3.3 (Woodin 1999).
Asumsikan (∗). Kemudian 2 ω = ℵ 2.

3,2 Log-Logika

Kami sekarang akan menyusun kembali hasil di atas dalam hal logika yang kuat. Kami akan memanfaatkan sepenuhnya aksioma kardinal besar dan dalam pengaturan ini kami tertarik pada logika yang "berperilaku baik" dalam arti bahwa pertanyaan tentang apa yang menyiratkan apa yang tidak independen secara radikal. Sebagai contoh, diketahui bahwa CH dapat diekspresikan dalam logika orde dua penuh. Oleh karena itu, di hadapan kardinal besar, seseorang selalu dapat menggunakan set forcing untuk membalik nilai kebenaran dari validitas logis yang diakui dari logika orde kedua penuh. Namun, ada logika yang kuat - seperti ω-logika dan β-logika-yang tidak memiliki fitur ini-mereka berperilaku baik dalam arti bahwa di hadapan aksioma kardinal besar pertanyaan tentang apa yang menyiratkan apa yang menyiratkan apa yang tidak dapat diubah dengan set memaksa. Kami akan memperkenalkan logika yang sangat kuat yang memiliki fitur-Ω-logika ini. Faktanya,Logika yang akan kami perkenalkan dapat dicirikan sebagai logika terkuat dengan fitur ini (lihat Koellner (2010) untuk diskusi lebih lanjut tentang logika yang kuat dan untuk pernyataan yang tepat dari hasil ini).

3.2.1 Ω-logika

Definisi 3.4.
Misalkan T adalah teori yang dapat dihitung dalam bahasa teori himpunan dan φ adalah kalimat. Kemudian

T ⊧ Ω φ

jika untuk semua aljabar Boolean lengkap B dan untuk semua tata cara α,

jika VB α ⊧ T maka VB α ⊧ φ.

Kami mengatakan bahwa pernyataan φ adalah satisf- memuaskan jika ada α ordinal dan aljabar Boolean B lengkap sehingga VB α ⊧ φ, dan kami mengatakan bahwa φ valid if jika ∅ ⊧ Ω φ. Jadi, teorema di atas mengatakan bahwa (berdasarkan asumsi latar belakang kami), pernyataan "φ adalah Ω-memuaskan" secara umum invarian dan dalam hal validitas Ω ini hanyalah sebagai berikut:

Teorema 3.5 (Woodin 1999).
Asumsikan ZFC dan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Misalkan T adalah teori yang dapat dihitung dalam bahasa teori himpunan dan φ adalah kalimat. Kemudian untuk semua aljabar Boolean B yang lengkap,

T ⊧ Ω φ iff V B ⊧ “T ⊧ Ω φ.”

Dengan demikian logika ini kuat dalam hal pertanyaan tentang apa yang menyiratkan apa yang tidak berubah di bawah tekanan yang ditetapkan.

3.2.2 Dugaan Ω

Sesuai dengan hubungan semantik ⊧ Ω ada hubungan bukti kuasi-sintaksis ⊢ Ω. "Bukti" adalah set kuat real tertentu (set universal Baire of real) dan struktur tes adalah model yang "tertutup" di bawah bukti ini. Gagasan yang tepat tentang "penutupan" dan "bukti" agak teknis sehingga kami akan melewatinya dalam diam. [7]

Seperti hubungan semantik, hubungan bukti quasi-sintaksis ini kuat di bawah asumsi kardinal besar:

Teorema 3.6 (Woodin 1999).
Asumsikan ZFC dan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Misalkan T adalah teori yang dapat dihitung dalam bahasa teori himpunan, φ adalah kalimat, dan B adalah aljabar Boolean yang lengkap. Kemudian

T ⊢ Ω φ iff V B ⊧ 'T ⊢ Ω φ'.

Dengan demikian, kita memiliki hubungan konsekuensi semantik dan hubungan bukti semu-sintaksis, yang keduanya kuat di bawah asumsi aksioma kardinal besar. Adalah wajar untuk bertanya apakah teorema kesehatan dan kelengkapan berlaku untuk hubungan ini. Teorema kesehatan diketahui memiliki:

Teorema 3.7 (Woodin 1999).
Asumsikan ZFC. Misalkan T adalah teori yang dapat dihitung dalam bahasa teori himpunan dan φ adalah kalimat. Jika T ⊢ Ω φ maka T ⊧ Ω φ.

Ini terbuka apakah teorema kelengkapan yang sesuai berlaku. Dugaan Ω hanyalah pernyataan bahwa:

Dugaan 3.8Dugaan).
Asumsikan ZFC dan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Kemudian untuk setiap kalimat φ,

∅ ⊧ Ω φ iff ∅ ⊢ Ω φ.

Kita akan membutuhkan bentuk dugaan yang kuat yang akan kita sebut dugaan Strong Ω. Ini agak teknis dan kami akan melewatinya dalam diam. [8]

3.2.3 Ω -Lengkap Teori

Ingatlah bahwa salah satu kebajikan utama dari aksioma kardinal besar adalah bahwa mereka “secara efektif menyelesaikan” teori aritmatika orde kedua (dan, pada kenyataannya, teori L (ℝ) dan lebih banyak lagi) dalam arti bahwa di hadapan kardinal besar satu tidak dapat menggunakan metode penetapan paksa untuk membangun independensi sehubungan dengan pernyataan tentang L (ℝ). Gagasan invarian di bawah kekuatan yang ditetapkan memainkan peran kunci dalam Bagian 3.1. Kita sekarang dapat menguraikan kembali gagasan ini dalam istilah Ω-logika.

Definisi 3.9.
Sebuah teori T adalah complete- lengkap untuk kumpulan kalimat Γ jika untuk setiap φ ∈ Γ, T ⊧ Ω φ atau T ⊧ Ω ¬φ.

Invariansi teori L (ℝ) yang dipaksakan dipaksakan sekarang dapat diulangi sebagai berikut:

Teorema 3.10 (Woodin 1999).
Asumsikan ZFC dan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Maka ZFC adalah Ω -lengkap untuk pengumpulan kalimat dari bentuk "L (ℝ) ⊧ φ".

Sayangnya, ini mengikuti dari serangkaian hasil yang berasal dari karya Levy dan Solovay bahwa aksioma kardinal besar tradisional tidak menghasilkan teori Ω-lengkap pada level Σ21 karena seseorang selalu dapat menggunakan gaya “kecil” (dan karenanya mempertahankan kardinal besar). untuk mengubah nilai kebenaran CH.

Teorema 3.11.
Asumsikan L adalah aksioma kardinal besar standar. Maka ZFC + L tidak Ω -lengkap untuk Σ21.

3.3 Kasing

Namun demikian, jika seseorang melengkapi aksioma kardinal besar maka teori lengkap akan muncul. Ini adalah inti dari kasus terhadap CH.

Teorema 3.12 (Woodin).
Asumsikan ada kelas kardinal Woodin yang tepat dan dugaan Strong Ω berlaku.
  1. Ada aksioma A sedemikian rupa sehingga

    1. ZFC + A adalah Ω -satisfiable dan
    2. ZFC + A adalah Ω -lengkap untuk struktur H (ω 2).
  2. Setiap aksioma seperti A memiliki fitur itu

    ZFC + A ⊧ Ω 'H (ω 2) ⊧ ¬CH'.

Mari kita ulangi ini sebagai berikut: Untuk setiap A yang memuaskan (1), mari

T A = {φ | ZFC + A ⊧ Ω 'H (ω 2) ⊧ ¬φ'}.

Teorema mengatakan bahwa jika ada kelas yang tepat dari kardinal Woodin dan Ω dugaan berlaku, maka ada (non-sepele) Ω teori lengkap T A dari H (ω 2) dan semua teori tersebut mengandung ¬CH.

