Paradox Curry

Daftar Isi:

Paradox Curry
Paradox Curry

Video: Paradox Curry

Video: Paradox Curry
Video: Curry's Paradox 2024, Maret
Anonim

Navigasi Masuk

  • Isi Entri
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratinjau PDF Teman
  • Penulis dan Info Kutipan
  • Kembali ke atas

Paradox Curry

Publikasi pertama kali diterbitkan 6 Sep 2017; revisi substantif Jumat 19 Jan 2018

“Paradoks Curry”, sebagaimana istilah ini digunakan oleh para filsuf dewasa ini, merujuk pada berbagai paradoks referensi-diri atau sirkularitas yang melacak nenek moyang modern mereka ke Curry (1942b) dan Löb (1955). [1]Ciri umum dari apa yang disebut paradoks Curry ini adalah cara mereka mengeksploitasi gagasan tentang implikasi, embel-embel atau konsekuensi, baik dalam bentuk penghubung atau dalam bentuk predikat. Paradoks Curry muncul dalam sejumlah domain berbeda. Seperti paradoks Russell, ia dapat mengambil bentuk paradoks teori himpunan atau teori properti. Tapi itu juga bisa mengambil bentuk paradoks semantik, mirip dengan paradoks Liar. Paradoks Curry berbeda dari paradoks Russell dan paradoks Liar dalam hal itu pada dasarnya tidak melibatkan gagasan negasi. Versi-versi teori kebenaran yang umum melibatkan kalimat yang mengatakan tentang dirinya sendiri bahwa jika itu benar maka klaim yang dipilih secara sewenang-wenang itu benar, atau -untuk menggunakan contoh yang lebih menyeramkan- mengatakan bahwa jika itu benar maka setiap kesalahan adalah benar. Paradoksnya adalah bahwa keberadaan kalimat semacam itu nampaknya menyiratkan kebenaran dari klaim yang dipilih secara sewenang-wenang, atau - dalam contoh yang lebih menyeramkan - dari setiap kepalsuan. Dalam entri ini, kami menunjukkan bagaimana berbagai paradoks Curry dapat dibangun, memeriksa ruang solusi yang tersedia, dan menjelaskan beberapa cara paradoks Curry signifikan dan menimbulkan tantangan tersendiri.

  • 1. Pendahuluan: Dua Kedok Paradox

    • 1.1 Argumen Informal
    • 1.2 Suatu Kendala pada Teori
    • 1.3 Tinjauan Umum
  • 2. Membangun Kalimat Kari

    • 2.1 Metode Pertama Kari, dan Kalimat Kari Set-Teoretis
    • 2.2 Metode Kedua Curry, dan Kalimat Kari-Teori-kebenaran
  • 3. Turunkan Paradox

    • 3.1 The Curry-Paradox Lemma
    • 3.2 Tempat Alternatif
  • 4. Tanggapan terhadap Curry's Paradox

    • 4.1 Respons Ketidaklengkapan Kari
    • 4.2 Respons Keluh Kari

      • 4.2.1 Tanggapan Bebas Kontraksi
      • 4.2.2 Tanggapan Bebas Detasemen
      • 4.2.3 Aplikasi untuk Argumen Informal
  • 5. Signifikansi Curry's Paradox

    • 5.1 Gagah Berharap untuk Solusi bagi Paradox Negasi

      • 5.1.1 Solusi Parakonsisten Frustrasi
      • 5.1.2 Solusi Paracomplete Frustrasi
    • 5.2 Menunjuk pada Struktur Paradoks Umum
  • 6. Kari Validitas

    • 6.1 Formulir Koneksi
    • 6.2 Formulir Predikat
    • 6.3 Signifikansi
  • Bibliografi

    • Sumber Sejarah Utama
    • Referensi Lainnya
  • Alat Akademik
  • Sumber Daya Internet lainnya
  • Entri terkait

1. Pendahuluan: Dua Kedok Paradox

1.1 Argumen Informal

Misalkan teman Anda memberi tahu Anda: "Jika apa yang saya katakan menggunakan kalimat ini benar, maka waktu tidak terbatas". Ternyata ada argumen pendek dan tampaknya menarik untuk kesimpulan berikut:

(P) Keberadaan semata-mata pernyataan teman Anda memerlukan (atau sebagai akibatnya) bahwa waktu itu tidak terbatas

Banyak yang berpendapat bahwa (P) di luar kepercayaan (dan, dalam pengertian itu, paradoks), bahkan jika waktu memang tak terbatas. Atau, jika itu tidak cukup buruk, pertimbangkan versi lain, kali ini yang melibatkan klaim yang salah. Biarkan teman Anda mengatakan: "Jika apa yang saya katakan menggunakan kalimat ini benar, maka semua bilangan prima". Sekarang, mutatis mutandis, argumen yang sama pendek dan tampaknya menarik menghasilkan (Q):

(T) Keberadaan semata-mata pernyataan teman Anda memerlukan (atau sebagai konsekuensinya) bahwa semua angka adalah prima

Inilah argumen untuk (P). Biarkan (k) menjadi kalimat rujukan diri yang diucapkan teman Anda, disederhanakan sehingga dibaca "Jika (k) benar maka waktu tidak terbatas". Mengingat apa yang dikatakan (k), kita tahu banyak tentang ini:

(1) Di bawah anggapan bahwa (k) benar, itu adalah kasus bahwa jika k benar maka waktu adalah tak terbatas

Tapi, tentu saja, kita juga punya

(2) Di bawah anggapan bahwa (k) benar, itu adalah kasus bahwa k adalah benar

Di bawah anggapan bahwa (k) adalah benar, dengan demikian kita telah memperoleh suatu syarat bersama dengan antesedennya. Dengan menggunakan modus ponens dalam ruang lingkup anggapan, kita sekarang mendapatkan konsekuensi kondisional dalam anggapan yang sama:

(3) Di bawah anggapan bahwa (k) benar, itu adalah kasus bahwa waktu adalah tak terbatas

Aturan pembuktian bersyarat sekarang memberikan hak kepada kami untuk menegaskan persyaratan dengan anggapan kami sebagai anteseden:

(4) Jika (k) benar maka waktu tidak terbatas

Tapi, karena (4) itu saja (k) itu sendiri, maka kita punya

(5) (k) benar

Akhirnya, menempatkan (4) dan (5) bersama-sama dengan mode ponens, kita dapatkan

(6) Waktu tidak terbatas

Kami tampaknya telah menetapkan bahwa waktu adalah tanpa batas tanpa menggunakan asumsi di luar keberadaan kalimat referensi-diri (k), bersama dengan prinsip-prinsip yang tampaknya jelas tentang kebenaran yang membawa kita ke (1) dan juga dari (4) ke (5). Dan hal yang sama berlaku untuk (Q), karena kita bisa menggunakan bentuk argumen yang sama untuk mencapai kesimpulan yang salah bahwa semua bilangan prima.

1.2 Suatu Kendala pada Teori

Salah satu tantangan yang diajukan oleh paradoks Curry adalah untuk menentukan apa yang salah dalam argumen informal sebelumnya untuk (P), (Q) atau sejenisnya. Tetapi dimulai dengan presentasi awal Curry di Curry 1942b (lihat dokumen tambahan tentang Curry on Curry's Paradox), diskusi tentang paradoks Curry biasanya memiliki fokus yang berbeda. Ini menyangkut berbagai sistem formal - paling sering menetapkan teori atau teori kebenaran. Dalam pengaturan ini apa yang menimbulkan paradoks adalah bukti bahwa sistem memiliki fitur tertentu. Biasanya, fitur yang dipermasalahkan adalah sepele. Suatu teori dikatakan sepele, atau sama sekali tidak konsisten, ketika menegaskan setiap klaim yang dapat diungkapkan dalam bahasa teori. [2]

Argumen yang menyatakan bahwa teori formal tertentu sepele akan menimbulkan masalah jika salah satu dari yang berikut adalah masalahnya: (i) kami ingin menggunakan teori formal dalam penyelidikan kami, karena kami menggunakan teori himpunan ketika melakukan matematika, atau (ii) kami ingin menggunakan teori formal untuk memodelkan fitur bahasa atau pemikiran, khususnya klaim yang dilakukan oleh beberapa pembicara atau pemikir. Either way, triviality teori target akan menunjukkan bahwa itu tidak memadai untuk tujuan yang dimaksudkan. Jadi ini adalah tantangan kedua yang ditimbulkan oleh paradoks Curry.

Untuk menjelaskan arti paradoks Curry yang membatasi teori, kita perlu mengatakan apa itu kalimat Curry. Secara informal, kalimat Curry adalah kalimat yang setara, dengan lampu beberapa teori, untuk bersyarat dengan dirinya sendiri sebagai anteseden. Sebagai contoh, orang mungkin menganggap argumen bagian 1.1 menarik bagi teori kebenaran informal. Kemudian kalimat "(k) benar" berfungsi sebagai kalimat Kari untuk teori itu. Itu karena, mengingat apa yang dikatakan teori informal kita tentang apa yang melibatkan kebenaran (k), "(k) adalah benar" harus sama dengan "Jika (k) benar, maka waktu tidak terbatas”(Karena persyaratan ini adalah (k) itu sendiri).

Berikut ini, notasi (vdash _ { mathcal {T}} alpha) digunakan untuk mengatakan bahwa teori (mathcal {T}) berisi kalimat (alpha), dan (Gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha) digunakan untuk mengatakan bahwa (alpha) mengikuti dari premis yang dikumpulkan dalam (Gamma) sesuai dengan (mathcal {T}) (yaitu, sesuai dengan hubungan konsekuensi (mathcal {T}) (vdash _ { mathcal {T}})). [3] Namun, kecuali dalam bagian 4.2.1, kami hanya akan membahas klaim tentang apa yang mengikuti menurut teori dari satu premis, yaitu klaim yang diungkapkan oleh kalimat dalam bentuk (gamma / vdash _ { mathcal {T }} alpha). (Kami mengandalkan konteks untuk memperjelas di mana kalimat tersebut digunakan dan di mana itu hanya disebutkan.)

Dua kalimat (dalam bahasa teori (mathcal {T})) akan disebut intersubstitutable sesuai dengan (mathcal {T}) memberikan kebenaran dari setiap klaim bentuk (Gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha) tidak terpengaruh oleh penggantian satu dengan yang lain di dalam (alpha) atau dalam kalimat apa pun di (Gamma). Akhirnya, kami mengasumsikan bahwa bahasa tersebut mengandung ikat ({ rightarrow}) yang berfungsi, dalam arti yang sesuai, sebagai suatu kondisi. Untuk tujuan definisi berikut, kami tidak menempatkan persyaratan khusus apa pun pada perilaku persyaratan ini. Kita sekarang dapat mendefinisikan pengertian kalimat Curry untuk pasangan teori kalimat.

Definisi 1 (Kalimat kari) Biarkan (pi) menjadi kalimat dari bahasa (mathcal {T}). Kalimat Kari untuk (pi) dan (mathcal {T}) adalah kalimat apa saja (kappa) sedemikian rupa sehingga (kappa) dan (kappa { rightarrow} pi) adalah intersubstitutable menurut (mathcal {T}). [4]

Berbagai versi paradoks Curry muncul dari adanya argumen yang mendukung klaim umum berikut ini. (Argumen ini, yang bertumpu pada asumsi tentang kondisional ({ rightarrow}), akan dibahas secara rinci di bagian 3.)

Klaim Masalah Untuk setiap teori (mathcal {T}), dan setiap kalimat (pi) dalam bahasa (mathcal {T}), jika ada kalimat Kari untuk (pi) dan (mathcal {T}), lalu (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Argumen yang muncul untuk menetapkan Klaim Masalah akan dianggap sebagai paradoks asalkan ada juga alasan kuat untuk percaya bahwa klaim ini salah. Contoh tandingan terhadap Klaim Masalah adalah teori apa pun (mathcal {T}) dan kalimat (pi) sedemikian rupa sehingga ada kalimat Kari untuk (pi) dan (mathcal {T}) tetapi tidak demikian halnya (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Seperti disebutkan di atas, paradoks Curry sering dipahami sebagai tantangan terhadap keberadaan teori nontrivial. Mengingat Klaim Bermasalah, sebuah teori akan sepele setiap kali kalimat Curry dapat dirumuskan untuk setiap kalimat dalam bahasa teori. Memang, hal-hal sepele mengikuti dari kondisi yang lebih lemah, yang definisi berikutnya jelaskan.

Definisi 2 (Curry-complete theory) Sebuah teori (mathcal {T}) adalah Curry-complete asalkan untuk setiap kalimat (pi) dalam bahasa (mathcal {T}), ada beberapa (pi ') sedemikian rupa sehingga (i) ada kalimat Kari untuk (pi') dan (mathcal {T}) dan (ii) if (vdash _ { mathcal {T }} pi ') lalu (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Sementara satu instance dari (pi ') yang memenuhi kondisi (ii) akan menjadi (pi) itu sendiri, instance lain akan menjadi kalimat "eksplosif" (bot) yang terkandung dalam teori hanya jika setiap kalimat terkandung dalam teori. [5]

Klaim Masalah sekarang memiliki konsekuensi langsung: teori Kari-lengkap harus berisi setiap kalimat dalam bahasanya.

Troubling Corollary Setiap teori Curry-complete adalah sepele.

Sekali lagi, argumen apa pun yang muncul untuk membentuk Troubling Corollary akan dianggap sebagai paradoks asalkan ada alasan kuat untuk percaya bahwa ada teori nontrivial (memang teori yang benar) yang lengkap-Curry.

1.3 Tinjauan Umum

Untuk sisa entri ini, paradoks Curry akan dipahami sebagai memaksakan batasan paradoks pada teori, yaitu yang dinyatakan oleh Troubling Corollary di atas. Menghadirkan versi paradoks Curry, yang dipahami dengan cara ini, mencakup melakukan dua hal:

  • berpendapat bahwa (mathcal {T}) adalah Curry-complete, untuk beberapa teori target nontrivial (mathcal {T}), dan
  • memberikan argumen untuk Klaim Masalah. [6]

Bagian 2 dan 3 membahas dua tugas ini dalam urutan itu. Untuk saat ini, ide dasar dapat disampaikan dengan menggunakan contoh kalimat referensial diri (k) yang bertuliskan "Jika (k) benar maka waktu tidak terbatas". Pertama, mengingat pemahaman kita tentang kebenaran, kita mengakui bahwa kalimat "(k) adalah benar" adalah intersubstitutable dengan "Jika (k) benar, maka waktu tidak terbatas". Kedua, argumen informal dari bagian 1.1 mendapatkan kesimpulan paradoks dari kesetaraan ini. Pembaca terutama tertarik pada prinsip-prinsip logis yang terlibat dalam argumen itu dan yang terkait, dan opsi untuk menolak argumen tersebut, mungkin ingin beralih ke bagian 3.

2. Membangun Kalimat Kari

Seperti yang disajikan secara standar hari ini, paradoks Curry menimpa teori kebenaran "naif" (yang menampilkan predikat kebenaran "transparan") dan teori himpunan "naif" (teori yang menampilkan abstraksi set tanpa batas). Bagian ini akan menjelaskan bagaimana setiap jenis teori dapat memunculkan kalimat Curry. Namun, kita mulai dengan versi yang menyangkut teori properti, versi yang lebih mirip dengan formulasi Curry. (Dokumen tambahan Curry on Curry's Paradox secara singkat mencirikan target versi paradoks Curry sendiri.)

Teori properti menampilkan abstraksi properti yang tidak terbatas asalkan untuk kondisi apa pun yang dapat dijabarkan dalam bahasa teori, terdapat properti yang (menurut teori) dicontohkan dengan tepat hal-hal yang memenuhi kondisi ini. Pertimbangkan teori (mathcal {T_P}) yang diformulasikan dalam bahasa dengan perangkat abstraksi properti ([x: / phi x]) dan hubungan contoh (epsilon). Sebagai contoh, jika (phi (t)) mengatakan bahwa objek yang diistilahkan dengan istilah (t) berbentuk segitiga, (t / \ epsilon [x: / phi x]) mengatakan bahwa objek ini mencontohkan properti triangularity. Kemudian, mengingat abstraksi properti yang tidak dibatasi, kita harus memiliki prinsip berikut.

(Properti) Untuk setiap kalimat terbuka (phi) dengan satu variabel bebas, dan setiap istilah (t), kalimat (t / \ epsilon [x: / phi x]) dan (phi t) adalah intersubstitutable menurut (mathcal {T_P}).

Akibatnya, Curry (1942b) membuat sketsa dua "metode membangun" kalimat Curry menggunakan rekannya (Properti). Dia mengatakan bahwa yang pertama adalah "berdasarkan paradoks Russell", sedangkan yang kedua "berdasarkan paradoks Epimenides". Meskipun kedua metode ini adalah properti-teoritik, metode pertama menghasilkan prekursor dari versi set-teoretis dari paradoks Curry, sedangkan yang kedua menghasilkan prekursor versi kebenaran-teori.

2.1 Metode Pertama Kari, dan Kalimat Kari Set-Teoretis

Versi paradoks Russell yang menyerupai metode pertama Curry adalah versi yang menyangkut contoh properti. Topiknya adalah hak milik sedemikian rupa sehingga orang gagal mencontohkan diri sendiri. Kami memperoleh kalimat Curry property-theoretic property dengan mempertimbangkan alih-alih properti menjadi sedemikian rupa sehingga seseorang mencontohkan diri sendiri hanya jika waktu tidak terbatas. Katakanlah kita memperkenalkan nama (h) untuk properti itu, dengan menetapkan (h = _ {def} [x: x / \ epsilon / x { rightarrow} pi]), di mana kalimat (pi) mengatakan bahwa waktu tidak terbatas. [7] Menerapkan prinsip (Properti) ke kalimat (h / \ epsilon / h), kami menemukan:

(h / \ epsilon / h) dan (h / \ epsilon / h { rightarrow} pi) adalah intersubstitutable menurut (mathcal {T_P}).

Dengan kata lain, (h / \ epsilon / h) adalah kalimat Curry untuk (pi) dan (mathcal {T_P}).

Metode pertama Curry kemudian memunculkan set-theoretic Curry kalimat. Teori himpunan menampilkan abstraksi himpunan tak terbatas asalkan untuk kondisi apa pun yang dapat dijabarkan dalam bahasa teori, terdapat himpunan yang (menurut teori) berisi semua dan hanya hal-hal yang memenuhi syarat ini. Biarkan (mathcal {T_S}) menjadi teori set kami, diformulasikan dalam bahasa yang menyatakan abstraksi set menggunakan ({x: / phi x }) dan atur keanggotaan menggunakan (in). Maka lawan dari (Properti) adalah

(Set) Untuk setiap kalimat terbuka (phi) dengan satu variabel bebas, dan setiap istilah (t), kalimat (t / in {x: / phi x }) dan (phi t) adalah intersubstitutable menurut (mathcal {T_S}).

Untuk mendapatkan kalimat Curry set-theoretic, pertimbangkan set yang terdiri dari apa pun yang merupakan anggota dari dirinya sendiri hanya jika waktu tidak terbatas. Katakanlah kita memperkenalkan nama (c) untuk set itu, dengan menetapkan (c = _ {def} {x: x / in x { rightarrow} pi }). Menerapkan prinsip (Set) pada kalimat (c / in c), kami menemukan:

(c / in c) dan (c / in c { rightarrow} pi) adalah intersubstitutable menurut (mathcal {T_S}).

Dengan kata lain, (c / in c) adalah kalimat Kari untuk (pi) dan (mathcal {T_S}).

Versi set-teori dari paradoks Curry diperkenalkan di Fitch 1952 [8] dan juga disajikan dalam Moh 1954 dan Sebelum 1955.

2.2 Metode Kedua Curry, dan Kalimat Kari-Teori-kebenaran

Terlepas dari komentarnya tentang "Epimenides paradox", suatu bentuk paradigma Liar, metode kedua Curry adalah varian dari paradoks semantik terkait, paradoks Grelling. [9]Dalam bentuk aslinya, paradoks Grelling menganggap properti yang dimiliki oleh banyak kata, yaitu properti yang dimiliki kata ketika gagal untuk mencontohkan properti yang diperjuangkannya (Grelling & Nelson 1908). Sebagai contoh, kata "offensiveness" memiliki properti itu: ia gagal untuk mencontohkan properti yang ia pertahankan, karena itu tidak menyinggung (lihat entri tentang paradoks dan logika kontemporer). Akibatnya, Curry menganggap properti sebagai kata yang disediakan itu mencontohkan properti itu berdiri hanya jika waktu tak terbatas. Sekarang anggaplah teori kita memperkenalkan nama (u) untuk properti ini. Curry kemudian menunjukkan bagaimana membangun sebuah kalimat yang (berbicara secara informal) mengatakan bahwa nama (u) mencontohkan properti yang dimaksud. Dia menunjukkan bahwa kalimat ini akan berfungsi sebagai kalimat Curry untuk teori properti dan denotasi nama.[10]

Meskipun metode mendapatkan kalimat Curry ini didasarkan pada fitur semantik ekspresi, itu masih bergantung pada abstraksi properti. Meskipun demikian, ini dapat dilihat sebagai prekursor ke versi semantik sepenuhnya. (Daripada mempertimbangkan properti yang diperkenalkan di atas, orang dapat mempertimbangkan predikat "berlaku untuk dirinya sendiri hanya jika waktu tidak terbatas".) Oleh karena itu, seperti Geach (1955) dan Löb (1955) adalah yang pertama kali ditampilkan, kalimat Curry dapat diperoleh menggunakan prinsip semantik saja, tanpa bergantung pada abstraksi properti. Rute mereka sesuai dengan argumen informal, di bagian 1.1, yang melibatkan kalimat referensi diri (k) yang berbunyi "Jika (k) benar maka waktu tidak terbatas."

Untuk tujuan ini, biarkan (mathcal {T_T}) menjadi teori kebenaran, di mana (T) adalah predikat kebenaran. Asumsikan prinsip "transparansi"

(Kebenaran) Untuk setiap kalimat (alpha), kalimat (T / langle / alpha / rangle) dan (alpha) adalah intersubstitutable menurut (mathcal {T_T}).

Untuk mendapatkan kalimat Curry menggunakan prinsip ini, anggap ada kalimat (xi) yaitu (T / langle / xi / rangle { rightarrow} pi). [11] Kemudian langsung dari (Kebenaran) itu

(T / langle / xi / rangle) dan (T / langle / xi / rangle { rightarrow} pi) adalah intersubstitutable menurut (mathcal {T_T}).

Dengan kata lain, (T / langle / xi / rangle) adalah kalimat Curry untuk (pi) dan (mathcal {T_T}).