Itu wajar untuk bertanya apakah ada kesepakatan yang lebih besar antara teori Ω-lengkap T A. Idealnya, hanya ada satu. Hasil terbaru (membangun Teorema 5.5) menunjukkan bahwa jika ada satu teori seperti itu maka ada banyak teori seperti itu.

Teorema 3.13 (Koellner dan Woodin 2009).
Asumsikan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Misalkan A adalah aksioma sehingga

saya. ZFC + A adalah Ω -satisfiable dan

ii. ZFC + A adalah Ω -lengkap untuk struktur H (ω 2).

Lalu ada aksioma B sedemikian rupa

saya'. ZFC + B adalah sat -satisfiable dan

ii '. ZFC + B adalah Ω -lengkap untuk struktur H (ω 2)

dan T A ≠ T B.

Lalu bagaimana seseorang dapat memilih dari antara teori-teori ini? Pekerjaan Woodin di bidang ini jauh melampaui Teorema 5.1. Selain mengisolasi aksioma yang memenuhi (1) Teorema 5.1 (dengan asumsi satisf-satisfiability), ia mengisolasi aksioma yang sangat khusus, yaitu, aksioma (∗) ("bintang") yang disebutkan sebelumnya.

Aksioma ini dapat diringkas dalam istilah (gagasan provabilitas) Ω-logika:

Teorema 3.14 (Woodin).
Asumsikan ZFC dan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Maka yang berikut ini setara:
  1. (∗).
  2. Untuk setiap Π 2 -senasi φ dalam bahasa untuk struktur

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

    jika

    ZFC + “⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ”

    Ω -konsisten, kalau begitu

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Ini mengikuti bahwa dari berbagai teori T A yang terlibat dalam Teorema 5.1, ada satu yang menonjol: Teori T (∗) yang diberikan oleh (∗). Teori ini memaksimalkan teori Π 2 dari struktur ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩.

Hipotesis kontinum gagal dalam teori ini. Selain itu, dalam teori maksimal T (∗) yang diberikan oleh (∗) ukuran kontinum adalah ℵ 2. [9]

Untuk meringkas: Dengan Menganggap Kuat Ω Dugaan, ada teori "baik" dari H (ω 2) dan semua teori seperti itu menyiratkan bahwa CH gagal. Selain itu, (sekali lagi, dengan asumsi Strong Ω Conjecture) ada teori seperti maksimal dan dalam teori itu 2 0 = ℵ 2.

Bacaan Lebih Lanjut: Untuk matematika tentang ℙ max lihat Woodin (1999). Untuk pengantar logika see lihat Bagaria, Castells & Larson (2006). Untuk lebih lanjut tentang teori Ω -lengkap yang tidak kompatibel lihat Koellner & Woodin (2009). Untuk lebih lanjut tentang kasus terhadap CH lihat Woodin (2001a, b, 2005a, b).

4. Multiverse

Kasus di atas untuk kegagalan CH adalah kasus lokal terkuat yang diketahui untuk aksioma yang menyelesaikan CH. Pada bagian ini dan selanjutnya kita akan beralih sisi dan mempertimbangkan argumen pluralis yang menyatakan bahwa CH tidak memiliki jawaban (di bagian ini) dan menyatakan bahwa ada kasus CH yang sama-sama baik (di bagian berikutnya). Pada dua bagian terakhir kami akan menyelidiki skenario global optimis yang memberikan harapan untuk menyelesaikan masalah.

Sang pluralis berpendapat bahwa hasil-hasil kemerdekaan secara efektif menyelesaikan pertanyaan-pertanyaan yang belum diputuskan dengan menunjukkan bahwa mereka tidak memiliki jawaban. Salah satu cara menyediakan kerangka dasar untuk pandangan seperti itu adalah dalam hal multiverse. Pada pandangan ini tidak ada satu semesta tunggal teori himpunan tetapi lebih dari banyak kandidat yang sah, beberapa di antaranya mungkin lebih disukai orang lain untuk tujuan tertentu tetapi tidak ada yang dapat dikatakan sebagai alam semesta "benar". Konsepsi multiverse kebenaran adalah pandangan bahwa pernyataan teori himpunan hanya dapat dikatakan benar sederhana jika itu benar di semua alam semesta multiverse. Untuk keperluan diskusi ini, kita akan mengatakan bahwa suatu pernyataan tidak pasti menurut konsepsi multiverse jika tidak benar atau salah menurut konsepsi multiverse. Seberapa radikal pandangan semacam itu tergantung pada luasnya konsepsi multiverse.

4.1 Tampilan Multiverse Luas

Pluralis umumnya non-pluralis tentang domain matematika tertentu. Sebagai contoh, seorang finitist ketat mungkin non-pluralis tentang PA tetapi pluralis tentang teori himpunan dan orang mungkin non-pluralis tentang ZFC dan pluralis tentang aksioma kardinal besar dan pernyataan seperti CH.

Ada bentuk pluralisme radikal yang mengadvokasi pluralisme mengenai semua ranah matematika. Pada pandangan ini, setiap teori yang konsisten adalah kandidat yang sah dan model yang sesuai dari teori tersebut adalah kandidat yang sah untuk domain matematika. Mari kita sebut ini tampilan multiverse terluas. Ada kesulitan dalam mengartikulasikan pandangan ini, yang dapat dibawa keluar sebagai berikut: Untuk memulai, seseorang harus memilih teori latar belakang di mana untuk membahas berbagai model dan ini mengarah ke yang sulit. Misalnya, menurut konsep multiverse luas, karena PA tidak dapat membuktikan Con (PA) (dengan teorema ketidaklengkapan kedua, dengan asumsi bahwa PA konsisten) ada model PA + ¬Con (PA) dan model ini adalah kandidat yang sah, yang adalah, mereka adalah alam semesta dalam multiverse luas. Sekarang untuk sampai pada kesimpulan ini seseorang harus (dalam teori latar belakang) berada dalam posisi untuk membuktikan Con (PA) (karena asumsi ini diperlukan untuk menerapkan teorema ketidaklengkapan kedua dalam kasus khusus ini). Dengan demikian, dari perspektif teori latar belakang yang digunakan untuk berpendapat bahwa model-model di atas adalah kandidat yang sah, model-model tersebut memenuhi satisfy01-kalimat yang salah, yaitu, CCon (PA). Singkatnya, ada kurangnya harmoni antara apa yang dipegang pada tingkat meta dan apa yang dipegang pada tingkat objek. Singkatnya, ada kurangnya harmoni antara apa yang dipegang pada tingkat meta dan apa yang dipegang pada tingkat objek. Singkatnya, ada kurangnya harmoni antara apa yang dipegang pada tingkat meta dan apa yang dipegang pada tingkat objek.

Satu-satunya jalan keluar dari kesulitan ini tampaknya akan menganggap setiap sudut pandang - setiap artikulasi konsepsi multiverse - sebagai sementara dan, ketika ditekan, merangkul pluralisme mengenai teori latar belakang. Dengan kata lain, seseorang harus mengadopsi konsepsi multiverse tentang multiverse, konsepsi multiverse dari konsepsi multiverse multiverse, dan seterusnya, hingga tak terbatas. Oleh karena itu, posisi seperti itu tidak akan pernah dapat sepenuhnya diartikulasikan - setiap kali seseorang mencoba mengartikulasikan konsepsi multiverse luas seseorang harus menggunakan teori latar belakang, tetapi karena ia adalah seorang pluralis tentang teori latar belakang ini, cara ini menggunakan multiverse luas untuk mengartikulasikan konsepsi tersebut. tidak melakukan konsepsi keadilan penuh. Posisi demikian sulit untuk diartikulasikan. Seseorang tentu saja dapat mengambil sikap pluralis dan mencoba untuk bergerak ke arah atau menunjukkan pandangan bahwa seseorang bermaksud dengan sementara mengambil teori latar belakang tertentu tetapi kemudian menganjurkan pluralisme mengenai hal itu ketika ditekan. Pandangan demikian dengan demikian merupakan "target bergerak". Kami akan melewati pandangan ini dalam diam dan berkonsentrasi pada pandangan yang dapat diartikulasikan dalam kerangka dasar.

Dengan demikian kita akan melihat pandangan yang merangkul non-pluralisme sehubungan dengan serangkaian matematika dan untuk alasan ruang dan karena ini adalah entri pada teori himpunan kita akan melewati perdebatan panjang tentang ketatnya finitisme, finitisme, predikativisme, dan mulai dengan pandangan yang menganut non-pluralisme tentang ZFC.

Biarkan multiverse luas (berdasarkan ZFC) menjadi koleksi semua model ZFC. Konsepsi multiverse luas tentang kebenaran (berdasarkan ZFC) kemudian hanyalah pandangan bahwa pernyataan teori himpunan benar-benar sederhana jika terbukti dalam ZFC. Pada pandangan ini, pernyataan Con (ZFC) dan Π01-statement yang belum diputuskan diklasifikasikan sebagai tak tentu. Pandangan ini dengan demikian menghadapi kesulitan yang sejajar dengan yang disebutkan di atas mengenai pluralisme radikal.

Ini memotivasi pergeseran ke pandangan yang mempersempit kelas alam semesta di multiverse dengan menggunakan logika yang kuat. Sebagai contoh, seseorang dapat membatasi ke alam semesta yang models-model, β-model (yaitu, wellfounded), dll. Pada tampilan di mana seseorang mengambil ω-model, pernyataan Con (ZFC) diklasifikasikan sebagai true (meskipun ini sensitif untuk teori latar belakang) tetapi pernyataan PM (semua set proyektif dapat diukur Lebesgue) diklasifikasikan sebagai tidak pasti.

Bagi mereka yang diyakinkan oleh argumen (disurvei dalam entri "Kardinal Besar dan Penentuan") untuk aksioma kardinal besar dan aksioma determinasi yang dapat ditentukan, bahkan konsepsi multiverse ini terlalu lemah. Kami akan mengikuti rute ini. Untuk sisa dari entri ini kita akan merangkul non-pluralisme mengenai aksioma kardinal besar dan aksioma determinasi yang dapat ditentukan dan fokus pada pertanyaan CH.

4.2 Multiverse Generik

Motivasi di balik multiverse generik adalah untuk memberikan kasus untuk aksioma kardinal besar dan determinasi yang dapat ditentukan tetapi menyangkal bahwa pernyataan seperti CH memiliki nilai kebenaran yang menentukan. Untuk lebih spesifik tentang teori latar belakang mari kita ambil ZFC + "Ada kelas yang tepat dari kardinal Woodin" dan ingat bahwa asumsi kardinal besar ini mengamankan aksioma penentuan yang dapat ditentukan seperti PD dan AD L (ℝ).

Biarkan multiverse generik ? menjadi hasil penutupan V di bawah ekstensi generik dan penyempurnaan generik. Salah satu cara untuk memformalkan ini adalah dengan mengambil titik pandang eksternal dan mulai dengan model transitif yang dapat dihitung M. Multiverse generik yang didasarkan pada M adalah himpunan terkecil such M sehingga M ∈ ? M dan, untuk setiap pasangan model transitif yang dapat dihitung (N, N [G]) sehingga N ⊧ ZFC dan G ⊆ N adalah N-umum untuk beberapa urutan parsial dalam ℙ ∈ N, jika salah N atau N [G] adalah di ? M maka kedua N dan N [G] berada di ? M.

Biarkan konsepsi multiverse generik tentang kebenaran menjadi pandangan bahwa pernyataan itu benar-benar simpliciter jika benar di semua alam semesta multiverse generik. Kami akan menyebut pernyataan semacam itu kebenaran multiverse yang umum. Sebuah pernyataan dikatakan tidak pasti menurut konsep multiverse generik jika tidak benar atau salah menurut konsep multiverse generik. Sebagai contoh, mengabulkan asumsi kardinal besar kita, pandangan seperti itu menganggap PM (dan PD dan AD L (ℝ)) benar tetapi dianggap CH tak tentu.

4.3 The ject Conjecture dan Generic Multiverse

Apakah konsepsi multiverse generik tentang kebenaran dapat dipertahankan? Jawaban atas pertanyaan ini terkait erat dengan subjek Ω-logika. Koneksi dasar antara kebenaran multiverse umum dan Ω-logika diwujudkan dalam teorema berikut:

Teorema 4.1 (Woodin).
Asumsikan ZFC dan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Kemudian, untuk setiap Π 2- pernyataan φ yang berikut ini adalah sama:
  1. φ adalah kebenaran multiverse yang umum.
  2. φ adalah Ω-sah.

Sekarang, ingat bahwa dengan Teorema 3.5, berdasarkan asumsi latar belakang kami, Ω-validitas secara umum invarian. Oleh karena itu, mengingat teori latar belakang kita, gagasan tentang kebenaran multiverse generik adalah kuat sehubungan dengan pernyataan Π 2. Secara khusus, untuk pernyataan Π 2, pernyataan "φ tidak dapat ditentukan" dengan sendirinya ditentukan berdasarkan konsep multiverse generik. Dalam pengertian ini konsepsi kebenaran bukanlah “melemahkan diri sendiri” dan seseorang tidak dikirim dalam spiral ke bawah di mana seseorang harus menghargai banyak multiverse. Jadi itu melewati tes pertama. Apakah lulus tes yang lebih menantang tergantung pada ject dugaan.

Dugaan ini memiliki konsekuensi mendalam bagi konsepsi multiverse kebenaran yang umum. Membiarkan

? Ω = {φ | ∅ ⊧ Ω φ}

dan, untuk setiap kardinal κ yang spesifik, mari

? Ω (H (κ +)) = {φ | ZFC ⊧ Ω “H (κ +) ⊧ φ”},

di mana ingat bahwa H (κ +) adalah kumpulan set kardinalitas herediter kurang dari κ +. Dengan demikian, dengan asumsi ZFC dan bahwa ada kelas kardinal Woodin yang tepat, himpunan ? Ω adalah Turing setara dengan himpunan Π 2 kebenaran multiverse generik dan himpunan ? Ω (H (κ +)) adalah himpunan generik multiverse kebenaran H (κ +).

Untuk menggambarkan kaitan Ω Dugaan pada konsepsi generik-multiverse tentang kebenaran, kami memperkenalkan dua Prinsip Transendensi yang berfungsi sebagai kendala pada konsepsi kebenaran yang dapat dipertahankan dalam teori himpunan - kendala kebenaran dan kendala definisi.

Definisi 4.2 (Batasan Kebenaran).
Setiap konsepsi kebenaran multiverse yang dapat dipertahankan dalam teori himpunan harus sedemikian rupa sehingga Π 2- kebenaran (menurut konsepsi itu) di alam semesta himpunan tidak rekursif dalam kebenaran tentang H (κ) (menurut konsepsi itu), untuk setiap spesifikasi tertentu kardinal.