Geach mencatat bahwa paradoks semantik yang dihasilkan dari kalimat seperti (T / langle / xi / rangle) menyerupai "paradoks Curry dalam teori himpunan". Löb, yang tidak menyebut-nyebut karya Curry, memuji paradoks dari pengamatan seorang wasit tentang bukti apa yang sekarang dikenal sebagai teorema Löb tentang provabilitas (lihat entri pada teorema ketidaklengkapan Gödel). Wasit, yang sekarang dikenal sebagai Leon Henkin (Halbach & Visser 2014: 257), menyarankan bahwa metode Löb yang digunakan dalam buktinya "mengarah ke derivasi baru paradoks dalam bahasa alami", yaitu argumen informal dari bagian 1.1 di atas. [12]

3. Turunkan Paradox

Misalkan kita telah menggunakan salah satu metode di atas untuk menunjukkan, untuk beberapa teori kebenaran, set, atau properti, bahwa teorinya adalah Curry-complete (dalam kebajikan, katakanlah, berisi kalimat Curry untuk setiap kalimat bahasa, atau untuk kalimat peledak). Untuk menyimpulkan bahwa teori tersebut sepele, sekarang cukup untuk memberikan argumen untuk Klaim Masalah. Ini adalah klaim bahwa untuk setiap teori (mathcal {T}), jika ada kalimat Curry untuk (pi) dan (mathcal {T}), maka (vdash _ { mathcal {T}} pi). Argumen seperti itu akan menggunakan asumsi tentang perilaku logis dari kondisional ({ rightarrow}) yang disebutkan dalam Definisi 1. Dengan asumsi Klaim Masalah harus ditolak, ini karenanya menempatkan kendala pada perilaku kondisional ini.

3.1 The Curry-Paradox Lemma

Untuk memulainya, berikut ini adalah hasil pembatasan yang sangat umum, varian dekat dari Lemma dalam Curry 1942b. [13]

Curry-Paradox Lemma Misalkan teori (mathcal {T}) dan kalimat (pi) sedemikian rupa sehingga (i) ada kalimat Curry untuk (pi) dan (mathcal {T}), (ii) semua instance aturan identitas (Id) (alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha) tahan, dan (iii) conditional ({ rightarrow}) memuaskan keduanya dari prinsip-prinsip berikut:

) tag {MP} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta / textrm {dan} vdash _ { mathcal {T}} alpha / textrm {lalu} vdash _ { mathcal {T}} beta)) tag {Cont} textrm {If} alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

Kemudian (vdash _ { mathcal {T}} pi).

Di sini MP adalah versi mode ponens, dan Cont adalah prinsip kontraksi: dua kemunculan kalimat (alpha) "dikontrak" menjadi satu. (Kami akan segera menemukan prinsip-prinsip terkait yang lebih umum disebut sebagai kontraksi. [14]) Curry-Paradox Lemma mensyaratkan bahwa teori Curry-complete harus melanggar satu atau lebih Id, MP atau Cont pada rasa sakit karena hal-hal sepele.

Untuk membuktikan Lemma satu menunjukkan bahwa Id, MP dan Cont, bersama-sama dengan "Curst-intersubstitutivity" dari (kappa) dengan (kappa { rightarrow} pi), cukup untuk membangun (vdash_ { mathcal {T}} pi). Derivasi berikut ini menyerupai argumen informal dari bagian 1.1. Argumen itu juga termasuk subargument untuk Cont prinsip, yang akan diperiksa di bawah ini.

) begin {array} {rll} 1 & / kappa / vdash _ { mathcal {T}} kappa & / textrm {Id} / 2 & / kappa / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & / textrm {1 Kari-intersubstitutivitas} / 3 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & / textrm {2 Cont} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa & / textrm {3 Kari-intersubstitutivitas} / 5 & / vdash _ { mathcal {T}} pi & / textrm {3, 4 MP} end {array})

Bagian 4 akan membahas cara-cara di mana masing-masing dari kedua prinsip mengenai ({ rightarrow}) diasumsikan dalam Curry-Paradox Lemma dapat dibenarkan atau ditolak.

3.2 Tempat Alternatif

Ada rekan-rekan dari Curry-Paradox Lemma yang meminta set alternatif prinsip-prinsip logis (lihat, misalnya, Rogerson & Restall 2004 dan Bimbo 2006). Mungkin versi yang paling umum menggantikan aturan Id dan Cont dengan hukum yang sesuai:

) tag {IdL} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} alpha)) tag {ContL} vdash _ { mathcal {T}} (alpha { rightarrow} (alpha { rightarrow} beta)) { rightarrow} (alpha { rightarrow} beta))

Derivasi sekarang berjalan sebagai berikut:

) begin {array} {rll} 1 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} kappa & / textrm {IdL} / 2 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi) & / textrm {1 Kari-intersubstitutivitas} / 3 & / vdash _ { mathcal {T}} (kappa { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi)) { rightarrow} (kappa { rightarrow} pi) & / textrm {2 ContL} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & / textrm { 2, 3 MP} / 5 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa & / textrm {4 Kari-intersubstitutivitas} / 6 & / vdash _ { mathcal {T}} pi & / textrm {4, 5 MP} / \ end {array})

Mitra umum kedua dari Curry-Paradox Lemma adalah karena Meyer, Routley, dan Dunn (1979). [15] Ia menggunakan dua prinsip terkait konjungsi: bentuk hukum modus ponens dan idempotensi konjungsi.

) tag {MPL} vdash _ { mathcal {T}} ((alpha { rightarrow} beta) wedge / alpha) { rightarrow} beta)

(Idem (_ { wedge})) Kalimat (alpha) dan (alpha / wedge / alpha) adalah intersubstitutable menurut (T)

Kali ini derivasinya sebagai berikut:

) begin {array} {rll} 1 & / vdash _ { mathcal {T}} ((kappa { rightarrow} pi) wedge / kappa) { rightarrow} pi & / textrm {MPL} / 2 & / vdash _ { mathcal {T}} (kappa / wedge / kappa) { rightarrow} pi & / textrm {1 Kari-intersubstitutivitas} / 3 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa { rightarrow} pi & / textrm {2 Idem (_ { wedge})} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} kappa & / textrm {4 Kari-intersubstitutivitas} / 5 & / vdash _ { mathcal {T}} pi & / textrm {3, 4 MP} / \ end {array})

Merumuskan Lemma-Paradox menggunakan Cont, daripada ContL atau MPL, akan membuatnya lebih mudah untuk menarik perhatian (di bagian berikutnya) untuk perbedaan signifikan dalam kelas respons yang menolak kedua prinsip terakhir. [16]

4. Tanggapan terhadap Curry's Paradox

Respons terhadap paradoks Curry dapat dibagi menjadi dua kelas, berdasarkan pada apakah mereka menerima Troubling Corollary bahwa semua teori Curry-complete itu sepele.

  • Respons ketidaklengkapan kari menerima Troolling Corollary. Namun, mereka menyangkal bahwa teori target properti, set atau kebenaran adalah lengkap-Kari. Respons kari-ketidaklengkapan dapat, dan biasanya, merangkul logika klasik.
  • Respons kelengkapan kari menolak Troolling Corollary; mereka bersikeras bahwa mungkin ada teori Curry-complete nontrivial. Setiap teori semacam itu harus melanggar satu atau lebih dari prinsip-prinsip logis yang diasumsikan dalam Lemma-Paradox. Karena logika klasik memvalidasi prinsip-prinsip tersebut, respons ini memunculkan logika non-klasik. [17]

Ada juga opsi untuk mengadvokasi respons Curry-ketidaklengkapan untuk paradoks Curry yang timbul dalam satu domain, katakan teori himpunan, sementara menganjurkan respons Curry-kelengkapan untuk paradoks Curry yang timbul di domain lain, katakanlah teori properti (misalnya, Field 2008; Beall 2009).

4.1 Respons Ketidaklengkapan Kari

Contoh-contoh teori kebenaran terkemuka yang menyediakan respons Curry-tidak lengkap terhadap paradoks Curry termasuk teori hierarki Tarski, teori kebenaran revisi (Gupta & Belnap 1993) dan pendekatan kontekstualis (Burge 1979, Simmons 1993, dan Glanzberg 2001, 2004). Semua teori ini membatasi prinsip transparansi (naif). Untuk tinjauan umum, lihat entri pada paradoks Liar. Dalam konteks teori himpunan Curry-ketidaklengkapan respon termasuk teori tipe Russellian dan berbagai teori yang membatasi prinsip abstraksi set "naif" (Set). Lihat entri pada paradoks Russell dan teori himpunan aksiomatik alternatif.

Secara umum, pertimbangan yang relevan untuk mengevaluasi sebagian besar respons Curry-ketidaklengkapan tampaknya tidak spesifik untuk paradoks Curry, tetapi berkaitan sama dengan paradoks Liar (dalam domain theoretik kebenaran) dan paradoks Russell (dalam set dan properti- domain teoretis). [18] Oleh karena itu, bagian selanjutnya dari entri ini akan fokus pada respons Kelengkapan Kari, meskipun bagian 6.3 secara singkat kembali ke perbedaan dalam konteks yang disebut paradoks Curry validity.

4.2 Respons Keluh Kari

Respons kelengkapan kari terhadap paradoks Curry berpendapat bahwa ada teori-teori yang lengkap-Curry namun nontrivial; teori semacam itu harus melanggar satu atau lebih prinsip-prinsip logis yang diasumsikan dalam Lemma-Paradox. Karena aturan ID secara umum tidak dipertanyakan (tetapi lihat Prancis 2016 dan Nicolai & Rossi yang akan datang), ini berarti menyangkal bahwa ({rightarrow}) kondisional dari teori Curry-complete nontrivial memenuhi kedua MP dan Cont. Dengan demikian, tanggapan telah jatuh ke dalam dua kategori.

(I) Strategi yang paling umum adalah menerima bahwa teori seperti itu mematuhi MP, tetapi menyangkal bahwa itu mematuhi Cont. Karena Cont adalah prinsip kontraksi, respons seperti itu dapat disebut bebas kontraksi. Strategi ini pertama kali diusulkan oleh Moh (1954), yang dikutip oleh Geach (1955) dan Prior (1955)

(II) Strategi kedua dan yang jauh lebih baru adalah menerima bahwa teori seperti itu mematuhi Cont, tetapi menyangkal bahwa itu mematuhi MP (kadang-kadang disebut aturan "detasemen"). Respons semacam itu dapat disebut bebas detasemen. Strategi ini dianjurkan, dengan cara yang berbeda, oleh Ripley (2013) dan Beall (2015)

Setiap kategori respons Kelengkapan Kari pada gilirannya dapat dibagi lagi sesuai dengan bagaimana ia memblokir turunan Cont dan MP.

4.2.1 Tanggapan Bebas Kontraksi

Cont prinsip yang ditolak oleh tanggapan bebas kontraksi mengikuti dari dua prinsip standar. Ini adalah bukti bersyarat premis tunggal dan versi yang sedikit lebih umum dari modus ponens, yang melibatkan paling banyak satu premis (gamma):

  • (MP ') Jika (gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) dan (gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha) lalu (gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta)
  • (CP) Jika (alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta) maka (vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

) begin {array} {rll} 1 & / alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & / alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha & / textrm {Id} / 3 & / alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta & / textrm {1, 2 MP '} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow } beta & / textrm {3 CP} / \ end {array})

Respons bebas kontraksi dengan demikian harus menolak satu atau yang lain dari kedua prinsip ini untuk mensyaratkan teori lengkap-kari Nontrivial. Dengan demikian, dua subkategori ahli teori dalam kategori (I) dapat diidentifikasi:

(Ia) Respons bebas kontraksi yang kuat menyangkal bahwa ({ rightarrow}) mematuhi MP '(misalnya, Mares & Paoli 2014; Slaney 1990; Weir 2015; Zardini 2011)

(Ib) Respons bebas kontraksi lemah menerima bahwa ({ rightarrow}) mematuhi MP ', tetapi menyangkal bahwa ia mematuhi CP (misalnya, Field 2008; Beall 2009; Nolan 2016)

Alasan mengapa respons dalam kategori (Ib) hanya dihitung sebagai bebas kontraksi lemah adalah bahwa, seperti yang ditunjukkan langkah 1-3, mereka menerima prinsip kontraksi sesuai dengan yang jika (alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) lalu (alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta).