Kendala ini adalah dalam semangat prinsip-prinsip teori himpunan itu - terutama, prinsip refleksi - yang bertujuan untuk menangkap gagasan pra-teoretik bahwa alam semesta himpunan begitu kaya sehingga tidak dapat "digambarkan dari bawah"; lebih tepatnya, ia menegaskan bahwa konsepsi kebenaran yang dapat dipertahankan harus menghormati gagasan bahwa alam semesta himpunan begitu kaya sehingga kebenaran (atau bahkan hanya Π 2- kebenaran) tidak dapat digambarkan dalam suatu fragmen yang spesifik. (Perhatikan bahwa oleh teorema Tarski tentang ketidaktentuan kebenaran, kendala kebenaran sepele dipuaskan oleh konsepsi standar kebenaran dalam teori himpunan yang membawa multiverse mengandung elemen tunggal, yaitu, V.)

Ada juga kendala terkait tentang kebenaran kebenaran. Untuk κ kardinal tertentu, set Y ⊆ ω dapat didefinisikan dalam H (κ +) di seluruh multiverse jika Y dapat didefinisikan dalam struktur H (κ +) dari setiap semesta multiverse (mungkin dengan rumus yang bergantung pada alam semesta induk).

Definisi 4.3 (Batasan Definability).
Setiap konsepsi kebenaran multiverse yang dapat dipertahankan dalam teori himpunan harus sedemikian rupa sehingga Π 2- kebenaran (menurut konsepsi itu) di alam semesta himpunan dapat didefinisikan dalam H (κ) di seluruh alam semesta multiverse, untuk setiap kardinal κ yang dapat ditentukan.

Perhatikan lagi bahwa oleh teorema Tarski tentang undefinability of truth, batasan definability secara sepele dipuaskan oleh konsep multiverse yang merosot yang membuat multiverse mengandung elemen tunggal V. (Perhatikan juga bahwa jika seseorang memodifikasi batasan definability dengan menambahkan persyaratan bahwa definisi tersebut seragam di seluruh multiverse, maka kendala tersebut akan secara otomatis terpenuhi.)

Bantalan Ω Dugaan tentang keawetan konsepsi generik-multiverse tentang kebenaran terkandung dalam dua teorema berikut:

Teorema 4.4 (Woodin).
Asumsikan ZFC dan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Misalkan dugaan Ω berlaku. Kemudian ? Ω bersifat rekursif dalam ? Ω (H (δ + 0)), di mana δ 0 adalah kardinal Woodin yang paling sedikit.
Teorema 4.5 (Woodin).
Asumsikan ZFC dan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Misalkan dugaan Ω berlaku. Maka ? Ω dapat didefinisikan dalam H (δ + 0), di mana δ 0 adalah kardinal paling sedikit Woodin.

Dengan kata lain, jika ada kelas kardinal Woodin yang tepat dan jika Ω dugaan berlaku, maka konsepsi multiverse generik kebenaran melanggar baik Batasan Kebenaran (pada δ 0) maupun Batasan Definability (pada δ 0).

Sebenarnya ada versi yang lebih tajam dari hasil di atas yang melibatkan H (c +) sebagai pengganti H (δ + 0).

Teorema 4.6 (Woodin).
Asumsikan ZFC dan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Misalkan dugaan Ω berlaku. Kemudian ? Ω bersifat rekursif dalam ? Ω (H (c +)).
Teorema 4.7 (Woodin).
Asumsikan ZFC dan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Misalkan dugaan Ω berlaku dan dugaan AD + berlaku. Kemudian ? Ω dapat didefinisikan dalam H (c +).

Dengan kata lain, jika ada kelas yang tepat dari kardinal Woodin dan jika Ω dugaan berlaku maka konsepsi generik-multiverse kebenaran melanggar Kendala Kebenaran pada tingkat aritmatika tingkat ketiga, dan jika, selain itu, AD + dugaan memegang, maka konsepsi generik-multiverse kebenaran melanggar Batasan Definability pada tingkat aritmatika tingkat ketiga.

4.4 Apakah Ada Jalan Keluar?

Tampaknya ada empat cara yang dapat digunakan oleh advokat multiverse generik untuk menentang kritik di atas.

Pertama, orang dapat mempertahankan bahwa ject dugaan sama bermasalahnya dengan CH dan karenanya seperti CH itu harus dianggap sebagai tak tentu menurut konsepsi generik-multiverse kebenaran. Kesulitan dengan pendekatan ini adalah sebagai berikut:

Teorema 4.8 (Woodin).
Asumsikan ZFC dan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Kemudian, untuk aljabar Boolean lengkap ?,

V ⊧ Ω-dugaan iff V ? ⊧ Ω-dugaan.

Jadi, berbeda dengan CH, dugaan Ω tidak dapat ditunjukkan tidak tergantung pada ZFC + “Ada kelas kardinal Woodin yang tepat” melalui pemaksaan yang ditetapkan. Dalam hal konsepsi multiverse generik tentang kebenaran, kita dapat mengartikannya sebagai berikut: Walaupun konsepsi generik multiverse kebenaran menganggap CH tidak dapat ditentukan, ia tidak menganggap ject Dugaan untuk menjadi tak tentu. Jadi jawaban di atas tidak tersedia bagi penganjur konsepsi generik-multiverse tentang kebenaran. Pendukung konsepsi itu sudah menganggap Ω dugaan harus ditentukan.

Kedua, orang dapat mengakui bahwa ject dugaan itu menentukan tetapi mempertahankan bahwa itu salah. Ada beberapa cara di mana seseorang dapat melakukan ini tetapi itu tidak mengurangi argumen di atas. Alasannya adalah sebagai berikut: Untuk memulainya ada pernyataan Σ 2 yang terkait erat yang dapat digantikan oleh Ω Dugaan dalam argumen di atas. Ini adalah pernyataan bahwa Ω Dugaan (non-sepele) Ω-memuaskan, yaitu, pernyataan: Ada α ordinal dan semesta V 'dari multiverse sedemikian rupa sehingga

V ' α ⊧ ZFC + “Ada kelas kardinal Woodin yang tepat”

dan

V ' α ⊧ “Dugaan Ω”.

Pernyataan Σ 2 ini tidak berubah di bawah kekuatan yang ditetapkan dan karenanya merupakan salah satu penganut pandangan multiverse generik tentang kebenaran yang harus dianggap menentukan. Selain itu, argumen kunci di atas berjalan dengan pernyataan- 2 ini bukan pernyataan ject. Orang yang mengambil tanggapan kedua ini juga harus mempertahankan bahwa pernyataan ini salah. Tetapi ada bukti kuat bahwa pernyataan ini benar. Alasannya adalah bahwa tidak ada contoh yang diketahui dari Σ 2- pernyataan yang invarian di bawah ditetapkan memaksa relatif terhadap aksioma kardinal besar dan yang tidak dapat diselesaikan oleh aksioma kardinal besar. (Pernyataan seperti itu akan menjadi kandidat untuk pernyataan yang benar-benar tidak dapat dipastikan.) Jadi, masuk akal untuk mengharapkan bahwa pernyataan ini diselesaikan oleh aksioma kardinal besar. Namun, kemajuan terbaru dalam teori model dalam-khususnya, mereka yang di Woodin (2010) -menyediakan bukti bahwa tidak ada aksioma kardinal besar yang dapat menyangkal pernyataan ini. Menyatukan semuanya: Sangat mungkin pernyataan ini ternyata benar; jadi garis tanggapan ini tidak menjanjikan.

Ketiga, seseorang bisa menolak Batasan Kebenaran atau Batasan Definability. Masalahnya adalah jika seseorang menolak Batasan Kebenaran maka pada pandangan ini (dengan asumsi Ω Dugaan) Π 2 kebenaran dalam teori himpunan dapat direduksi dalam arti Turing dapat direduksi menjadi kebenaran dalam H (δ 0) (atau, dengan asumsi Strong Ω Dugaan Kuat, H (c +)). Dan jika seseorang menolak Batasan Definability maka pada pandangan ini (dengan asumsi Ω Dugaan) Π 2 kebenaran dalam teori himpunan dapat direduksi dalam arti definability to truth dalam H (δ 0) (atau, dengan asumsi Strong Ω Conjecture, H (c +)). Pada pandangan mana pun, reduksi ini dalam ketegangan dengan penerimaan non-pluralisme berkenaan dengan teori latar belakang ZFC + “Ada kelas kardinal Woodin yang tepat”.

Keempat, seseorang dapat menerima kritik, menolak konsepsi multiverse generik kebenaran, dan mengakui bahwa ada beberapa pernyataan tentang H (δ + 0) (atau H (c +), pemberian, di samping itu, AD + dugaan) yang benar penyederhanaan tetapi tidak benar dalam arti generik-multiverse, namun tetap mempertahankan bahwa CH tidak pasti. Kesulitannya adalah kalimat seperti itu φ secara kualitatif sama seperti CH karena dapat dipegang dan dipaksakan gagal. Tantangan bagi penganjur pendekatan ini adalah untuk memodifikasi konsepsi generik-multiverse tentang kebenaran sedemikian rupa sehingga ia dianggap determ sebagai penentu dan juga menghitung CH sebagai tidak pasti.

Singkatnya: Ada bukti bahwa satu-satunya jalan keluar adalah jalan keluar keempat dan ini menempatkan beban pada pluralis-pluralis harus datang dengan versi modifikasi multiverse generik.

Bacaan Lebih Lanjut: Untuk lebih lanjut tentang hubungan antara Ω-logika dan multiverse generik dan kritik di atas multiverse generik lihat Woodin (2011a). Untuk bantalan hasil terbaru dalam teori model dalam pada status on Dugaan lihat Woodin (2010).

5. Kasus Lokal Ditinjau Kembali

Mari kita beralih ke cara kedua di mana orang mungkin menolak kasus lokal untuk kegagalan CH. Ini melibatkan kasus paralel untuk CH. Dalam Bagian 5.1 kami akan meninjau fitur utama dari case untuk ¬CH untuk membandingkannya dengan case paralel untuk CH. Dalam Bagian 5.2 kami akan menyajikan kasus paralel untuk CH. Dalam Bagian 5.3 kami akan menilai perbandingan.

5.1 Kasing untuk ¬CH

Ingatlah bahwa ada dua langkah dasar dalam kasus yang disajikan dalam Bagian 3.3. Langkah pertama melibatkan Ω-kelengkapan (dan ini memberi CH) dan langkah kedua melibatkan maksimal (dan ini memberi yang lebih kuat 2 0 = ℵ 2). Untuk memudahkan perbandingan, kami akan mengulangi fitur-fitur ini di sini:

Langkah pertama didasarkan pada hasil berikut:

Teorema 5.1 (Woodin).
Asumsikan ada kelas kardinal Woodin yang tepat dan dugaan Strong Ω berlaku.
  1. Ada aksioma A sedemikian rupa sehingga

    1. ZFC + A adalah Ω -satisfiable dan
    2. ZFC + A adalah Ω -lengkap untuk struktur H (ω 2).
  2. Setiap aksioma seperti A memiliki fitur itu

    ZFC + A ⊧ Ω “H (ω 2) ⊧ CH”.

Mari kita ulangi ini sebagai berikut: Untuk setiap A yang memuaskan (1), mari

T A = {φ | ZFC + A ⊧ Ω “H (ω 2) ⊧ ¬φ”}.

Teorema mengatakan bahwa jika ada kelas yang tepat dari kardinal Woodin dan Strong Ω dugaan berlaku, maka ada (non-sepele) Ω teori lengkap T A dari H (ω 2) dan semua teori tersebut mengandung ¬CH. Dengan kata lain, di bawah asumsi ini, ada teori "baik" dan semua teori "baik" menyiratkan CH.

Langkah kedua dimulai dengan pertanyaan apakah ada kesepakatan yang lebih besar antara teori Ω-lengkap T A. Idealnya, hanya ada satu. Namun, ini bukan masalahnya.

Teorema 5.2 (Koellner dan Woodin 1999).
Asumsikan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Misalkan A adalah aksioma sehingga

saya. ZFC + A adalah Ω -satisfiable dan

ii. ZFC + A adalah Ω -lengkap untuk struktur H (ω 2).

Lalu ada aksioma B sedemikian rupa

saya'. ZFC + B adalah sat -satisfiable dan

ii '. ZFC + B adalah Ω -lengkap untuk struktur H (ω 2)

dan T A ≠ T B.

Ini menimbulkan masalah bagaimana seseorang harus memilih dari antara teori-teori ini? Ternyata ada teori maksimal di antara T A dan ini diberikan oleh aksioma (∗).

Teorema 5.3 (Woodin).
Asumsikan ZFC dan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Maka yang berikut ini setara:
  1. (∗).
  2. Untuk setiap Π 2 -senasi φ dalam bahasa untuk struktur

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

    jika

    ZFC + “⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ”

    Ω -konsisten, kalau begitu

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Jadi, dari berbagai teori T A yang terlibat dalam Teorema 5.1, ada satu yang menonjol: Teori T (∗) diberikan oleh (∗). Teori ini memaksimalkan teori Π 2 dari struktur ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ? (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. Hasil mendasarnya adalah dalam teori maksimal ini

2 0 = ℵ 2.

5.2 Kasus Paralel untuk CH

Kasing paralel untuk CH juga memiliki dua langkah, yang pertama melibatkan kelengkapan Ω dan yang kedua melibatkan maksimal.

Hasil pertama pada langkah pertama adalah sebagai berikut:

Teorema 5.4 (Woodin 1985).
Asumsikan ZFC dan bahwa ada kelas kardinal Woodin yang terukur. Maka ZFC + CH adalah Ω -lengkap untuk Σ21.

Selain itu, hingga Ω-ekuivalensi, CH adalah pernyataan Σ21 unik yang complete lengkap untuk Σ21; yang, membiarkan T A menjadi teori Ω-lengkap diberikan oleh ZFC + A di mana A adalah Σ21, semua seperti T A adalah Ω-setara dengan T CH dan karenanya (trivial) semua seperti T A mengandung CH. Dengan kata lain, ada teori "baik" dan semua teori "baik" menyiratkan CH.

Untuk menyelesaikan langkah pertama kita harus menentukan apakah hasil ini kuat. Untuk itu bisa menjadi kasus bahwa ketika seseorang mempertimbangkan tingkat berikutnya, Σ22 (atau tingkat lebih lanjut, seperti aritmatika tingkat ketiga) CH tidak lagi menjadi bagian dari gambar, yaitu, mungkin kardinal besar menyiratkan bahwa ada aksioma A sedemikian rupa sehingga ZFC + A adalah Ω-lengkap untuk Σ22 (atau, lebih jauh lagi, semua aritmatika urutan ketiga), namun tidak semua A tersebut memiliki T A terkait yang berisi CH. Kita harus mengesampingkan ini jika kita ingin mengamankan langkah pertama.

Skenario yang paling optimis di sepanjang garis ini adalah ini: Skenario adalah bahwa ada aksioma kardinal besar L dan aksioma A → sedemikian rupa sehingga ZFC + L + A → adalah is-lengkap untuk semua aritmatika orde ketiga dan semua teori tersebut adalah Ω -Mengimbang dan menyiratkan CH. Lebih jauh, mungkin untuk setiap fragmen yang dapat ditentukan V λ dari alam semesta himpunan ada aksioma kardinal besar L dan aksioma A → sehingga ZFC + L + A → adalah Ω-lengkap untuk seluruh teori V λ dan, lebih lanjut, bahwa teori semacam itu adalah Ω-ekuivalen dan menyiratkan CH. Jika hal ini terjadi, itu berarti bahwa untuk setiap λ seperti itu ada gambar lengkap complete lengkap dari V λdan kita akan memiliki pemahaman Ω-lengkap yang unik tentang fragmen-fragmen alam semesta set yang sewenang-wenang yang besar. Ini akan menjadi alasan kuat untuk aksioma baru yang menyelesaikan aksioma ZFC dan aksioma kardinal besar.