Pendukung tanggapan bebas kontraksi berpendapat bahwa MP 'tidak secara tepat mengungkapkan bentuk modus ponens yang relevan. Mereka biasanya menyajikan bentuk aturan itu sendiri dalam kerangka kerja “substruktural”, khususnya yang memungkinkan kita membedakan antara yang mengikuti dari premis yang diambil sekali dan yang mengikuti dari premis yang sama yang diambil dua kali. (Lihat entri pada logika substruktural.) Dengan demikian, MP perlu diganti oleh

(MP ″) Jika (gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) dan (gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha) lalu (gamma, / gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta)

dan aturan "kontraksi struktural" perlu ditolak:

(sCont) Jika (Gamma, / gamma, / gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta) lalu (Gamma, / gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta)

Karena mereka menolak kontraksi struktural maka pendekatan bebas kontraksi yang kuat dapat mengklaim untuk melestarikan modus ponens meskipun menolak MP '(lihat Shapiro 2011, Zardini 2013, dan Ripley 2015a).

Respons bebas kontraksi yang kuat juga perlu memblokir derivasi MP menggunakan sepasang prinsip yang melibatkan konjungsi:

(MP '(_ { land})) Jika (gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) dan (delta / vdash _ { mathcal {T} } alpha) lalu (gamma / wedge / delta / vdash _ { mathcal {T}} beta)

(Idem (_ { wedge})) Kalimat (alpha) dan (alpha / wedge / alpha) adalah intersubstitutable menurut (T)

) begin {array} {rll} 1 & / gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & / gamma / vdash _ { mathcal {T}} alpha & \\ 3 & / gamma / wedge / gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta & / textrm {1, 2 MP '(_ { wedge})} / 4 & / gamma / vdash _ { mathcal {T}} beta & / textrm {3 Idem (_ { wedge})} / \ end {array})

Menghindari derivasi MP ini memerlukan penyangkalan bahwa ada konjungsi (wedge) yang mematuhi MP '(_ { wedge}) dan Idem (_ { wedge}). Menurut banyak respons bebas kontraksi (mis. Mares & Paoli 2014; Zardini 2011), satu jenis konjungsi - jenis “multiplikatif”, atau “fusi” - mengikuti MP '(_ { wedge}) tetapi tidak Idem (_ { wedge}), sedangkan jenis lain - jenis "additive" mematuhi Idem (_ { wedge}) tetapi bukan MP '(_ { wedge}) (lihat entri pada linear logika, dan Ripley 2015a). Jika kerangka kerja substruktural yang dibahas di atas digunakan, kegagalan MP '(_ { wedge}) berjumlah fakta bahwa untuk konjungsi aditif, (gamma, / delta / vdash _ { mathcal {T}} beta) tidak setara dengan (gamma / wedge / delta / vdash _ { mathcal {T}} beta).

Adapun tanggapan bebas kontraksi lemah, kegagalan CP kadang-kadang termotivasi menggunakan semantik "dunia" dari jenis yang melibatkan perbedaan antara dunia yang secara logis mungkin dan tidak mungkin (misalnya, Beall 2009; Nolan 2016). Untuk menyangkal CP kita memerlukan kebenaran (alpha / vdash_ / mathcal {T} beta) dan kepalsuan (vdash_ / mathcal {T} alpha { rightarrow} beta). Pada target "dunia" mendekati (vdash_ / mathcal {T}) didefinisikan sebagai pelestarian kebenaran atas subset dunia yang tepat (dalam model), yaitu, "dunia yang mungkin" dari model. Karenanya, agar (alpha / vdash_ / mathcal {T} beta) menjadi benar adalah tidak ada dunia yang mungkin (dalam model apa pun) di mana (alpha) benar dan (beta) tidak benar. Pada gilirannya, untuk menyangkal (vdash_ / mathcal {T} alpha { rightarrow} beta) kita membutuhkan dunia yang memungkinkan di mana (alpha { rightarrow} beta) tidak benar. Bagaimana itu bisa terjadi? Karena penghubung didefinisikan dengan cara yang memperhitungkan semua (jenis) dunia dalam model (mungkin dan, jika ada, tidak mungkin) ada opsi untuk (alpha { rightarrow} beta) menjadi tidak benar pada dunia yang mungkin berdasarkan (alpha) yang benar dan (beta) tidak benar di dunia yang mustahil. Dan itulah yang terjadi pada pendekatan target. (Persis bagaimana seseorang mendefinisikan kondisi kebenaran-di-dunia-dan kepalsuan-di-dunia untuk panah tergantung pada pendekatan "dunia" yang tepat yang dipermasalahkan.)Dan itulah yang terjadi pada pendekatan target. (Persis bagaimana seseorang mendefinisikan kondisi kebenaran-di-dunia-dan kepalsuan-di-dunia untuk panah tergantung pada pendekatan "dunia" yang tepat yang dipermasalahkan.)Dan itulah yang terjadi pada pendekatan target. (Persis bagaimana seseorang mendefinisikan kondisi kebenaran-di-dunia-dan kepalsuan-di-dunia untuk panah tergantung pada pendekatan "dunia" yang tepat yang dipermasalahkan.)

4.2.2 Tanggapan Bebas Detasemen

Respons bebas detasemen harus memblokir derivasi langsung MP berdasarkan pada prinsip transitivitas bersama dengan kebalikan dari bukti bersyarat premis tunggal:

  • (Trans) Jika (alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta) dan (vdash _ { mathcal {T}} alpha), maka (vdash _ { mathcal {T}} beta)
  • (CCP) Jika (vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) maka (alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta)

) begin {array} {rll} 1 & / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta & \\ 2 & / vdash _ { mathcal {T}} alpha & \\ 3 & / alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta & / textrm {1 CCP} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} beta & / textrm {2, 3 Trans} / \ end {array })

Ada dua subkategori teoretikus dalam kategori (II):

  • (IIa) Respons yang sangat bebas dari detasemen menyangkal bahwa ({ rightarrow}) mematuhi CCP (Goodship 1996; Beall 2015).
  • (IIb) Respons bebas detasemen lemah menerima bahwa ({ rightarrow}) mematuhi CCP, tetapi menolak Trans (Ripley 2013).

Alasan mengapa respons dalam kategori (IIb) hanya bebas dari detasemen adalah bahwa CCP, yang diterima oleh respons ini, dapat dianggap sebagai semacam prinsip detasemen untuk persyaratan.

Salah satu strategi untuk membalas dakwaan bahwa tanggapan bebas detasemen adalah berlawanan dengan intuisi adalah dengan menarik hubungan antara konsekuensi dan penerimaan kita dan penolakan terhadap hukuman. Menurut koneksi ini, setiap kali (alpha / vdash _ { mathcal {T}} beta), ini berarti (atau setidaknya menyiratkan) bahwa ia tidak koheren dengan lampu teori (mathcal {T}) untuk menerima (alpha) sambil menolak (beta) (lihat Restall 2005). Sekarang anggaplah, dengan lampu teori (mathcal {T}), itu tidak koheren untuk menolak (alpha) dan juga tidak koheren untuk menerima (alpha) sambil menolak (beta). Kemudian, Ripley (2013) berpendapat, tidak perlu ada yang tidak jelas oleh lampu teori tentang menolak (beta), selama orang tidak juga menerima (alpha). Dengan demikian ada ruang untuk melepaskan Trans dan mengadopsi respons bebas pelepasan yang lemah terhadap paradoks Curry. Pembelaan Beall terhadap pendekatan yang sangat bebas dari detasemen bertumpu pada pertimbangan terkait. Dia berpendapat, pada dasarnya, bahwa prinsip yang lebih lemah dari CCP dapat memainkan peran yang relevan dalam membatasi kombinasi penerimaan dan penolakan kalimat termasuk (alpha), (beta), dan (alpha { rightarrow } beta).

4.2.3 Aplikasi untuk Argumen Informal

Pendekatan-pendekatan terhadap paradoks Curry yang baru saja ditemukan menemukan kesalahan dengan inferensi dan sub-kesimpulan yang berbeda dari argumen paradoks informal di bagian 1.1. Respons bebas kontraksi kuat berhubungan dengan memblokir langkah (3) argumen itu, karena menolak MP '. Sebaliknya, respons bebas kontraksi lemah memblokir langkah (4), karena menolak CP. Baik jenis respons bebas detasemen tidak akan menerima alasan pada langkah (3). Karena mereka menerima Cont, tanggapan bebas pelepasan memungkinkan kita untuk mendapatkan kesimpulan dari (4), di mana tanggapan bebas pelepasan yang lemah selanjutnya memungkinkan kita untuk memperoleh kesimpulan dari (3) oleh CCP. Namun, kedua jenis respon bebas detasemen menemukan kesalahan dengan langkah terakhir oleh MP ke (6).

5. Signifikansi Curry's Paradox

Pada bagian ini, kami menjelaskan beberapa pelajaran khusus yang dapat dipelajari dengan mempertimbangkan paradoks Curry. Untuk diskusi tentang jenis-jenis makna yang dibagikan oleh versi paradoks Curry dengan paradoks terkait, lihat entri pada paradoks Russell dan paradoks Liar.

5.1 Gagah Berharap untuk Solusi bagi Paradox Negasi

Dimulai dengan Gereja (1942), Moh (1954), Geach (1955), Löb (1955) dan Prior (1955), diskusi tentang paradoks Curry telah menekankan bahwa ia berbeda dari paradoks Russell, dan paradoks Liar, dalam hal itu tidak terjadi. t "keterlibatan [e] negasi pada dasarnya" (Anderson 1975: 128). [19] Salah satu alasan status bebas negasi dari paradoks Curry penting adalah karena membuat paradoks tahan terhadap beberapa resolusi yang mungkin memadai untuk "paradoks negasi" tersebut.

Geach berpendapat bahwa paradoks Curry menimbulkan masalah bagi setiap pendukung teori kebenaran naif atau teori himpunan naif yang, dihadapkan dengan paradoks negasi,

mungkin … berharap untuk menghindari [paradoks ini] dengan menggunakan sistem logis di mana '(p) jika dan hanya jika tidak - (p)' adalah teorema untuk beberapa interpretasi '(p)' tanpa kita mampu menyimpulkan dari situ pernyataan sewenang-wenang …. (Geach 1955: 71)

Masalahnya, katanya, adalah bahwa paradoks Curry "tidak dapat diselesaikan hanya dengan mengadopsi sistem yang berisi semacam negasi yang aneh". Sebaliknya, "jika kita ingin mempertahankan pandangan naif tentang kebenaran, atau pandangan naif tentang kelas …, maka kita harus mengubah aturan dasar kesimpulan yang berkaitan dengan 'jika'" (1955: 72). Pandangan Geach tentang pentingnya paradoks Curry sangat digaungkan oleh Meyer, Routley, dan Dunn (1979: 127). Mereka menyimpulkan bahwa paradoks Curry membuat frustasi mereka yang “berharap bahwa prinsip negasi pelemahan klasik” akan menyelesaikan paradoks Russell. [20]

Singkatnya, intinya adalah bahwa ada logika non-klasik dengan prinsip negasi lemah yang menyelesaikan paradoks dan pembohong Russell, namun tetap rentan terhadap paradoks Curry. Ini adalah logika dengan fitur-fitur berikut:

  • (A) Mereka dapat berfungsi sebagai dasar untuk teori nontrivial yang menurutnya beberapa kalimat intersubstitutable dengan negasinya sendiri.
  • (B) Mereka tidak bisa berfungsi sebagai dasar untuk teori nontrivial yang lengkap kari.

Meskipun tidak jelas logika yang Geach mungkin pikirkan, memang ada logika non-klasik yang memenuhi kedua kondisi ini. Teori-teori berdasarkan logika ini tetap rentan terhadap paradoks Curry.

5.1.1 Solusi Parakonsisten Frustrasi

Meyer, Routley, dan Dunn (1979) meminta perhatian pada satu kelas logika yang memenuhi kondisi (a) dan (b). Mereka adalah di antara logika paraconsistent, yang merupakan logika yang dengannya kalimat bersama negasinya tidak akan memerlukan hukuman sewenang-wenang. Logika paraconsistent dapat digunakan untuk mendapatkan teori-teori yang menyelesaikan paradoks Russell, dan the Liar, dengan merangkul inkonsistensi negasi tanpa menyerah pada hal-hal sepele.

Menurut teori seperti itu (mathcal {T}), kalimat (lambda) dan (lnot / lambda) dapat intersubstitutable, selama keduanya (vdash _ { mathcal {T} } lambda) dan (vdash _ { mathcal {T}} lnot / lambda). Teori-teori seperti itu adalah "rakus", dalam arti bahwa mereka menegaskan beberapa kalimat bersama dengan negasinya (lihat entri pada dialetheisme). Namun sejumlah logika parakonsisten yang menonjol tidak dapat berfungsi sebagai dasar bagi teori Curry-complete tentang rasa sakit karena hal-hal sepele. Logika semacam itu kadang-kadang dikatakan gagal menjadi “Curry paraconsistent” (Slaney 1989). [21]

5.1.2 Solusi Paracomplete Frustrasi

Banyak logika non-klasik yang telah diusulkan untuk menanggung tanggapan terhadap paradoks Russell dan paradoks Liar adalah logika paracomplete, logika yang menolak hukum perantara yang dikecualikan. Logika ini memungkinkan teori "gappy". Secara khusus, di mana (lambda) dan (lnot / lambda) adalah intersubstitutable menurut teori seperti itu (mathcal {T}), itu akan gagal menjadi kasus yang (vdash _ { mathcal {T}} lambda / lor / lnot / lambda). Beberapa logika paracomplete ini juga memenuhi kondisi (a) dan (b).

Salah satu contohnya adalah logika Ł (_ {3}) berdasarkan pada tiga tabel kebenaran bernilai Łukasiewicz (lihat, misalnya, Priest 2008). Karena memenuhi kondisi (a), Ł (_ {3}) menawarkan respons yang mungkin terhadap paradoks Russell dan Liar-khususnya, respons gappy. Namun pertimbangkan kondisi bersyarat iterated (alpha { rightarrow} (alpha { rightarrow} beta)), yang kami persingkat sebagai (alpha / Rightarrow / beta). Misalkan kalimat Kari untuk (pi) dan teori berbasis Ł (_ {3}) (mathcal {T}) didefinisikan ulang menjadi kalimat apa pun (kappa) intersubstitutable dengan (kappa / Rightarrow / pi). Kemudian (mathcal {T}) akan memenuhi semua kondisi Curma-Paradox Lemma, seperti yang pertama kali dicatat oleh Moh (1954). Karenanya, selama ada (kappa) yang intersubstitutable dengan (kappa / Rightarrow / pi) menurut (mathcal {T}), maka (vdash _ { mathcal { T}} pi). Akibatnya Ł (_ {3}) tidak akan menanggung respons terhadap paradoks Curry.[22]

Untuk meringkas: Paradoks Curry menghalangi beberapa cara lain yang tersedia untuk menyelesaikan paradoks semantik melalui teori glutty atau gappy. Akibatnya, kebutuhan untuk menghindari paradoks Curry telah memainkan peran penting dalam pengembangan logika non-klasik (misalnya, Priest 2006; Field 2008).

5.2 Menunjuk pada Struktur Paradoks Umum

Status paradoks Curry yang bebas negasi penting karena alasan kedua. Sebelum membuat poin penting berikut:

Kita dapat… mengatakan tidak hanya bahwa paradoks Curry tidak melibatkan negasi tetapi bahkan paradoks Russell mengandaikan hanya sifat-sifat negasi yang dibagikan dengan implikasi. (Sebelum 1955: 180) [23]

Apa yang ada dalam pikirannya adalah bahwa paradoks Russell dan paradoks Curry dapat dipahami sebagai hasil dari struktur umum yang sama, yang dapat dipakai baik menggunakan negasi atau menggunakan kondisional. [24]

Struktur umum dapat dibuat eksplisit dengan mendefinisikan jenis ikat unary yang menimbulkan paradoks Curry, dan menunjukkan bagaimana jenis ini dicontohkan baik oleh negasi maupun oleh ikat unary yang didefinisikan dalam istilah kondisional.

Definisi 3 (Sambungan kari) Biarkan (pi) menjadi kalimat dalam bahasa teori (mathcal {T}). Konektif unary (odot) adalah konektif Curry untuk (pi) dan (mathcal {T}) asalkan memenuhi dua prinsip:

) tag {P1} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha / textrm {dan} vdash _ { mathcal {T}} odot / alpha / textrm {lalu} vdash _ { mathcal {T}} pi.)) tag {P2} textrm {If} alpha / vdash _ { mathcal {T}} odot / alpha / textrm {lalu} vdash _ { mathcal {T}} odot / alpha.)

Generalized Curry-Paradox Lemma Misalkan bahwa (mathcal {T}) adalah sedemikian sehingga Id berlaku dan untuk beberapa pasang kalimat (pi) dan (mu), (i) (mu) dan (odot / mu) adalah intersubstitutable menurut (mathcal {T}) dan (ii) (odot) adalah konektif Curry untuk (pi) dan (mathcal { T}). Dalam hal ini (vdash _ { mathcal {T}} pi). [25]

Bukti:

) begin {array} {rll} 1 & / mu / vdash _ { mathcal {T}} mu & / textrm {Id} / 2 & / mu / vdash _ { mathcal {T}} odot / mu & / textrm {1 Kari-intersubstitutivitas} / 3 & / vdash _ { mathcal {T}} odot / mu & / textrm {2 P2} / 4 & / vdash _ { mathcal {T}} mu & / textrm {3 Curry-intersubstitutivity} / 5 & / vdash _ { mathcal {T}} pi & / textrm {3, 4 P1} / \ end {array})

Generalized Curry-Paradox Lemma sekarang dapat dipakai dengan dua cara berbeda, sehingga menghasilkan paradoks Curry atau paradoks negasi:

  • Untuk mendapatkan paradoks Curry, biarkan ikat unary (odot) sedemikian rupa sehingga (odot / alpha) adalah (alpha { rightarrow} pi), dan biarkan (mu) menjadi kalimat intersubstitutable dengan (mu { rightarrow} pi) sesuai dengan (mathcal {T}). Kemudian P1 sama dengan instance MP yang digunakan dalam derivasi Curry-Paradox Lemma kami, sementara P2 tidak lain adalah aturan kami Cont.

    ) tag {MP} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta / textrm {dan} vdash _ { mathcal {T}} alpha / textrm {lalu} vdash _ { mathcal {T}} beta)) tag {Cont} textrm {If} alpha / vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta / textrm {then} vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta)

  • Untuk mendapatkan paradoks negasi, biarkan (odot / alpha) menjadi (lnot / alpha), dan biarkan (mu) menjadi kalimat intersubstitutable dengan (lnot / mu) sesuai dengan (mathcal {T}). [26] Kemudian P1 berarti instance quradlibet ex contradictione (atau "ledakan"), sementara P2 adalah prinsip reductio.

    ) tag {ECQ} textrm {If} vdash _ { mathcal {T}} alpha / textrm {dan} vdash _ { mathcal {T}} lnot / alpha / textrm {lalu} vdash _ { mathcal {T}} beta)) tag {Red} textrm {If} alpha / vdash _ { mathcal {T}} lnot / alpha / textrm {lalu} vdash _ { mathcal {T}} lnot / alpha)

Poin Prior adalah bahwa fitur negasi yang relevan dengan paradoks Russell atau paradoks Liar habis oleh statusnya sebagai penghubung Curry. Ini memperjelas mengapa paradoks ini tidak tergantung pada fitur negasi, seperti eliminasi negasi menengah atau ganda yang dikecualikan, yang gagal bertahan dalam teori non-klasik di mana negasi tetap menjadi penghubung Curry (misalnya, dalam teori intuitionistic, di mana ECQ dan Red keduanya memegang). [27]

Selain itu, ikat Curry tidak perlu seperti negasi sama sekali. Mungkin gagal menjadi negasi minimal (lihat entri tentang negasi), karena tidak perlu mematuhi hukum pengantar ganda:

) tag {DI} alpha / vdash _ { mathcal {T}} odot / odot / alpha.)

Sebagai contoh, misalkan (odot / alpha) adalah (alpha { rightarrow} pi). Maka agar (odot) untuk mematuhi DI, itu harus menjadi kasus yang (alpha / vdash _ { mathcal {T}} (alpha { rightarrow} pi) { rightarrow} pi). Prinsip itu dilanggar oleh sejumlah teori non-klasik di mana (odot), ketika didefinisikan dengan cara ini, memenuhi syarat sebagai penghubung Curry. [28]

Untuk meringkas: Paradoks Curry menunjuk ke struktur umum yang dipakai oleh beragam paradoks. Struktur ini sendiri tidak melibatkan negasi, tetapi juga diperlihatkan oleh paradoks bahwa (tidak seperti paradoks Curry) pada dasarnya melibatkan negasi, seperti paradoks Russell dan paradoks Liar.

Masalah paradoks yang memperlihatkan struktur bersama menjadi penting mengingat “prinsip solusi seragam” yang secara kuat dianjurkan oleh Priest (1994). Menurut prinsip ini, paradoks yang termasuk dalam "jenis yang sama" harus menerima "jenis solusi yang sama". Misalkan kita membatasi satu jenis paradoks sebagai berikut:

Definisi 4 (Generalized Curry paradox) Kami memiliki paradoks Curry yang digeneralisasi dalam hal apa pun di mana asumsi yang dinyatakan dalam Generalized Curry-Paradox Lemma tampaknya berlaku.

Dengan asumsi seseorang menerima prinsip solusi seragam, pertanyaannya menjadi apa yang dianggap sebagai mengusulkan solusi seragam untuk semua paradoks Curry umum. Secara khusus, apakah cukup untuk menunjukkan, untuk setiap contoh dari jenis yang dibatasi demikian, bahwa apa yang tampaknya menjadi penghubung Curry sebenarnya gagal menjadi satu? Tampaknya ini memang cukup. Tidak jelas mengapa keseragaman juga mensyaratkan bahwa semua penghubung Curry yang tampak gagal memenuhi syarat karena melanggar kondisi yang sama. Sebagai contoh, misalkan negasi dan konektif unary kita didefinisikan menggunakan ({ rightarrow}) keduanya tampaknya memenuhi prinsip umum P2, dalam kasus sebelumnya karena ({ lnot}) tampaknya mematuhi Red dan pada yang terakhir huruf karena ({ rightarrow}) tampaknya mematuhi Cont. Kecuali jika dua penampilan ini berbagi sumber yang sama (misalnya,ketergantungan implisit pada kontraksi struktural, seperti yang diklaim oleh Zardini 2011), tidak perlu ada yang tidak seragam tentang mengambil satu penampilan pada nilai nominal sambil mengabaikan yang lain sebagai menipu. (Untuk pembahasan masalah filosofis di sini, diterapkan pada kelas paradoks yang berbeda, lihat pertukaran dalam Smith 2000 dan Priest 2000).