Sayangnya, skenario optimis ini gagal: Dengan asumsi keberadaan satu teori seperti itu seseorang dapat membangun yang lain yang berbeda pada CH:

Teorema 5.5 (Koellner dan Woodin 2009).
Asumsikan ZFC dan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Anggaplah V λ adalah fragmen yang dapat ditentukan dari jagad raya (yang cukup besar) dan anggaplah bahwa ada aksioma kardinal besar L dan aksioma A → sedemikian rupa sehingga

ZFC + L + A → adalah Ω-lengkap untuk Th (V λ).

Lalu ada aksioma B → sedemikian rupa

ZFC + L + B → adalah Ω-lengkap untuk Th (V λ)

dan teori pertama Ω -implies CH jika dan hanya jika teori kedua Ω -implies ¬CH.

Ini masih meninggalkan kita dengan pertanyaan tentang keberadaan dan jawaban untuk pertanyaan ini sensitif terhadap ject dugaan dan AD + dugaan:

Teorema 5.6 (Woodin).
Asumsikan ada kelas kardinal Woodin yang tepat dan dugaan Ω berlaku. Maka tidak ada teori rekursif A → sehingga ZFC + A → adalah Ω -lengkap untuk teori V δ 0 +1, di mana δ 0 adalah kardinal Woodin yang paling sedikit.

Bahkan, di bawah asumsi yang lebih kuat, skenario harus gagal pada level yang jauh lebih awal.

Teorema 5.7 (Woodin).
Asumsikan ada kelas kardinal Woodin yang tepat dan dugaan Ω berlaku. Asumsikan bahwa dugaan AD + berlaku. Maka tidak ada teori rekursif A → sehingga ZFC + A → adalah Ω -lengkap untuk teori Σ23.

Terbuka apakah ada teori semacam itu di level Σ22. Diperkirakan bahwa ZFC + ◇ adalah Ω-lengkap (dengan asumsi aksioma kardinal besar) untuk Σ22.

Mari kita asumsikan bahwa itu dijawab secara positif dan kembali ke pertanyaan tentang keunikan. Untuk setiap aksioma A, misalkan T A menjadi teori Σ22 yang dikomputasi oleh ZFC + A dalam logika Ω. Pertanyaan tentang keunikan hanya menanyakan apakah T A itu unik.

Teorema 5.8 (Koellner dan Woodin 2009).
Asumsikan ada kelas kardinal Woodin yang tepat. Misalkan A adalah aksioma sehingga

saya. ZFC + A adalah Ω -satisfiable dan

ii. ZFC + A adalah Ω -lengkap untuk Σ22.

Lalu ada aksioma B sedemikian rupa

saya'. ZFC + B adalah sat -satisfiable dan

ii '. ZFC + B adalah Ω -lengkap untuk Σ22

dan T A ≠ T B.

Ini adalah paralel dari Teorema 5.2.

Untuk menyelesaikan satu paralel akan membutuhkan CH adalah di antara semua T A. Ini tidak diketahui. Tapi itu dugaan yang masuk akal.

Dugaan 5.9.
Asumsikan aksioma kardinal besar.
  1. Ada xi22 aksioma A sedemikian rupa sehingga

    1. ZFC + A adalah Ω-memuaskan dan
    2. ZFC + A adalah Ω-lengkap untuk Σ22.
  2. Aksioma Σ22 A seperti itu memiliki fitur itu

    ZFC + A ⊧ Ω CH.

Jika dugaan ini berlaku, ini akan memberikan analog Teorema 5.1 yang sebenarnya. Ini akan melengkapi paralel dengan langkah pertama.

Ada juga yang sejajar dengan langkah kedua. Ingatlah bahwa untuk langkah kedua pada subbagian sebelumnya kami memiliki bahwa meskipun berbagai T A tidak setuju, mereka semua mengandung ¬CH dan, terlebih lagi, di antara mereka ada satu yang menonjol, yaitu teori yang diberikan oleh (∗), karena teori ini memaksimalkan teori Π 2 dari struktur ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. Dalam konteks CH saat ini, kita kembali (dengan asumsi dugaan) memilikinya meskipun T Atidak setuju, mereka semua mengandung CH. Ternyata sekali lagi, di antara mereka ada satu yang menonjol, yaitu yang maksimal. Karena diketahui (berdasarkan hasil Woodin pada tahun 1985) bahwa jika ada kelas yang tepat dari kardinal Woodin yang terukur, maka ada ekstensi pemaksaan yang memuaskan semua Σ22 kalimat φ sehingga ZFC + CH + φ adalah Ω-memuaskan (lihat Ketchersid, Larson, & Zapletal (2010)). Oleh karena itu, jika pertanyaan tentang keberadaan dijawab secara positif dengan A yang Σ22 maka T A harus maksimum ini Σ22 teori dan, akibatnya, semua T A setuju ketika A adalah Σ22. Jadi, dengan asumsi bahwa ada T A di mana A adalah Σ22, maka, meskipun tidak semua T A setuju (ketika A arbitrer) ada satu yang menonjol, yaitu, yang maksimum untuk Σ22 kalimat.

Jadi, jika dugaan di atas berlaku, maka kasus CH sejajar dengan ¬CH, hanya sekarang Σ22 menggantikan teori H (ω 2).

5.3 Penilaian

Dengan asumsi bahwa dugaan memegang kasus CH paralel dengan ¬CH, hanya sekarang Σ22 menggantikan teori H (ω 2): Di bawah asumsi latar belakang yang kita miliki:

    1. ada A sehingga ZFC + A adalah complete-lengkap untuk H (ω 2)
    2. untuk setiap A yang terkait, A berisi ¬CH, dan
    3. ada T A yang maksimal, yaitu, T (∗) dan teori ini mengandung 2 0 = ℵ 2.
    1. ada Σ22-aksioma A sehingga ZFC + A adalah complete-lengkap untuk Σ22
    2. untuk setiap A yang terkait, T A berisi CH, dan
    3. ada T A yang maksimal.

Kedua situasi itu paralel sehubungan dengan maksimalitas tetapi dalam hal tingkat kelengkapan the yang pertama lebih kuat. Karena dalam kasus pertama kita tidak hanya mendapatkan Ω kelengkapan sehubungan dengan teori Π 2 H (ω 2) (dengan predikat tambahan), tetapi kita mendapatkan kelengkapan Ω sehubungan dengan semua H (ω 2). Ini bisa dibilang argumen yang mendukung kasus ¬CH, bahkan memberikan dugaan.

Tetapi ada poin yang lebih kuat. Ada bukti yang datang dari teori model dalam (yang akan kita bahas di bagian berikutnya) yang menyatakan bahwa dugaan itu ternyata salah. Jika ini ternyata menjadi kasus itu akan mematahkan paralel, memperkuat kasus untuk ¬CH.