Jika itu benar, desideratum yang menggeneralisasikan paradoks Curry diselesaikan secara seragam tidak perlu membedakan antara berbagai solusi revisi logis yang telah dikejar. Ini termasuk tiga opsi berikut:

  • Orang mungkin berpendapat bahwa itu adalah prinsip P1 saja yang gagal ketika (odot / alpha) dipakai sebagai (lnot / alpha) (untuk mendapatkan paradoks negasi), sedangkan P2 sendiri yang gagal ketika (odot / alpha) dipakai sebagai (alpha { rightarrow} pi) (untuk mendapatkan paradoks Curry). Pada pendekatan ini, ECQ dan Cont gagal, sedangkan Red dan MP memegang (Priest 1994, 2006).
  • Orang mungkin berpendapat bahwa P2 saja gagal untuk kedua instance (odot). Pada pendekatan ini, Red dan Cont gagal, sementara ECQ dan MP bertahan (Field 2008; Zardini 2011).
  • Orang mungkin berpendapat bahwa P1 saja gagal untuk kedua instance (odot). Pada pendekatan ini, ECQ dan MP gagal, sedangkan Red and Cont menahan (Beall 2015; Ripley 2013).

Jadi, misalnya, pendekatan Priest sendiri akan dianggap sebagai penyelesaian paradoks Curry dan paradoks Liar secara seragam sebagai contoh paradoks Curry yang digeneralisasi. Ini akan menjadi kasus terlepas dari kenyataan bahwa Priest mengevaluasi hukuman Liar sebagai benar dan salah, sedangkan dia menolak klaim bahwa kalimat Curry benar.

Bagaimanapun, paradoks Curry memunculkan tantangan sehubungan dengan masalah jenis keseragaman apa yang harus diminta dari solusi untuk berbagai paradoks (lihat juga Zardini 2015). Priest sendiri meminta perhatian pada semacam paradoks yang lebih sempit daripada paradoks Curry yang digeneralisasi, jenis yang instansinya mencakup paradoks negasi tetapi mengecualikan paradoks Curry. Jenis ini dipilih oleh "Inclosure Schema" Imam (2002); lihat entri pada referensi diri. Salah satu perselisihan yang sedang berlangsung adalah tentang apakah mungkin ada versi paradoks Curry yang dianggap sebagai "paradoks inclosure", meskipun ia menolak solusi dialetheic seragam Priest untuk paradoks semacam itu (lihat pertukaran di Beall 2014b, Weber et al. 2014, dan Beall 2014a, serta Pleitz 2015).

6. Kari Validitas

Dekade terakhir (pada tanggal versi entri ini) telah menyaksikan booming perhatian pada paradoks Curry, dan mungkin terutama pada apa yang disebut paradoks Curry validitas atau v-Curry (Whittle 2004; Shapiro 2011; Beall & Murzi 2013). [29] V-Curry melibatkan kalimat Curry yang secara khusus memohon konsekuensi teori atau hubungan "validitas", dengan menggunakan kondisional atau predikat yang dimaksudkan untuk mengekspresikan hubungan teori (mathcal {T}) (vdash_ / mathcal {T}) dalam bahasa (mathcal {T}) itu sendiri.

6.1 Formulir Koneksi

Untuk satu bentuk paradoks v-Curry, biarkan kondisi yang disebutkan dalam definisi kalimat Curry (Definisi 1) menjadi konektifitas konsekwensi ({ Rightarrow}). Kalimat dengan ({ Rightarrow}) sebagai operator utamanya harus ditafsirkan sebagai berikut: "Itu (p) mensyaratkan (menurut (mathcal {T})) bahwa (q)". Kita sekarang segera mendapatkan versi properti-theoretik, set-theoretik atau kebenaran-teoretis dari paradoks Curry, asalkan hanya ({ Rightarrow}) yang memenuhi persyaratan MP dan Cont dari Curry-Paradox Lemma.

Apa yang membuat instance dari Curry-Paradox Lemma ini sangat menyusahkan adalah bahwa hal itu menjadi hambatan bagi satu respons umum terhadap paradoks Curry, yaitu respons bebas kontraksi lemah yang dibahas dalam bagian 4.2.1. Respons itu bergantung pada penolakan aturan CP dari bukti bersyarat premis tunggal, satu arah dari teorema deduksi tunggal premis. Tapi ini adalah aturan yang tampaknya sulit untuk ditolak karena adanya konektif (Shapiro 2011; Weber 2014; Zardini 2013). Jika (beta) adalah konsekuensi dari (alpha) sesuai dengan hubungan konsekuensi teori (mathcal {T}), di mana teori ini memiliki ({ Rightarrow}) sebagai konsekuensi sendiri ikat, maka (mathcal {T}) pasti harus mengandung klaim konsekuensi (alpha { Rightarrow} beta). Demikian juga, variasi paradoks Curry ini menimbulkan hambatan untuk respon bebas detasemen,yang mengharuskan menolak aturan MP. Jika sebuah teori dengan konektifitas konsekuensi sendiri mengandung keduanya (alpha) dan konsekuensi kondisional (alpha { Rightarrow} beta), maka itu pasti harus mengandung (beta) juga. Setidaknya begitulah, sepertinya. Harus diakui, pendukung respon bebas pelepasan yang lemah akan berpendapat bahwa MP untuk ({ Rightarrow}) secara ilegal membangun transitivitas (lihat bagian 4.2.2). Namun, apa yang tampaknya tak terhindarkan adalah kebalikan dari CP, aturan CCP yang merupakan arah lain dari teorema deduksi premis tunggal. Jika teori berisi konsekuensi bersyarat (alpha { Rightarrow} beta), maka pasti (beta) mengikuti dari (alpha) sesuai dengan teori. Itu masih akan mengesampingkan respons yang sangat bebas dari detasemen. Jika sebuah teori dengan konektifitas konsekuensi sendiri mengandung keduanya (alpha) dan konsekuensi kondisional (alpha { Rightarrow} beta), maka itu pasti harus mengandung (beta) juga. Setidaknya begitulah, sepertinya. Harus diakui, pendukung respon bebas pelepasan yang lemah akan berpendapat bahwa MP untuk ({ Rightarrow}) secara ilegal membangun transitivitas (lihat bagian 4.2.2). Namun, apa yang tampaknya tak terhindarkan adalah kebalikan dari CP, aturan CCP yang merupakan arah lain dari teorema deduksi premis tunggal. Jika teori berisi konsekuensi bersyarat (alpha { Rightarrow} beta), maka pasti (beta) mengikuti dari (alpha) sesuai dengan teori. Itu masih akan mengesampingkan respons yang sangat bebas dari detasemen. Jika sebuah teori dengan konektifitas konsekuensi sendiri mengandung keduanya (alpha) dan konsekuensi kondisional (alpha { Rightarrow} beta), maka itu pasti harus mengandung (beta) juga. Setidaknya begitulah, sepertinya. Harus diakui, pendukung respon bebas pelepasan yang lemah akan berpendapat bahwa MP untuk ({ Rightarrow}) secara ilegal membangun transitivitas (lihat bagian 4.2.2). Namun, apa yang tampaknya tak terhindarkan adalah kebalikan dari CP, aturan CCP yang merupakan arah lain dari teorema deduksi premis tunggal. Jika teori berisi konsekuensi bersyarat (alpha { Rightarrow} beta), maka pasti (beta) mengikuti dari (alpha) sesuai dengan teori. Itu masih akan mengesampingkan respons yang sangat bebas dari detasemen.sepertinya. Harus diakui, pendukung respon bebas pelepasan yang lemah akan berpendapat bahwa MP untuk ({ Rightarrow}) secara ilegal membangun transitivitas (lihat bagian 4.2.2). Namun, apa yang tampaknya tak terhindarkan adalah kebalikan dari CP, aturan CCP yang merupakan arah lain dari teorema deduksi premis tunggal. Jika teori berisi konsekuensi bersyarat (alpha { Rightarrow} beta), maka pasti (beta) mengikuti dari (alpha) sesuai dengan teori. Itu masih akan mengesampingkan respons yang sangat bebas dari detasemen.sepertinya. Harus diakui, pendukung respon bebas pelepasan yang lemah akan berpendapat bahwa MP untuk ({ Rightarrow}) secara ilegal membangun transitivitas (lihat bagian 4.2.2). Namun, apa yang tampaknya tak terhindarkan adalah kebalikan dari CP, aturan CCP yang merupakan arah lain dari teorema deduksi premis tunggal. Jika teori berisi konsekuensi bersyarat (alpha { Rightarrow} beta), maka pasti (beta) mengikuti dari (alpha) sesuai dengan teori. Itu masih akan mengesampingkan respons yang sangat bebas dari detasemen. Jika teori berisi konsekuensi bersyarat (alpha { Rightarrow} beta), maka pasti (beta) mengikuti dari (alpha) sesuai dengan teori. Itu masih akan mengesampingkan respons yang sangat bebas dari detasemen. Jika teori berisi konsekuensi bersyarat (alpha { Rightarrow} beta), maka pasti (beta) mengikuti dari (alpha) sesuai dengan teori. Itu masih akan mengesampingkan respons yang sangat bebas dari detasemen.

6.2 Formulir Predikat

Bentuk kedua paradoks v-Curry muncul untuk teori (mathcal {T} _V) yang subjeknya termasuk hubungan konsekuensi premis-tunggal (vdash _ { mathcal {T} _ {V}}) yang memperoleh, menurut teori itu, antara kalimat dalam bahasanya. [30] Biarkan hubungan ini diekspresikan oleh predikat (Val (x, y)), dan asumsikan lebih lanjut bahwa ada kalimat (chi) yang bisa berupa (Val (langle / chi / rangle, / langle / pi / rangle)), atau paling tidak intersubstitutable dengan yang terakhir sesuai dengan (mathcal {T} _V). Salah satu bentuk paradoks v-Curry menggunakan dua prinsip yang mengatur (Val), yang kami sebut "detachment validitas" dan "bukti validitas" mengikuti Beall & Murzi (2013).

) tag {VD} textrm {If} gamma / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle / alpha / rangle, / langle / beta / rangle) textrm {and} gamma / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} alpha / textrm {then} gamma / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} beta)) tag {VP} textrm {Jika } alpha / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} beta / textrm {lalu} vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle / alpha / rangle, / langle / beta / rangle))

Dengan menggunakan prinsip-prinsip ini, kita mendapatkan argumen cepat berikut untuk (vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi).