Namun, orang mungkin melawan ini sebagai berikut: Tingkat yang lebih tinggi dari Ω-kelengkapan dalam kasus untuk ¬CH benar-benar ilusi karena merupakan artefak dari fakta bahwa di bawah (∗) teori H (ω 2) sebenarnya saling dapat ditafsirkan dengan H (ω 1) (dengan hasil mendalam dari Woodin). Selain itu, fakta terakhir ini bertentangan dengan semangat Prinsip-prinsip Transendensi yang dibahas dalam Bagian 4.3. Prinsip-prinsip itu digunakan dalam argumen yang menyatakan bahwa CH tidak memiliki jawaban. Jadi, ketika semua debu mengendap impor karya Woodin yang sebenarnya pada CH (begitulah argumennya) bukanlah bahwa CH itu salah, melainkan bahwa CH sangat mungkin memiliki jawaban.

Tampaknya adil untuk mengatakan bahwa pada tahap ini status pendekatan lokal untuk menyelesaikan CH agak tidak pasti. Untuk alasan ini, di sisa entri ini kita akan fokus pada pendekatan global untuk menyelesaikan CH. Kita akan membahas secara singkat dua pendekatan semacam itu - pendekatan melalui teori model dalam dan pendekatan melalui aksioma kardinal yang semu.

6. Model Batin Utama

Teori inner model bertujuan untuk menghasilkan model “L-like” yang mengandung aksioma kardinal besar. Untuk setiap aksioma kardinal besar Φ yang telah dicapai oleh teori model batin, seseorang memiliki aksioma bentuk V = L Φ. Aksioma ini memiliki kebajikan yang (seperti dalam kasus yang paling sederhana dari V = L) itu memberikan “secara efektif lengkap” solusi mengenai pertanyaan tentang L Φ (yang, dengan asumsi, adalah V). Sayangnya, ternyata aksioma V = L Φ tidak sesuai dengan aksioma kardinal besar yang lebih kuat Φ '. Untuk alasan ini, aksioma dari bentuk ini tidak pernah dianggap sebagai kandidat yang masuk akal untuk aksioma baru.

Tetapi perkembangan terbaru dalam teori model batin (karena Woodin) menunjukkan bahwa semuanya berubah pada tingkat kardinal superkompak. Perkembangan ini menunjukkan bahwa jika ada model dalam N yang "mewarisi" kardinal superkompak dari V (dengan cara yang diharapkan, mengingat lintasan teori inner model), maka ada dua konsekuensi yang luar biasa: Pertama, N adalah dekat dengan V (misalnya, dalam arti bahwa untuk kardinal singular cukup besar λ, N dengan benar menghitung λ +). Kedua, N mewarisi semua kardinal besar yang dikenal yang ada di V. Dengan demikian, berbeda dengan model dalam yang telah dikembangkan sejauh ini, model dalam pada tingkat superkompak akan memberikan satu aksioma yang tidak dapat disangkal oleh asumsi kardinal besar yang lebih kuat.

Masalahnya, tentu saja, adalah apakah seseorang dapat memiliki model "L-like" (model yang menghasilkan aksioma "lengkap secara efektif") pada level ini. Ada alasan untuk percaya bahwa seseorang dapat melakukannya. Sekarang ada model kandidat L Ω yang menghasilkan aksioma V = L Ω dengan fitur-fitur berikut: Pertama, V = L Ω adalah "efektif selesai." Kedua, V = L Ω kompatibel dengan semua aksioma kardinal besar. Dengan demikian, pada skenario ini, teori pamungkas adalah teori (terbuka) ZFC + V = L Ω + LCA, di mana LCA adalah skema yang mewakili "aksioma kardinal besar." Aksioma kardinal besar akan menangkap contoh independensi Gödelian dan aksioma V = L Ωakan menangkap contoh-contoh independensi yang tersisa. Teori ini akan menyiratkan CH dan menyelesaikan sisa pernyataan yang belum diputuskan. Kemandirian tidak lagi menjadi masalah.

Namun, ternyata ada aksioma kandidat lain yang memiliki ciri-ciri ini, sehingga momok kemajemukan muncul kembali. Misalnya, ada aksioma V = L Ω S dan V = L Ω (∗). Aksioma ini juga akan "secara efektif selesai" dan kompatibel dengan semua aksioma kardinal besar. Namun mereka akan menyelesaikan berbagai pertanyaan secara berbeda dari aksioma V = L Ω. Sebagai contoh, aksioma, V = L Ω (∗) akan menyiratkan ¬CH. Lalu, bagaimana orang bisa memutuskan di antara mereka?

Bacaan lebih lanjut: Untuk pengantar teori model bagian dalam lihat Mitchell (2010) dan Steel (2010). Untuk lebih lanjut tentang perkembangan terbaru di tingkat satu superkompak dan seterusnya, lihat Woodin (2010).

7. Teori Struktur L (V λ + 1)

Ini membawa kita ke pendekatan global kedua, yang menjanjikan untuk memilih aksioma yang benar dari antara V = L Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗), dan variannya. Pendekatan ini didasarkan pada analogi yang luar biasa antara teori struktur L (ℝ) di bawah asumsi AD L (ℝ) dan teori struktur L (V λ + 1) dengan asumsi bahwa ada embedding elementer dari L (V λ + 1) ke dalam dirinya sendiri dengan titik kritis di bawah λ. Asumsi embedding ini adalah aksioma kardinal besar terkuat yang muncul dalam literatur.

Analogi antara L (ℝ) dan L (V λ + 1) didasarkan pada pengamatan bahwa L (ℝ) hanyalah L (V ω + 1). Jadi, λ adalah analog dari ω, λ + adalah analog dari ω 1, dan seterusnya. Sebagai contoh paralel antara teori struktur L (ℝ) di bawah AD L (ℝ) dan teori struktur L (V λ + 1) di bawah aksioma penyertaan, mari kita sebutkan bahwa dalam kasus pertama, ω 1 adalah kardinal yang terukur dalam L (ℝ) dan, dalam kasus kedua, analog dari ω 1 - yaitu, λ + - adalah kardinal yang terukur dalam L (V λ + 1). Hasil ini disebabkan oleh Woodin dan hanya satu contoh dari banyak contoh paralel yang terkandung dalam karyanya.

Sekarang, kami memiliki banyak informasi tentang teori struktur L (ℝ) di bawah AD L (ℝ). Memang, seperti yang kita catat di atas, aksioma ini "secara efektif selesai" sehubungan dengan pertanyaan tentang L (ℝ). Sebaliknya, aksioma penyertaan sendiri tidak cukup untuk menyiratkan bahwa L (V λ + 1) memiliki teori struktur yang sepenuhnya sejajar dengan L (ℝ) di bawah AD L (ℝ). Namun, keberadaan paralel yang sudah kaya adalah bukti bahwa paralel itu meluas, dan kita dapat melengkapi aksioma penanaman dengan menambahkan beberapa komponen utama. Ketika seseorang melakukannya, sesuatu yang luar biasa terjadi: aksioma tambahan menjadi rapuh. Ini berarti bahwa mereka memiliki potensi untuk menghapus independensi dan memberikan informasi non-sepele tentang V λ + 1. Sebagai contoh, aksioma tambahan ini mungkin menyelesaikan CH dan banyak lagi.

Kesulitan dalam menyelidiki kemungkinan untuk teori struktur L (V λ + 1) adalah bahwa kita belum memiliki lensa yang tepat untuk melihatnya. Masalahnya adalah bahwa model L (V λ + 1) berisi bagian besar dari alam semesta - yaitu, L (V λ + 1) - dan teori struktur ini secara radikal belum ditentukan. Hasil yang dibahas di atas memberi kami lensa yang tepat. Untuk satu dapat memeriksa teori struktur L (V λ + 1) dalam konteks model batin utama seperti L Ω, L Ω S, L Ω (∗), dan variannya. Intinya adalah bahwa model ini dapat mengakomodasi aksioma embedding dan, dalam masing-masing, satu akan dapat menghitung teori struktur L (V λ +1).

Ini menyediakan cara untuk memilih aksioma yang benar dari antara V = L Ω, V = L Ω S, V = L Ω (∗), dan variannya. Satu hanya melihat L (V λ + 1) dari masing-masing model (di mana aksioma embedding berlaku) dan memeriksa untuk melihat yang memiliki analog sebenarnya dari teori struktur L (ℝ) di bawah asumsi AD L (ℝ). Sudah diketahui bahwa bagian tertentu dari teori struktur tidak dapat bertahan di L Ω. Tetapi terbuka apakah mereka dapat menahan L Ω S.

Mari kita perhatikan satu skenario seperti itu (sangat optimis): Analog sebenarnya dari teori struktur L (ℝ) di bawah AD L (ℝ) memegang L (V λ + 1) dari L Ω S tetapi tidak dari variannya. Selain itu, teori struktur ini “secara efektif selesai” untuk teori V λ + 1. Dengan asumsi bahwa ada kelas yang tepat dari λ di mana aksioma penyertaan berlaku, ini memberikan teori “efektif lengkap” dari V. Dan, yang luar biasa, bagian dari teori itu adalah bahwa V haruslah L Ω S. Skenario (diakui sangat optimis) ini akan menjadi kasus yang sangat kuat untuk aksioma yang menyelesaikan semua pernyataan yang belum diputuskan.

Seseorang seharusnya tidak menempatkan terlalu banyak beban pada skenario khusus ini. Itu hanya satu dari banyak. Intinya adalah bahwa kita sekarang berada dalam posisi untuk menuliskan daftar pertanyaan yang pasti dengan fitur-fitur berikut: Pertama, pertanyaan dalam daftar ini akan memiliki jawaban-independensi bukan masalah. Kedua, jika jawaban menyatu maka orang akan memiliki bukti kuat untuk aksioma baru menyelesaikan pernyataan yang belum diputuskan (dan karenanya non-pluralisme tentang alam semesta set); sementara jika jawabannya terombang-ambing, orang akan memiliki bukti bahwa pernyataan-pernyataan ini "benar-benar tidak dapat dipastikan" dan ini akan memperkuat kasus pluralisme. Dengan cara ini pertanyaan-pertanyaan tentang "ketidakpastian mutlak" dan pluralisme diberikan daya tarik matematis.

Bacaan lebih lanjut: Untuk lebih lanjut tentang teori struktur L (V λ + 1) dan paralel dengan determinasi lihat Woodin (2011b).

Bibliografi

  • Abraham, U. dan M. Magidor, 2010, “Aritmatika Kardinal,” dalam Foreman dan Kanamori 2010.
  • Bagaria, J., N. Castells, dan P. Larson, 2006, "An Ω-logic primer," dalam J. Bagaria dan S. Todorcevic (eds), teori Set, Tren Matematika, Birkhäuser, Basel, hlm. 1 –28.
  • Cohen, P., 1963, "Kemandirian hipotesis kontinum I," Prosiding Akademi Ilmu Pengetahuan Nasional AS, 50: 1143-48.
  • Foreman, M. dan A. Kanamori, 2010, Handbook of Set Theory, Springer-Verlag.
  • Foreman, M. dan M. Magidor, 1995, “kardinal besar dan contoh tandingan yang dapat ditentukan terhadap hipotesis kontinum,” Annals of Pure and Applied Logic 76: 47–97.
  • Foreman, M., M. Magidor, dan S. Shelah, 1988, “Maksimum, cita-cita jenuh Martin, dan ultrafilters non-reguler. Bagian I,”Annals of Mathematics 127: 1–47.
  • Gödel, K., 1938a. “Konsistensi aksioma pilihan dan hipotesis kontinum umum,” Prosiding National Academy of Sciences AS, 24: 556–7.
  • Gödel, K., 1938b. "Konsistensi-bukti untuk hipotesis-kontinum umum," Prosiding Akademi Ilmu Pengetahuan Nasional AS, 25: 220-4.
  • Hallett, M., 1984, Teori Set Cantorian dan Batasan Ukuran, Vol. 10 dari Oxford Logic Guides, Oxford University Press.
  • Holz, M., K. Steffens, dan E. Weitz, 1999, Pengantar Aritmatika Kardinal, Birkhäuser Advanced Texts, Birkhäuser Verlag, Basel.
  • Jech, TJ, 2003, Teori Set: Edisi Milenium Ketiga, Direvisi dan Diperluas, Springer-Verlag, Berlin.
  • Ketchersid, R., P. Larson, dan J. Zapletal, 2010, "Penyuluhan reguler menara stasioner dan teorema maksimalitas Woodin's Sigma-2-2." Jurnal Logika Simbolik 75 (2): 711-727.
  • Koellner, P., 2010, “Logika yang kuat dari urutan pertama dan kedua,” Buletin Simbolik Logika 16 (1): 1–36.
  • Koellner, P. dan WH Woodin, 2009, "teori lengkap Ω-tidak kompatibel," The Journal of Symbolic Logic 74 (4).
  • Martin, DA, 1976, "Masalah pertama Hilbert: Hipotesis Continuum," dalam F. Browder (ed.), Perkembangan Matematika yang Timbul dari Masalah Hilbert, Vol. 28 dari Prosiding Simposium di Matematika Murni, Masyarakat Matematika Amerika, Providence, hlm. 81-92.
  • Mitchell, W., 2010, "Beginning inner model theory," dalam Foreman dan Kanamori 2010.
  • Steel, JR, 2010, "Garis besar teori model dalam," dalam Foreman dan Kanamori 2010.
  • Woodin, WH, 1999, Aksioma Determinasi, Aksioma Pemaksaan, dan Ideal Nonstationary, Vol. 1 dari Seri de Gruyter dalam Logika dan Penerapannya, de Gruyter, Berlin.
  • –––, 2001a, “Hipotesis kontinum, bagian I,” Pemberitahuan Masyarakat Matematika Amerika 48 (6): 567–576.
  • –––, 2001b, “Hipotesis kontinum, bagian II,” Pemberitahuan Masyarakat Matematika Amerika 48 (7): 681–690.
  • –––, 2005a, “Hipotesis kontinum,” dalam R. Cori, A. Razborov, S. Todorĉević dan C. Wood (eds), Logic Colloquium 2000, Vol. 19 dari Catatan Kuliah dalam Logika, Asosiasi Logika Simbolik, hal. 143–197.
  • –––, 2005b, “Tetapkan teori setelah Russell: perjalanan kembali ke Eden,” dalam G. Link (ed.), Seratus Tahun Paradoks Russell: Matematika, Logika, Filsafat, Vol. 6 dari Seri de Gruyter dalam Logika dan Penerapannya, Walter De Gruyter Inc., hlm. 29–47.
  • –––, 2010, “Model pemanjang yang cocok I,” Jurnal Logika Matematika 10 (1–2): 101–339.
  • –––, 2011a, “Hipotesis Continuum, generik-multiverse set, dan Ω-dugaan,” dalam J. Kennedy dan R. Kossak, (eds), Teori Set, Aritmatika, dan Fondasi Matematika: Teorema, Filsafat, Vol. 36 dari Catatan Kuliah dalam Logika, Cambridge University Press.
  • –––, 2011b, “Model pemanjang yang cocok II,” Jurnal Logika Matematika 11 (2): 115–436.

Alat Akademik

ikon sep man
ikon sep man
Cara mengutip entri ini.
ikon sep man
ikon sep man
Pratinjau versi PDF dari entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Internet Ontology Philosophy Project (InPhO).
ikon makalah phil
ikon makalah phil
Bibliografi yang disempurnakan untuk entri ini di PhilPapers, dengan tautan ke basis datanya.

Sumber Daya Internet lainnya

[Silakan hubungi penulis dengan saran.]