) begin {array} {rll} 1 & / chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & / textrm {Id} / 2 & / chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle / chi / rangle, / langle / pi / rangle) & / textrm {2 Kari-intersubstitutivitas} / 3 & / chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & / textrm {1, 2 VD} / 4 & / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle / chi / rangle, / langle / pi / rangle) & / textrm {3 VP} / 5 & / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & / textrm {4 Kari-intersubstitutivitas} / 6 & / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & / textrm { 4, 5 VD} / \ end {array})

Sebagaimana diterapkan pada bentuk predikat v-Curry ini, respons bebas kontraksi lemah akan menolak "kontraksi" dari langkah 2 hingga langkah 4 dengan menolak aturan VP, dan respons bebas pelepasan akan menolak VD, bahkan di nol- bentuk premis yang digunakan pada langkah 6. Namun, baik VP dan zero-premise tampaknya tidak terhindarkan mengingat interpretasi yang dimaksud dari predikat (Val) (Beall & Murzi 2013; Murzi 2014; Murzi & Shapiro 2015; Priest 2015; Zardini 2014). [31] Akhirnya, bahkan jika VD ditolak karena melibatkan transitivitas secara ilegal, apa yang tampaknya tidak terhindarkan adalah kebalikan dari VP. Jika demikian, itu setidaknya akan mengesampingkan respons yang sangat bebas dari detasemen.

Versi yang bisa dibilang lebih kuat dari penalaran v-Curry disajikan oleh Shapiro (2013) dan Field (2017: 7). Alasan ini dapat mengambil bentuk ikat atau predikat, tetapi tidak tergantung pada CP atau VP. Di sini kami memberikan formulir predikat menggunakan (Val). Seperti di atas, kita pertama-tama menurunkan (chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) menggunakan VD. Mengingat arti dari (Val), kesimpulan bahwa (chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) menunjukkan bahwa (Val (langle / chi / rangle, / langle / pi / rangle)) benar, yaitu bahwa (chi) benar. Tetapi jika (chi) benar dan (chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi), maka tampaknya (pi) juga harus benar. Karena respons bebas pelepasan lemah (tidak transitif) terhadap v-Curry memungkinkan dilakukannya derivasi (chi / vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi), alasan ini juga menimbulkan keberatan terhadap respons tersebut..

6.3 Signifikansi

Jika, pada kenyataannya, paradoks v-Curry tidak dapat menerima tanggapan yang lemah bebas kontraksi atau sangat bebas terlepas, maka (dengan asumsi aturan Id dipertahankan) ruang respons Lengkap-Kari dibatasi terbatas pada bebas kontraksi dan lemah. respons bebas detasemen. Tanggapan sebelumnya, seperti yang dijelaskan dalam bagian 4.2.1, biasanya disajikan dengan merumuskan kembali modus ponens (atau detasemen untuk predikat validitas) dalam sistem pengurangan substruktural dan menolak aturan kontraksi struktural sCont. Tanggapan yang terakhir, sebagaimana dijelaskan dalam bagian 4.2.2, menolak prinsip struktural transitivitas. Untuk alasan ini, paradoks v-Curry kadang-kadang diambil untuk memotivasi hubungan konsekuensi substruktural (misalnya, Barrio et al. Akan terbit; Beall & Murzi 2013; Ripley 2015a; Shapiro 2011, 2015). [32]

Perdebatan yang hidup dan luas tentang paradoks v-Curry telah menghasilkan kemajuan nyata dalam pemahaman kita tentang paradoks Curry. Pada akhirnya, yang menjadi jelas adalah bahwa meskipun paradoks v-Curry dapat mengundang resolusi berbeda dari paradoks non-v-Curry, mereka tetap berada dalam cetakan yang sama dengan paradoks Curry yang digeneralisasi. Secara khusus, dalam template umum bagian 5.2 seseorang dapat mengambil (odot) untuk mengekspresikan (baik sebagai predikat atau sebagai penghubung) konsekuensi dalam terang (vdash_ / mathcal {T}) itu sendiri. Ini adalah jantung dari v-Curry. Karena ada (banyak) hubungan konsekuensi (formal) yang berbeda yang dapat didefinisikan atas bahasa kita (misalnya, konsekuensi logis berdasarkan kosa kata logis, konsekuensi epistemik berdasarkan kosa kata logis plus epistemik, dan sebagainya) maka ada banyak - Paradoks cepat yang mungkin timbul. Masih,ruang solusi untuk paradoks ini adalah ruang solusi untuk paradoks Curry umum yang diselidiki dalam entri ini.

Namun, tetap ada, setidaknya dua alasan v-Curry paradoks pantas mendapat perhatian terpisah. Pertama, seperti disebutkan di atas, dua kategori solusi Curry-complete - opsi yang bebas kontraksi dan bebas detasemen yang lemah - telah muncul terutama bermasalah dalam kasus paradoks v-Curry. Kedua, anggaplah bahwa seseorang memperlakukan paradoks Curry biasa (properti-teoritik, set-teoritik atau semantik) dengan cara Curry-complete. Mungkin masih ada alasan untuk memperlakukan paradoks v-Curry yang sesuai (konektif atau predikat) dalam mode Curry-tidak lengkap, mungkin karena melihat hubungan konsekuensi teori sebagai pada dasarnya di luar jangkauan oleh konektif atau predikat dalam bahasa teori (lihat, misalnya, Myhill 1975; Whittle 2004). Jadi,solusi "non-seragam" untuk paradoks Curry biasa dan rekan-rekan v-Curry mereka mungkin - sekali lagi - menjadi non-seragam yang termotivasi.[33]

Bibliografi

Sumber Sejarah Utama

  • Curry, Haskell B., 1942a, "The Combinatory Foundations of Mathematical Logic", Journal of Symbolic Logic, 7 (2): 49-64. doi: 10.2307 / 2266302
  • –––, 1942b, “Inkonsistensi Logika Formal Tertentu”, Jurnal Logika Simbolik, 7 (3): 115–117. doi: 10.2307 / 2269292
  • Curry, Haskell B. dan Robert Feys, 1958, Combinatory Logic, volume 1, Amsterdam: Belanda Utara.
  • Fitch, Frederic B., 1952, Symbolic Logic: An Introduction, New York: Perusahaan Ronald Press.
  • Geach, PT, 1955, “On Insolubilia”, Analisis, 15 (3): 71–72. doi: 10.1093 / analys / 15.3.71
  • Löb, MH, 1955, "Solusi Masalah Leon Henkin", Jurnal Logika Simbolik, 20 (2): 115–118. doi: 10.2307 / 2266895
  • Meyer, Robert K., Richard Routley, dan J. Michael Dunn, 1979, "Curry's paradox", Analysis, 39 (3): 124-128. doi: 10.1093 / analys / 39.3.124
  • Moh Shaw-Kwei, 1954, "Paradoks Logis untuk Sistem Berharga Banyak", Journal of Symbolic Logic, 19 (1): 37–40. doi: 10.2307 / 2267648
  • Prior, AN, 1955, "Paradox Curry dan Logika 3-dihargai", Australasian Journal of Philosophy, 33 (3): 177–82. doi: 10.1080 / 00048405585200201

Referensi Lainnya

  • Anderson, Alan Ross, 1975, “Fitch on Consistency”, dalam Anderson, Marcus, dan Martin 1975: 123–141.
  • Anderson, Alan Ross dan Nuel D. Belnap, Jr., 1975, Kewajiban: Logika Relevansi dan Kebutuhan, volume 1, Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Anderson, Alan Ross, Ruth Barcan Marcus, dan RM Martin (eds), 1975, The Logical Enterprise, New Haven, CT: Yale University Press.
  • Ashworth, EJ, 1974, Bahasa dan Logika di Masa Pasca Abad Pertengahan, Dordrecht: Reidel.
  • Bacon, Andrew, 2015, “Paradox of Equivalence dan Identity Logical”, Topoi, 34 (1): 89–98. doi: 10.1007 / s11245-013-9193-8
  • Barrio, Eduardo, Lucas Rosenblatt, dan Diego Tajer, yang akan datang, "Menangkap Validitas Naif dalam Pendekatan Cut-Free", Synthese, online pertama 1 September 2016. doi: 10.1007 / s11229-016-1199-5
  • Beall, Jc, 2009, Spandrels of Truth, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199268733.001.0001
  • –––, 2014a, “End of Inclosure”, Mind, 123 (491): 829–849. doi: 10.1093 / mind / fzu075
  • –––, 2014b, “Menemukan Toleransi Tanpa Nyali”, Mind, 123 (491): 791–811. doi: 10.1093 / mind / fzu081
  • –––, 2015, “Bebas Detasemen: Logika, Rasionalitas, dan Nyali”, Noûs, 49 (2): 410–423. doi: 10.1111 / nous.12029
  • Beall, Jc dan Julien Murzi, 2013, “Two Flavours of Curry's Paradox”, Jurnal Filsafat, 110 (3): 143–165. doi: 10.5840 / jphil2013110336
  • Bimbó, Katalin, 2006, “Curry-Type Paradoxes”, Logique & Analyze, 49 (195): 227–240.
  • Brady, Ross, 2006, Universal Logic, Stanford, CA: CSLI Publications.
  • Bunder, MW, 1986, “Tautologies That, dengan Aksioma Pemahaman yang Tidak Terbatas, Mengarah pada Inkonsistensi atau Trivialitas”, Jurnal Logika Non-Klasik, 3 (2): 5-12.
  • Burge, Tyler, 1979, "Semantical Paradox", Journal of Philosophy, 76 (4): 169–198. doi: 10.2307 / 2025724
  • Carnap, Rudolf, 1934, “Die Antinomien und die Unvollständigkeit der Mathematik”, Monatshefte für Mathematik, 41: 263–84.
  • –––, 1937, Sintaksis Logika Bahasa, Amethe Smeaton (trans), London: K. Paul Trench.
  • Church, Alonzo, 1932, “Seperangkat Postulat untuk Fondasi Logika”, Annals of Mathematics, 33 (2): 346–366. doi: 10.2307 / 1968337
  • –––, 1942, “Tinjauan: Inkonsistensi Logika Formal Tertentu oleh Haskell B. Curry”, Jurnal Logika Simbolik, 7 (4): 170–71. doi: 10.2307 / 2268117
  • Cook, Roy T., 2014, “Tidak Ada Paradoks Validitas Logis!”, Logica Universalis, 8 (3–4): 447–467. doi: 10.1007 / s11787-014-0094-4
  • Curry, Haskell B., 1930, "Grundlagen der kombinatorischen Logik (Teile I & II)", American Journal of Mathematics, 52: 509–36, 789–834.
  • –––, 1950, Teori Deducibilitas Formal, (Notre Dame Mathematics Lectures, 6), Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press. [Curry 1950 tersedia online]
  • –––, 1952, "Tentang Definisi Negasi oleh Proposisi Tetap dalam Kalkulus Inferensial", Journal of Symbolic Logic, 17 (2): 98-104. doi: 10.2307 / 2266240
  • Curry, Haskell B., J. Roger Hindley, dan Jonathan P. Seldin, 1972, Combinatory Logic, volume 2, (Studi dalam Logika dan Yayasan Matematika, 65), Amsterdam: Belanda Utara.
  • Field, Hartry, 2008, Menyimpan Kebenaran dari Paradox, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199230747.001.0001
  • –––, 2017, “Melucuti Paradoks Validitas”, Jurnal Notre Dame Formal Logic, 58 (1): 1–19. doi: 10.1215 / 00294527-3699865
  • Fitch, Frederic B., 1969, "Metode untuk Menghindari Paradoks Kari", dalam Nicholas Rescher (ed.), Essays in Honor of Carl. G. Hempel, Dordrecht: Reidel, hlm. 255–265.
  • French, Rohan, 2016, “Refleksi Struktural dan Paradoks Referensi-Diri”, Ergo, 3 (5): 113–131. doi: 10.3998 / ergo.12405314.0003.005
  • Glanzberg, Michael, 2001, "The Liar in Context", Philosophical Studies, 103 (3): 217–251. doi: 10.1023 / A: 1010314719817
  • –––, 2004, “Suatu Pendekatan Kontekstual-Hirarki untuk Kebenaran dan Pembohong Paradoks”, Jurnal Logika Filsafat, 33 (1): 27–88. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000019227.09236.f5
  • Goldstein, Laurence, 2000, "Solusi Terpadu untuk Beberapa Paradoks", Prosiding Masyarakat Aristotelian, 100 (1): 53-74. doi: 10.1111 / j.0066-7372.2003.00003.x
  • Goodship, Laura, 1996, “On Dialethism”, Australasian Journal of Philosophy, 74 (1): 153–161. doi: 10.1080 / 00048409612347131
  • Grelling, Kurt dan Leonard Nelson, 1908, “Bemerkungen zu den Paradoxien von Russell dan Burali-Forti”, Abhandlungen der Fries'schen Schule, 2: 301–334.
  • Gupta, Anil dan Nuel Belnap, 1993, The Revision Theory of Truth, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Halbach, Volker dan Albert Visser, 2014, “The Henkin Sentence”, di Maria Manzano, Ildikó Sain, dan Enrique Alonso (eds), Kehidupan dan Karya Leon Henkin, (Studi dalam Universal Logic), Cham: Springer International, pp 249–264. doi: 10.1007 / 978-3-319-09719-0_17
  • Hanke, Miroslav, 2013, "Analisis Makna Tersirat dari Syarat Currian", Sejarah dan Filsafat Logika, 34 (4): 367–380. doi: 10.1080 / 01445340.2013.812832
  • Hilbert, David dan Paul Bernays, 1939, Grundlagen der Mathematik, volume II, Berlin: Springer.
  • Humberstone, Lloyd, 2006, “Variasi pada Tema Kari”, Jurnal Notre Dame dari Formal Logic, 47 (1): 101–131. doi: 10.1305 / ndjfl / 1143468315
  • Kripke, Saul A., 1975, "Garis Besar Teori Kebenaran", Journal of Philosophy, 72 (19): 690-716. doi: 10.2307 / 2024634
  • Mares, Edwin dan Francesco Paoli, 2014, “Konsekuensi Logis dan Paradoks”, Jurnal Logika Filosofis, 43 (2–3): 439–469. doi: 10.1007 / s10992-013-9268-4
  • Meadows, Toby, 2014, “Poin Tetap untuk Hubungan Konsekuensi”, Logique & Analyze, 57 (227): 333–357.
  • Murzi, Julien, 2014, “The Unexpressibility of Validity”, Analysis, 74 (1): 65–81. doi: 10.1093 / analys / ant096
  • Murzi, Julien, dan Lorenzo Rossi, yang akan datang, “Naïve Validity”, Synthese, online pertama 27 September 2017. doi: 10.1007 / s11229-017-1541-6
  • Murzi, Julien dan Lionel Shapiro, 2015, “Validitas dan Pelestarian Kebenaran”, di Theodora Achourioti, Henri Galinon, José Martínez-Fernández, dan Kentaro Fujimoto (eds), Menyatukan Filsafat Kebenaran, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-017-9673-6_22
  • Myhill, John, 1975, "Levels Implication", dalam Anderson, Marcus, dan Martin 1975: 179–185.
  • Nicolai, Carlo dan Lorenzo Rossi, yang akan datang, "Prinsip-prinsip untuk Konsekuensi Objek-Linguistik: dari Logical ke Irreflexive", Journal of Philosophical Logic, online pertama 20 Juni 2017. doi: 10.1007 / s10992-017-9438-x
  • Nolan, Daniel, 2016, "Conditionals and Curry", Philosophical Studies, 173 (10): 2629–2649. doi: 10.1007 / s11098-016-0666-7
  • Pleitz, Martin, 2015, “Curry's Paradox and the Inclosure Scheme”, dalam Pavel Arazim dan Michal Dančák (eds), Logica Yearbook 2014, London: College Publications.
  • Priest, Graham, 1994, “Struktur Paradoks Referensi-Diri”, Mind, 103 (409): 25–34. doi: 10.1093 / mind / 103.409.25
  • –––, 2000, “Tentang Prinsip Solusi Seragam: Jawaban untuk Smith”, Mind, 109 (433): 123–126. doi: 10.1093 / mind / 109.433.123
  • –––, 2002, Beyond the Limits of Thought, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199254057.001.0001
  • –––, 2006, Dalam Kontradiksi, Oxford: Oxford University Press. Edisi yang diperluas (pertama kali diterbitkan tahun 1987). doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199263301.001.0001
  • –––, 2008, Pengantar Logika Non-Klasik: From If to Is, edisi kedua, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9780511801174
  • –––, 2015, “Penggabungan dan Kebingungan”, Topoi, 34 (1): 55–61. doi: 10.1007 / s11245-013-9175-x
  • Quine, WVO, 1953, “Mr. Strawson on The Logical Theory”, Mind, 62 (248): 433–451. doi: 10.1093 / mind / LXII.248.433
  • Baca, Stephen, 2001, “Referensi-Diri dan Validitas Direvisi”, dalam Mikko Yrjönsuuri (ed.), Logika Formal Abad Pertengahan, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, hlm. 183–196. doi: 10.1007 / 978-94-015-9713-5_7
  • Restall, Greg, 1993, “Bagaimana Menjadi Benar-benar Bebas Kontraksi”, Studia Logica, 52 (3): 381–91. doi: 10.1007 / BF01057653
  • –––, 1994, Pada Logika Tanpa Kontraksi, tesis PhD, Universitas Queensland. [Restall 1994 tersedia online]
  • –––, 2005, “Berbagai Kesimpulan”, di Petr Hájek, Luis Valdés-Villanueva, dan Dag Westerståhl (eds), Logika, Metodologi, dan Filsafat Ilmu Pengetahuan: Prosiding Kongres Internasional Keduabelas, London: College Publications, hlm. 189–205. [Restall 2005 tersedia online]
  • Ripley, David, 2013, “Paradox dan Kegagalan Cut”, Australasian Journal of Philosophy, 91: 139–164. doi: 10.1080 / 00048402.2011.630010
  • –––, 2015a, “Membandingkan Teori-Teori Kebenaran Substruktural”, Ergo, 2 (13): 299–328. doi: 10.3998 / ergo.12405314.0002.013
  • –––, 2015b, “Kontraksi dan Penutupan”, Thought, 4 (2): 131–138. doi: 10.1002 / tht3.166
  • Rogerson, Susan, 2007, "Pengurangan Alami dan Curry's Paradox", Journal of Philosophical Logic, 36 (2): 155–179. doi: 10.1007 / s10992-006-9032-0
  • Rogerson, Susan dan Greg Restall, 2004, “Routes to Triviality”, Journal of Philosophical Logic, 33 (4): 421–436. doi: 10.1023 / B: LOGI.0000036853.44128.8f
  • Rosenblatt, Lucas, 2017, “Validitas Naif, Internalisasi, dan Pendekatan Substruktural ke Paradox”, Ergo, 4 (4): 93–120. doi: 10.3998 / ergo.12405314.0004.004
  • Seldin, Jonathan P., 2006, “Logic of Curry and Church”, dalam Dov M. Gabbay dan John Woods (eds), Buku Pegangan Sejarah Logika, Volume 5: Logika dari Russell ke Church, Amsterdam: Elsevier, pp 819–873.
  • Shapiro, Lionel, 2011, “Deflating Consequence Consequence”, The Philosophical Quarterly, 61 (243): 320–42. doi: 10.1111 / j.1467-9213.2010.678.x
  • –––, 2013, “Kari Berlaku Diperkuat”, Thought, 2: 100–107. doi: 10.1002 / tht3.80
  • –––, 2015, “Struktur Naif, Kontraksi dan Paradoks”, Topoi, 34 (1): 75–87. doi: 10.1007 / s11245-014-9235-x
  • Simmons, Keith, 1993, Universalitas dan Pembohong: Sebuah Esai tentang Kebenaran dan Argumen Diagonal, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Slaney, John, 1989, "RWX di Not Curry Paraconsistent", di Graham Priest, Richard Routley, dan Jean Norman (eds), Logika Paraconsistent: Esai tentang yang Tidak Konsisten, Munich: Philosophia, hlm. 472-480.
  • –––, 1990, “A General Logic”, Australasian Journal of Philosophy, 68 (1): 74–88. doi: 10.1080 / 00048409012340183
  • Smith, Nicholas JJ, 2000, “Prinsip Solusi Seragam (dari Paradoks Referensi-Diri)”, Mind, 109 (433): 117–122. doi: 10.1093 / mind / 109.433.117
  • Tajer, Diego dan Federico Pailos, 2017, “Validity in a Dialetheist Framework”, Logique & Analyze, 60 (238): 191–202.
  • van Benthem, Johan, 1978, “Four Paradoxes”, Journal of Philosophical Logic, 7 (1): 49–72. doi: 10.1007 / BF00245920
  • Wansing, Heinrich and Graham Priest, 2015, “Curries Eksternal”, Journal of Philosophical Logic, 44 (4): 453–471. doi: 10.1007 / s10992-014-9336-4
  • Weber, Zach, 2014, “Validitas Naif”, The Philosophical Quarterly, 64 (254): 99–114. doi: 10.1093 / pq / pqt016
  • Weber, Zach, David Ripley, Imam Graham, Dominic Hyde, dan Mark Colyvan, 2014, “Tolerating Gluts”, Mind, 123 (491): 813–828. doi: 10.1093 / mind / fzu057
  • Weir, Alan, 2015, “Logika Non-Transitif yang Kuat”, Topoi, 34 (1): 99-107. doi: 10.1007 / s11245-013-9176-9
  • White, Richard B., 1979, "Konsistensi Aksioma Pemahaman dalam Predikat Logika Łukasiewicz Yang Tak Bernilai Tak Terbatas", Journal of Philosophical Logic, 8 (1): 509–534. doi: 10.1007 / BF00258447
  • Whittle, Bruno, 2004, “Dialetheisme, Konsekuensi Logika, dan Hirarki”, Analisis, 64: 318–26. doi: 10.1093 / analys / 64.4.318
  • Zardini, Elia, 2011, “Truth Without Contra (di) ction”, Ulasan dari Symbolic Logic, 4 (4): 498–535. doi: 10.1017 / S1755020311000177
  • –––, 2013, “Naive Modus Ponens”, Journal of Philosophical Logic, 42 (4): 575–593. doi: 10.1007 / s10992-012-9239-1
  • –––, 2014, “Kebenaran Naif dan Sifat Logika Naif”, Tinjauan Logika Simbolik, 7 (2): 351–384. doi: 10.1017 / S1755020314000045
  • –––, 2015, “Mendapatkan Satu untuk Dua, atau Kesepakatan Buruk Kontraktor. Menuju Solusi Terpadu untuk Paradoks Semantik”, di Theodora Achourioti, Henri Galinon, José Martínez-Fernández, dan Kentaro Fujimoto (eds.), Menyatukan Filsafat Kebenaran, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-017-9673-6_23

Alat Akademik

ikon sep man
ikon sep man
Cara mengutip entri ini.
ikon sep man
ikon sep man
Pratinjau versi PDF dari entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Internet Ontology Philosophy Project (InPhO).
ikon makalah phil
ikon makalah phil
Bibliografi yang disempurnakan untuk entri ini di PhilPapers, dengan tautan ke basis datanya.

Sumber Daya Internet lainnya

[Silakan hubungi penulis dengan saran.]

Direkomendasikan: