Diagram

Daftar Isi:

Diagram
Diagram

Video: Diagram

Video: Diagram
Video: A.Waignein - Diagram for Symphonic Band part.1 : Keimyung Symphonic Band 2024, Maret
Anonim

Navigasi Masuk

  • Isi Entri
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratinjau PDF Teman
  • Penulis dan Info Kutipan
  • Kembali ke atas

Diagram

Edisi pertama diterbitkan 28 Agustus 2001; revisi substantif Kamis 13 Des 2018

Kita semua terlibat dan menggunakan penalaran yang valid, tetapi penalaran yang kita lakukan sebenarnya berbeda dalam berbagai cara dari kesimpulan yang dipelajari oleh kebanyakan ahli logika (formal). Penalaran yang dilakukan oleh manusia biasanya melibatkan informasi yang diperoleh melalui lebih dari satu media. Sebaliknya, logika formal sejauh ini terutama berkaitan dengan penalaran valid yang didasarkan pada informasi dalam satu bentuk saja, yaitu, dalam bentuk kalimat. Baru-baru ini, banyak filsuf, psikolog, ahli logika, ahli matematika, dan ilmuwan komputer menjadi semakin sadar akan pentingnya penalaran multi-modal dan, terlebih lagi, banyak penelitian telah dilakukan di bidang sistem representasi non-simbolik, terutama diagram, statis. [1] Entri ini menguraikan arah keseluruhan area penelitian baru ini dan berfokus pada status logis diagram dalam bukti, fungsi representasional dan kecukupannya, berbagai jenis sistem diagram, dan peran diagram dalam kognisi manusia.

  • 1. Perkenalan
  • 2. Diagram sebagai Sistem Representasi

    • 2.1 Diagram Euler
    • 2.2 Diagram Venn
    • 2.3 Perpanjangan Peirce
    • 2.4 Diagram sebagai sistem formal
    • 2.5 Lingkaran Euler ditinjau kembali
  • 3. Konsekuensi Properti Spasial Diagram

    • 3.1 Keterbatasan pada representasi diagram dan penalaran
    • 3.2 Keampuhan diagram
  • 4. Sistem Diagram dalam Geometri

    • 4.1 Tampilan pada diagram Euclid dari 4 th SM abad ke 20 th abad ke
    • 4.2 Perbedaan persis / co-eksak Mander dan masalah umum

      • 4.2.1 Perbedaan yang tepat / tidak tepat
      • 4.2.2 Masalah umum dengan konstruksi Euclid
    • 4.3 Sistem formal FG dan Eu
  • 5. Diagram dan Kognisi, Aplikasi

    • 5.1 Beberapa Sistem Diagram lainnya
    • 5.2 Diagram sebagai Representasi Mental
    • 5.3 Peran Diagram Kognitif
  • Ringkasan
  • Bibliografi

    • Referensi
    • Sastra yang Relevan
  • Alat Akademik
  • Sumber Daya Internet lainnya
  • Entri terkait

1. Perkenalan

Diagram atau gambar mungkin peringkat di antara bentuk komunikasi manusia tertua. Mereka tidak hanya digunakan untuk representasi tetapi juga dapat digunakan untuk melakukan jenis penalaran tertentu, dan karenanya memainkan peran tertentu dalam logika dan matematika. Namun, sistem representasi sentensial (misalnya, logika orde pertama) telah dominan dalam sejarah logika modern, sementara diagram sebagian besar dipandang hanya sebagai kepentingan marjinal. Diagram biasanya diadopsi sebagai alat heuristik dalam mengeksplorasi bukti, tetapi bukan sebagai bagian dari bukti. [2] Ini adalah gerakan yang cukup baru di kalangan filsuf, ahli logika, ilmuwan kognitif dan ilmuwan komputer untuk fokus pada berbagai jenis sistem representasi, dan banyak penelitian telah difokuskan pada sistem representasi diagram pada khususnya.

Menantang prasangka lama terhadap representasi diagram, mereka yang bekerja pada penalaran multi-modal telah mengambil berbagai jenis pendekatan yang dapat kita kategorikan ke dalam tiga kelompok yang berbeda. Satu cabang penelitian dapat ditemukan dalam filsafat pikiran dan ilmu kognitif. Karena batas-batas bentuk linguistik jelas bagi mereka yang telah bekerja pada representasi dan penalaran mental, beberapa filsuf dan ilmuwan kognitif telah merangkul arah baru penalaran multi-modal ini dengan antusias dan telah mengeksplorasi penalaran manusia dan representasi mental yang melibatkan bentuk-bentuk non-linguistik. (Cummins 1996; Chandrasekaran et al. 1995). Untaian lain yang bekerja pada penalaran diagram menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan intrinsik antara sistem simbolik dan diagram sejauh status logisnya. Beberapa ahli logika telah mempresentasikan studi kasus untuk membuktikan bahwa sistem diagram dapat menjadi suara dan lengkap dalam arti yang sama dengan sistem simbolik. Jenis hasil ini secara langsung membantah anggapan luas bahwa diagram secara inheren menyesatkan, dan menghapuskan keberatan teoretis terhadap diagram yang digunakan sebagai bukti (Shin 1994; Hammer 1995a). Arah ketiga dalam penalaran multi-modal telah diambil oleh para ilmuwan komputer, yang minatnya jauh lebih praktis daripada kelompok lain. Tidak begitu mengherankan, mereka yang bekerja di banyak bidang dalam ilmu komputer - misalnya, representasi pengetahuan, desain sistem, pemrograman visual, desain GUI, dan sebagainya - menemukan peluang baru dan menarik dalam konsep baru 'sistem heterogen' ini dan telah mengimplementasikan diagrammatic representasi di bidang penelitian mereka.

Kami memiliki sasaran berikut untuk entri ini. Pertama-tama, kami ingin memperkenalkan pembaca dengan rincian dari beberapa sistem diagram tertentu. Pada saat yang sama, entri akan membahas masalah teoritis, dengan mengeksplorasi sifat representasi diagram dan penalaran dalam hal kekuatan ekspresif dan kebenaran. Studi kasus pada bagian kedua tidak hanya akan memenuhi tujuan pertama kami tetapi juga memberi kami bahan yang kuat untuk diskusi yang lebih teoretis dan umum di bagian ketiga. Bagian keempat menyajikan studi kasus lain dan mempertimbangkannya berdasarkan diskusi umum bagian ketiga. Seperti disebutkan di atas, topik diagram telah menarik banyak perhatian dengan hasil penting dari berbagai bidang penelitian. Karenanya,Bagian kelima kami bertujuan untuk memperkenalkan berbagai pendekatan untuk penalaran diagram yang diambil di berbagai bidang.

Untuk diskusi lebih lanjut, kita perlu mengklarifikasi dua penggunaan kata 'diagram' yang terkait tetapi berbeda: diagram sebagai representasi mental internal dan diagram sebagai representasi eksternal. Kutipan berikut dari Chandrasekaran et al. (1995: p. Xvii) dengan ringkas merangkum perbedaan antara representasi diagram internal versus eksternal:

  • Representasi diagram eksternal: Ini dibangun oleh agen dalam medium di dunia eksternal (kertas, dll), tetapi dimaksudkan sebagai representasi oleh agen.
  • Diagram atau gambar internal: Ini terdiri dari representasi internal (kontroversial) yang dianggap memiliki beberapa sifat gambar.

Seperti yang akan kita lihat di bawah ini, ahli logika fokus pada sistem diagram eksternal, perdebatan citra di antara para filsuf pikiran dan ilmuwan kognitif terutama tentang diagram internal, dan penelitian tentang peran kognitif diagram menyentuh pada kedua bentuk.

2. Diagram sebagai Sistem Representasi

Dominasi sistem representasi sentensial dalam sejarah logika modern telah mengaburkan beberapa fakta penting tentang sistem diagram. Salah satunya adalah beberapa sistem diagram terkenal yang tersedia sebagai alat heuristik sebelum era logika modern. Lingkaran Euler, diagram Venn, dan kuadrat Lewis Carroll telah banyak digunakan untuk jenis penalaran silogistik tertentu (Euler 1768; Venn 1881; Carroll 1896). Cerita lain yang menarik, tetapi terabaikan, adalah bahwa pendiri logika simbolik modern, Charles Peirce, tidak hanya merevisi diagram Venn tetapi juga menemukan sistem grafis, Grafik Eksistensial, yang telah terbukti setara dengan bahasa predikat (Peirce 1933; Roberts 1973; Zeman 1964).

Diagram yang ada ini telah mengilhami para peneliti yang baru-baru ini menarik perhatian kami pada representasi multi-modal. Ahli logika yang berpartisipasi dalam proyek telah mengeksplorasi subjek dalam dua cara yang berbeda. Pertama, minat mereka telah berfokus secara eksklusif pada sistem representasi yang ditarik secara eksternal, yang bertentangan dengan representasi mental internal. Kedua, tujuan mereka adalah untuk menetapkan status logis suatu sistem, daripada menjelaskan kekuatan heuristiknya, dengan menguji kebenaran dan kekuatan ekspresif dari sistem representasi selektif. Jika suatu sistem gagal untuk membenarkan kesehatannya atau jika kekuatan ekspresifnya terlalu terbatas, minat seorang ahli logika dalam bahasa itu akan memudar (Sowa 1984; Shin 1994).

Pada bagian ini, kami menguji perkembangan historis diagram Euler dan Venn sebagai studi kasus untuk menggambarkan aspek-aspek berikut: Pertama, proses ini akan menunjukkan kepada kita bagaimana intuisi sederhana seorang matematikawan tentang pembuatan diagram penalaran silogistik secara bertahap telah dikembangkan menjadi sistem representasi formal. Kedua, kita akan mengamati penekanan berbeda yang diberikan pada berbagai tahap perluasan dan modifikasi sistem diagram. Ketiga dan terkait, perkembangan historis ini menggambarkan ketegangan dan pertukaran yang menarik antara kekuatan ekspresif dan kejelasan visual sistem diagram. Yang paling penting, pembaca akan menyaksikan ahli logika mengatasi masalah apakah ada alasan intrinsik bahwa sistem sentensial, tetapi bukan sistem diagram, dapat memberikan kita bukti yang kuat,dan keberhasilan mereka dalam menjawab pertanyaan ini secara negatif.

Oleh karena itu, pembaca tidak akan terkejut dengan kesimpulan berikut yang diambil oleh Barwise dan Etchemendy, ahli logika pertama yang meluncurkan penyelidikan ke bukti diagram dalam logika,

tidak ada perbedaan prinsip antara formalisme inferensi yang menggunakan teks dan yang menggunakan diagram. Seseorang dapat memiliki sistem formal yang ketat, logis logis (dan lengkap) berdasarkan diagram. (Barwise & Etchemendy 1995: 214)

Keyakinan ini diperlukan untuk kelahiran program komputer inovatif mereka Hyperproof, yang mengadopsi bahasa tingkat pertama dan diagram (dalam sistem multi-modal) untuk mengajarkan kursus logika dasar (Barwise & Etchemendy 1993 dan Barwise & Etchemendy 1994).

2.1 Diagram Euler

Leonhard Euler, ahli matematika abad ke-18, mengadopsi kurva tertutup untuk mengilustrasikan penalaran silogistik (Euler 1768). Empat jenis kalimat kategori diwakili olehnya seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.

Empat kasus: yang pertama berlabel 'Semua A adalah B' memiliki lingkaran dalam berlabel 'A' sepenuhnya di dalam lingkaran luar berlabel 'B' yang kedua berlabel 'Tidak A adalah B' memiliki dua lingkaran yang tidak tumpang tindih, satu berlabel 'A' dan yang lainnya 'B' yang ketiga berlabel 'Some A is B' memiliki dua lingkaran yang tumpang tindih, tumpang tindih diberi label 'A' dan bit non-overlap dari satu lingkaran diberi label 'B' kasus keempat berlabel 'Some A is not B' memiliki dua lingkaran yang tumpang tindih, bit yang tidak tumpang tindih satu diberi label 'A' dan bit yang tidak tumpang tindih yang lain diberi label 'B'
Empat kasus: yang pertama berlabel 'Semua A adalah B' memiliki lingkaran dalam berlabel 'A' sepenuhnya di dalam lingkaran luar berlabel 'B' yang kedua berlabel 'Tidak A adalah B' memiliki dua lingkaran yang tidak tumpang tindih, satu berlabel 'A' dan yang lainnya 'B' yang ketiga berlabel 'Some A is B' memiliki dua lingkaran yang tumpang tindih, tumpang tindih diberi label 'A' dan bit non-overlap dari satu lingkaran diberi label 'B' kasus keempat berlabel 'Some A is not B' memiliki dua lingkaran yang tumpang tindih, bit yang tidak tumpang tindih satu diberi label 'A' dan bit yang tidak tumpang tindih yang lain diberi label 'B'

Gambar 1: Diagram Euler

Untuk dua pernyataan universal, sistem mengadopsi hubungan spasial antar lingkaran dengan cara yang intuitif: Jika lingkaran berlabel 'A' termasuk dalam lingkaran berlabel 'B,' maka diagram tersebut mewakili informasi bahwa semua A adalah B. Jika tidak ada bagian yang tumpang tindih antara dua lingkaran, maka diagram menyampaikan informasi bahwa tidak ada A adalah B.

Representasi ini diatur oleh konvensi berikut: [3]

Setiap objek x dalam domain diberikan lokasi yang unik, katakanlah l (x), dalam bidang sedemikian rupa sehingga l (x) berada di wilayah R jika dan hanya jika x adalah anggota himpunan yang mewakili wilayah R.

Kekuatan dari representasi ini terletak pada kenyataan bahwa suatu objek yang menjadi anggota suatu set mudah dikonseptualisasikan sebagai objek yang jatuh di dalam set, seperti halnya lokasi pada halaman dianggap jatuh di dalam atau di luar lingkaran yang digambar. Kekuatan sistem juga terletak pada kenyataan bahwa tidak ada konvensi tambahan yang diperlukan untuk menetapkan makna diagram yang melibatkan lebih dari satu lingkaran: hubungan yang ada di antara perangkat dinyatakan dengan cara hubungan yang sama yang ada di antara lingkaran yang mewakili mereka. Representasi dari dua pernyataan universal, 'Semua A adalah B' dan 'Tidak A adalah B,' menggambarkan kekuatan sistem ini.

Beralih ke dua pernyataan eksistensial, kejelasan ini tidak dipertahankan. Euler membenarkan diagram "Some A is B" yang mengatakan bahwa kita dapat menyimpulkan secara visual bahwa sesuatu dalam A juga terkandung dalam B karena bagian dari area A terkandung dalam area B (Euler 1768: 233). Jelas, Euler sendiri percaya bahwa jenis hubungan penahanan visual yang sama di antara area dapat digunakan dalam kasus ini serta dalam kasus pernyataan universal. Namun, kepercayaan Euler tidak benar dan representasi ini menimbulkan ambiguitas yang merusak. Dalam diagram ini, tidak hanya bagian dari lingkaran A yang terkandung di area B (seperti yang dijelaskan Euler), tetapi yang berikut ini benar: (i) bagian dari lingkaran B terkandung di area A (ii) bagian dari lingkaran A tidak terkandung dalam lingkaran B (iii) bagian dari lingkaran B tidak terdapat dalam lingkaran A. Yaitu, diagram ketiga dapat dibaca sebagai “Some B is A," Beberapa A bukan B, "dan" Beberapa B bukan A "serta" Some A adalah B. " Untuk menghindari ambiguitas ini, kita perlu membuat beberapa konvensi lagi.[4]

Contoh Euler sendiri dengan baik menggambarkan kekuatan dan kelemahan sistem diagramnya.

Contoh 1. Semua A adalah B. Semua C adalah A. Karena itu, semua C adalah B.

Tiga lingkaran konsentris, yang paling dalam berlabel 'C', yang berikutnya berlabel 'A', dan yang paling luar berlabel 'B'
Tiga lingkaran konsentris, yang paling dalam berlabel 'C', yang berikutnya berlabel 'A', dan yang paling luar berlabel 'B'

Contoh 2. Tidak, A adalah B. Semua C adalah B. Oleh karena itu, tidak ada C adalah A.

Di sebelah kiri lingkaran berlabel 'A' dan di sebelah kanan dua lingkaran konsentris, yang di dalam berlabel 'C' dan yang di luar berlabel 'B'
Di sebelah kiri lingkaran berlabel 'A' dan di sebelah kanan dua lingkaran konsentris, yang di dalam berlabel 'C' dan yang di luar berlabel 'B'

Dalam kedua contoh, pembaca dapat dengan mudah menyimpulkan kesimpulan, dan ini menggambarkan fitur diagram Euler yang sangat kuat secara visual. Namun, ketika pernyataan eksistensial direpresentasikan, hal-hal menjadi lebih rumit, seperti dijelaskan di atas. Misalnya:

Contoh 3. Tidak, A adalah B. Beberapa C adalah A. Oleh karena itu, Beberapa C bukan B.

Tidak ada diagram tunggal yang dapat mewakili dua premis, karena hubungan antara himpunan B dan C tidak dapat sepenuhnya ditentukan dalam satu diagram tunggal. Sebaliknya, Euler menyarankan tiga kemungkinan kasus berikut:

Tiga kasus: Kasus 1 memiliki di kiri dua lingkaran yang tumpang tindih, tumpang tindih diberi label 'C' dan bagian yang tidak tumpang tindih dari lingkaran pertama diberi label 'A' di sebelah kanan dan terpisah adalah lingkaran ketiga berlabel 'B'. Kasus 2 memiliki tiga lingkaran, dua lingkaran tumpang tindih dan bagian tumpang tindih berlabel 'C' dan bagian yang tidak tumpang tindih dari lingkaran pertama diberi label 'A' di bagian non-tumpang tindih dari lingkaran kedua adalah lingkaran ketiga berlabel 'B'. Kasus 3 mirip dengan Kasus 2 kecuali lingkaran ketiga tidak sepenuhnya dalam bagian non-tumpang tindih dari lingkaran kedua; bagian dari lingkaran ketiga di luar lingkaran kedua diberi label 'B'
Tiga kasus: Kasus 1 memiliki di kiri dua lingkaran yang tumpang tindih, tumpang tindih diberi label 'C' dan bagian yang tidak tumpang tindih dari lingkaran pertama diberi label 'A' di sebelah kanan dan terpisah adalah lingkaran ketiga berlabel 'B'. Kasus 2 memiliki tiga lingkaran, dua lingkaran tumpang tindih dan bagian tumpang tindih berlabel 'C' dan bagian yang tidak tumpang tindih dari lingkaran pertama diberi label 'A' di bagian non-tumpang tindih dari lingkaran kedua adalah lingkaran ketiga berlabel 'B'. Kasus 3 mirip dengan Kasus 2 kecuali lingkaran ketiga tidak sepenuhnya dalam bagian non-tumpang tindih dari lingkaran kedua; bagian dari lingkaran ketiga di luar lingkaran kedua diberi label 'B'

Euler mengklaim bahwa proposisi 'Some C bukan B' dapat dibaca dari semua diagram ini. Namun, masih jauh dari jelas secara visual bagaimana dua kasus pertama mengarahkan pengguna untuk membaca proposisi ini, karena pengguna mungkin membacakan "Tidak C adalah B" dari kasus 1 dan "Semua B adalah C" dari kasus 2.

Oleh karena itu, representasi pernyataan eksistensial tidak hanya mengaburkan kejelasan visual Lingkaran Euler tetapi juga menimbulkan masalah interpretasi serius untuk sistem. Euler sendiri tampaknya mengenali masalah potensial ini dan memperkenalkan perangkat sintaksis baru, '*' (mewakili ketidak-kekosongan) sebagai upaya untuk memperbaiki kekurangan ini (1768: Huruf 105).

Namun, kelemahan yang lebih serius ditemukan ketika sistem ini gagal untuk mewakili informasi tertentu yang kompatibel (yaitu, konsisten) dalam satu diagram. Misalnya, sistem Euler mencegah kita dari menggambar diagram tunggal yang mewakili pasangan pernyataan berikut: (i) "Semua A adalah B" dan "Tidak A adalah B" (yang konsisten jika A adalah set kosong). (ii) “Semua A adalah B” dan “Semua B adalah A” (yang konsisten ketika A = B). (iii) “Some A is B” dan “All A are B”. (Misalkan kita menggambar diagram Euler untuk proposisi sebelumnya dan mencoba untuk menambahkan sepotong informasi baru yang kompatibel, yaitu, yang terakhir, ke diagram yang ada ini.) Kekurangan ini berkaitan erat dengan motivasi Venn untuk sistem diagrammatiknya sendiri (lihat Bagian 3.1 untuk kekurangan lain dari sistem Euler).

2.2 Diagram Venn

Kritik Venn terhadap Euler Circles dirangkum dalam bagian berikut ini:

Titik lemah dalam [diagram Euler] ini, dan dalam semua skema serupa, terdiri dari fakta bahwa mereka hanya menggambarkan dengan ketat hubungan kelas yang sebenarnya satu sama lain, daripada pengetahuan yang tidak sempurna dari hubungan ini yang mungkin kita miliki, atau mungkin ingin menyampaikan melalui proposisi. (Venn 1881: 510)

Karena keketatannya, sistem Euler terkadang gagal dalam merepresentasikan informasi yang konsisten dalam satu diagram, seperti ditunjukkan di atas. Selain pembatasan ekspresif ini, sistem Euler juga menderita jenis pembatasan ekspresif lain sehubungan dengan set non-kosong, karena pembatasan topologis pada gambar pesawat (lihat Bagian 3.1).

Sistem baru Venn (1881) adalah untuk mengatasi keterbatasan ekspresif ini sehingga informasi parsial dapat diwakili. Solusinya adalah idenya tentang 'diagram primer'. Diagram primer mewakili semua kemungkinan hubungan set-theoretik antara sejumlah set, tanpa membuat komitmen eksistensial tentang mereka. Sebagai contoh, Gambar 2 menunjukkan diagram utama tentang set A dan B.

dua lingkaran yang tumpang tindih, yang pertama berlabel 'A' dan yang kedua berlabel 'B'
dua lingkaran yang tumpang tindih, yang pertama berlabel 'A' dan yang kedua berlabel 'B'

Gambar 2: Diagram utama Venn

Menurut sistem Venn, diagram ini tidak menyampaikan informasi spesifik tentang hubungan antara dua set ini. Ini adalah perbedaan utama antara diagram Euler dan Venn.

Untuk representasi pernyataan universal, tidak seperti hubungan penahanan spasial yang jelas secara visual dalam kasus diagram Euler, solusi Venn adalah 'untuk menaungi mereka [area yang sesuai] keluar' (Venn 1881: 122). Dengan menggunakan perangkat sintaksis ini, kami memperoleh diagram untuk pernyataan universal seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.

Dua diagram Venn. Yang pertama berjudul 'Semua A adalah B' dan terdiri dari dua lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A' dan 'B', bagian A yang tidak tumpang tindih dengan B diarsir. Yang kedua berjudul 'No A is B' dan juga terdiri dari dua lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A' dan 'B', tumpang tindih kedua lingkaran tersebut diarsir
Dua diagram Venn. Yang pertama berjudul 'Semua A adalah B' dan terdiri dari dua lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A' dan 'B', bagian A yang tidak tumpang tindih dengan B diarsir. Yang kedua berjudul 'No A is B' dan juga terdiri dari dua lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A' dan 'B', tumpang tindih kedua lingkaran tersebut diarsir

Gambar 3: Warna Venn

Pilihan Venn tentang naungan mungkin tidak sepenuhnya arbitrer karena naungan dapat diartikan sebagai visualisasi kekosongan yang ditetapkan. Namun, perlu dicatat bahwa naungan adalah perangkat sintaksis baru yang tidak digunakan Euler. Revisi ini memberikan fleksibilitas pada sistem sehingga bagian informasi tertentu yang kompatibel dapat direpresentasikan dalam satu diagram. Berikut ini, diagram di sebelah kiri menggabungkan dua potong informasi, "Semua A adalah B" dan "Tidak A adalah B," untuk menyampaikan informasi secara visual "Tidak Ada A." Diagram di sebelah kanan, yang mewakili "Semua A adalah B" dan "Semua B adalah A," dengan jelas menunjukkan bahwa A sama dengan B:

Dua diagram Venn: yang pertama memiliki dua lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A' dan 'B' lingkaran A diarsir. Yang kedua juga dua lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A' dan 'B', kedua lingkaran diarsir kecuali di mana mereka tumpang tindih
Dua diagram Venn: yang pertama memiliki dua lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A' dan 'B' lingkaran A diarsir. Yang kedua juga dua lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A' dan 'B', kedua lingkaran diarsir kecuali di mana mereka tumpang tindih

Bahkan, menggunakan diagram primer juga menghindari beberapa masalah ekspresifitas lainnya (berkaitan dengan sifat spasial objek diagram) yang dibahas di bawah ini, di Bagian 3. Anehnya, Venn diam mengenai representasi pernyataan eksistensial, yang merupakan kesulitan lain dari diagram Euler. Kita hanya dapat membayangkan bahwa Venn mungkin telah memperkenalkan jenis lain dari objek sintaksis yang mewakili komitmen eksistensial. Inilah yang dilakukan Charles Peirce sekitar dua puluh tahun kemudian.

2.3 Perpanjangan Peirce

Peirce menunjukkan bahwa sistem Venn tidak memiliki cara untuk mewakili jenis-jenis informasi berikut: pernyataan eksistensial, informasi disjungtif, probabilitas, dan hubungan. Peirce bertujuan untuk memperluas sistem Venn dalam kekuatan ekspresif sehubungan dengan dua jenis proposisi pertama, yaitu, pernyataan eksistensial dan disjungtif. Ekstensi ini diselesaikan melalui tiga perangkat berikut. (i) Ganti naungan Venn yang merepresentasikan kekosongan dengan simbol baru, 'o'. (ii) Memperkenalkan simbol 'x' untuk impor eksistensial. (iii) Untuk informasi disjungtif, perkenalkan simbol linier '-' yang menghubungkan simbol 'o' dan 'x'.

Sebagai contoh, Gambar 4 mewakili pernyataan, 'Semua A adalah B atau beberapa A adalah B', yang tidak mewakili sistem Euler maupun Venn dalam diagram tunggal.

Dua lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A' dan 'B' di dalam tumpang tindih adalah label 'x' dan di dalam sedikit lingkaran yang tidak tumpang tindih A adalah label 'o' sebuah garis menghubungkan 'x' ke 'o'
Dua lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A' dan 'B' di dalam tumpang tindih adalah label 'x' dan di dalam sedikit lingkaran yang tidak tumpang tindih A adalah label 'o' sebuah garis menghubungkan 'x' ke 'o'

Gambar 4: Diagram Peirce

Alasan mengapa Peirce mengganti naungan Venn untuk kekosongan dengan simbol 'o' tampaknya jelas: Tidak akan mudah untuk menghubungkan nuansa atau nuansa dan 'x's untuk mewakili informasi disjungtif. Dengan cara ini, Peirce meningkatkan kekuatan ekspresif sistem, tetapi perubahan ini bukan tanpa biaya.

Sebagai contoh, diagram berikut mewakili proposisi 'Semua A adalah B dan beberapa A adalah B, atau tidak ada A adalah B dan beberapa B bukan A':

dua lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A' dan 'B' pertama, di dalam bagian lingkaran A yang tidak tumpang tindih adalah 'o' dihubungkan oleh garis ke 'o' di dalam tumpang tindih; kedua, juga di bagian lingkaran A yang tidak tumpang tindih adalah 'o' lain yang dihubungkan oleh garis ke 'x' di bagian lingkaran B 'yang tidak tumpang tindih; ketiga di bagian yang tumpang tindih dari dua lingkaran adalah 'x dan' o 'dihubungkan oleh garis; keempat 'x' di bagian yang tumpang tindih dihubungkan oleh garis ke 'x' di bagian yang tidak tumpang tindih dari lingkaran B
dua lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A' dan 'B' pertama, di dalam bagian lingkaran A yang tidak tumpang tindih adalah 'o' dihubungkan oleh garis ke 'o' di dalam tumpang tindih; kedua, juga di bagian lingkaran A yang tidak tumpang tindih adalah 'o' lain yang dihubungkan oleh garis ke 'x' di bagian lingkaran B 'yang tidak tumpang tindih; ketiga di bagian yang tumpang tindih dari dua lingkaran adalah 'x dan' o 'dihubungkan oleh garis; keempat 'x' di bagian yang tumpang tindih dihubungkan oleh garis ke 'x' di bagian yang tidak tumpang tindih dari lingkaran B

Membaca diagram ini membutuhkan lebih dari sekadar membaca konten visual di antara lingkaran (seperti dalam diagram Euler) atau bayangan (seperti dalam diagram Venn), tetapi juga memerlukan konvensi tambahan untuk membaca kombinasi simbol 'o,' 'x,' dan garis. Konvensi baru Peirce meningkatkan kekuatan ekspresif diagram tunggal, tetapi kesewenangan konvensi dan representasi yang lebih membingungkan (misalnya, diagram di atas) mengorbankan kejelasan visual yang dinikmati sistem asli Euler. Pada titik ini, Peirce sendiri mengakui bahwa 'ada kerumitan besar dalam ekspresi yang sangat penting bagi makna' (Peirce 1933: 4.365). Jadi, ketika revisi Peirce selesai, sebagian besar ide asli Euler tentang visualisasi hilang, kecuali bahwa objek geometris (lingkaran) digunakan untuk mewakili set (mungkin kosong).

Kontribusi penting lain yang dibuat Peirce untuk mempelajari diagram dimulai dengan komentar berikut:

'Aturan' di sini digunakan dalam arti di mana kita berbicara tentang 'aturan' aljabar; yaitu, sebagai izin dalam kondisi yang ditentukan secara ketat. (Peirce 1933: 4.361)

Peirce mungkin adalah orang pertama yang membahas aturan transformasi dalam sistem representasi non-sentensial. Dengan cara yang sama bahwa aturan aljabar memberi tahu kita transformasi simbol mana yang diizinkan dan mana yang tidak, demikian pula aturan manipulasi diagram. Beberapa dari enam aturan Pierce membutuhkan lebih banyak klarifikasi dan ternyata tidak lengkap - masalah yang diantisipasi Peirce sendiri. Namun, yang lebih penting, Peirce tidak memiliki alat teoretis - perbedaan yang jelas antara sintaks dan semantik - untuk meyakinkan pembaca bahwa setiap aturan benar atau untuk menentukan apakah diperlukan lebih banyak aturan. Artinya, intuisinya yang penting (bahwa mungkin ada aturan transformasi untuk diagram) tetap harus dibenarkan.

2.4 Diagram sebagai sistem formal

Shin (1994) menindaklanjuti pekerjaan Peirce dalam dua arah. Salah satunya adalah untuk meningkatkan versi Venn diagram Peirce, dan yang lainnya adalah untuk membuktikan kesehatan dan kelengkapan sistem yang direvisi ini.

Karya Shin mengubah modifikasi diagram Venn milik Peirce untuk mencapai peningkatan daya ekspresif tanpa kehilangan kejernihan visual yang parah. Revisi ini dibuat dalam dua tahap: (i) Venn-I: mempertahankan nuansa Venn (untuk kekosongan), 'x' (untuk impor eksistensial) Peirce, dan garis penghubung Peirce antara 'x (untuk informasi disjungtif). (ii) Venn-II: Sistem ini, yang terbukti secara logis setara dengan logika predikat monadik, sama dengan Venn-I kecuali bahwa garis penghubung antar diagram baru diperkenalkan untuk menampilkan informasi disjungtif.

Kembali ke salah satu contoh Euler, kita akan melihat kontras di antara berbagai versi ini dengan jelas:

Contoh 3. Tidak, A adalah B. Beberapa C adalah A. Oleh karena itu, Beberapa C bukan B.

Euler mengakui bahwa tidak ada diagram Euler tunggal dapat ditarik untuk mewakili tempat, tetapi bahwa tiga kasus yang mungkin harus ditarik. Sistem Venn diam tentang pernyataan eksistensial. Sekarang, sistem Peirce dan Shin mewakili dua premis ini dalam satu diagram sebagai berikut:

Dua diagram keduanya terdiri dari tiga lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A', 'B', dan 'C'. Diagram pertama, berjudul 'Peirce', memiliki tumpang tindih dari ketiga lingkaran yang 'x' terhubung ke 'x' di tumpang tindih hanya lingkaran A dan C; itu juga memiliki tumpang tindih dari ketiga lingkaran 'o' dan juga 'o' di tumpang tindih hanya lingkaran A dan B. Diagram kedua, berjudul 'Shin', memiliki tumpang tindih dari ketiga lingkaran dan 'x' 'terhubung ke' x 'dalam tumpang tindih hanya lingkaran A dan C; tumpang tindih A dan B diarsir
Dua diagram keduanya terdiri dari tiga lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A', 'B', dan 'C'. Diagram pertama, berjudul 'Peirce', memiliki tumpang tindih dari ketiga lingkaran yang 'x' terhubung ke 'x' di tumpang tindih hanya lingkaran A dan C; itu juga memiliki tumpang tindih dari ketiga lingkaran 'o' dan juga 'o' di tumpang tindih hanya lingkaran A dan B. Diagram kedua, berjudul 'Shin', memiliki tumpang tindih dari ketiga lingkaran dan 'x' 'terhubung ke' x 'dalam tumpang tindih hanya lingkaran A dan C; tumpang tindih A dan B diarsir

Dalam kasus diagram Shin, konvensi teduh Venn untuk kekosongan, berbeda dengan Peirce 'o', jauh lebih alami mengarahkan pembaca ke kesimpulan "Some C is not B" daripada dalam kasus diagram Peirce.

Namun, Venn-I tidak dapat mengungkapkan informasi disjungtif antara pernyataan universal atau antara pernyataan universal dan eksistensial. Mempertahankan kekuatan ekspresif Venn-I, Venn-II memungkinkan diagram dihubungkan oleh garis. Diagram Peirce yang tampak membingungkan di atas setara dengan diagram Venn-II berikut:

Dua persegi panjang dihubungkan oleh garis yang masing-masing berisi dua lingkaran yang tumpang tindih; dalam persegi panjang pertama, tumpang tindih dari dua lingkaran berisi 'x' dan bagian yang tidak tumpang tindih dari lingkaran pertama diarsir; dalam persegi panjang kedua bagian tumpang tindih dari dua lingkaran diarsir dan 'x' di bagian non-tumpang tindih dari lingkaran kedua
Dua persegi panjang dihubungkan oleh garis yang masing-masing berisi dua lingkaran yang tumpang tindih; dalam persegi panjang pertama, tumpang tindih dari dua lingkaran berisi 'x' dan bagian yang tidak tumpang tindih dari lingkaran pertama diarsir; dalam persegi panjang kedua bagian tumpang tindih dari dua lingkaran diarsir dan 'x' di bagian non-tumpang tindih dari lingkaran kedua

Selain revisi ini, Shin (1994) menyajikan masing-masing dari dua sistem ini sebagai sistem representasi formal standar yang dilengkapi dengan sintaks dan semantik sendiri. Sintaks memberitahu kita diagram mana yang dapat diterima, yaitu, yang terbentuk dengan baik, dan manipulasi mana yang diizinkan dalam setiap sistem. Semantik mendefinisikan konsekuensi logis di antara diagram. Dengan menggunakan alat-alat ini, terbukti bahwa sistemnya baik dan lengkap, dalam arti yang sama dengan beberapa logika simbolis.

Pendekatan ini telah menimbulkan tantangan mendasar bagi beberapa asumsi yang dimiliki tentang sistem representasi. Sejak pengembangan logika modern, konsep-konsep penting, misalnya sintaksis, semantik, inferensi, konsekuensi logis, validitas, dan kelengkapan, telah diterapkan pada sistem representasi sentensial saja. Namun, tidak satu pun dari ini ternyata intrinsik untuk logika simbolik tradisional ini saja. Untuk sistem representasi apa pun, apakah itu sentensial atau diagram, kita dapat membahas dua level, level sintaksis dan level semantik. Apa yang disimpulkan oleh aturan inferensi adalah bagaimana memanipulasi unit yang diberikan, apakah simbolik atau diagram, ke unit lain. Definisi konsekuensi logis juga bebas dari segala bentuk sistem representasi. Argumen yang sama berlaku untuk bukti kesehatan dan kelengkapan. Ketika suatu sistem terbukti sehat,kita harus bisa mengadopsinya dalam bukti. Faktanya, banyak penelitian saat ini mengeksplorasi penggunaan diagram dalam pembuktian teorema otomatis (lihat Barker-Plummer & Bailin 1997; dan Jamnik et al. 1999).

2.5 Lingkaran Euler ditinjau kembali

Sangat menarik dan penting untuk memperhatikan bahwa perubahan bertahap yang dibuat dari Lingkaran Euler ke sistem Shin memiliki satu tema yang sama: untuk meningkatkan daya ekspresif dan logis sistem sehingga menjadi suara, lengkap, dan secara logis setara dengan logika predikat monadik. Revisi utama dari diagram Euler ke Venn, memperkenalkan diagram primer, memungkinkan kami untuk merepresentasikan pengetahuan parsial tentang hubungan antar set. Perpanjangan dari diagram Venn ke Peirce dibuat sehingga informasi eksistensial dan disjungtif dapat direpresentasikan secara lebih efektif.

Baik Venn maupun Peirce mengadopsi solusi yang sama untuk mencapai perbaikan-perbaikan ini: untuk memperkenalkan objek sintaksis baru, yaitu bayangan oleh Venn, dan 'x's,' o's, dan lines oleh Peirce. Namun, di sisi negatifnya, sistem yang direvisi ini menderita kehilangan kejernihan visual, seperti yang terlihat di atas, terutama karena pengenalan konvensi yang lebih sewenang-wenang. Modifikasi dari diagram Peirce ke Shin berkonsentrasi pada mengembalikan kejernihan visual, tetapi tanpa kehilangan daya ekspresif.

Hammer dan Shin mengambil jalan yang berbeda dari revisi ini: Untuk menghidupkan kembali hubungan homomorfik Euler antara lingkaran dan penahanan-set di antara lingkaran mewakili hubungan subset di antara set, dan wilayah yang tidak tumpang tindih mewakili hubungan yang terputus-putus dan pada saat yang sama, untuk mengadopsi Diagram primer Venn secara default. Di sisi lain, sistem Euler yang direvisi ini bukan alat mandiri untuk penalaran silogistik, karena tidak dapat mewakili pernyataan eksistensial. Untuk detail lebih lanjut tentang sistem yang direvisi ini, lihat (Hammer & Shin 1998).

Studi kasus ini menimbulkan pertanyaan menarik untuk penelitian lebih lanjut tentang penalaran diagram. Sepanjang perkembangan yang berbeda dari diagram Euler, meningkatkan kekuatan ekspresif dan meningkatkan kejernihan visualnya tampaknya saling melengkapi satu sama lain. Bergantung pada tujuannya, kita perlu memberi prioritas pada satu di atas yang lain. Sistem alternatif Hammer dan Shin menyediakan model sederhana untuk pengembangan sistem representasi non-sentensial efisien lainnya, sebuah topik yang telah semakin mendapat perhatian dalam ilmu komputer dan ilmu kognitif.

3. Konsekuensi Properti Spasial Diagram

Meskipun sering dimungkinkan untuk memberikan diagram status logis yang sama dengan rumus (seperti yang diperdebatkan di atas), masih ada perbedaan penting (yang dapat memiliki konsekuensi untuk kebenaran sistem) antara diagram dan kalkulus bukti linear tradisional. Poin penting yang perlu diperhatikan tentang diagram (lih. Russell 1923) adalah bahwa hubungan spasial antara objek dalam diagram dapat digunakan untuk mewakili hubungan antara objek dalam beberapa domain lainnya. Bahasa berurutan (misalnya, logika simbolik, bahasa alami), bagaimanapun, hanya menggunakan hubungan rangkaian untuk mewakili hubungan antar objek. Penggunaan hubungan spasial yang representasional dalam kasus diagram bersifat langsung dan intuitif, seperti yang terlihat dalam pengembangan Diagram Euler di atas, tetapi juga memiliki bahaya-seperti yang akan kita bahas. Kendala spasial, yang khas untuk sistem diagram,dapat diharapkan menjadi sumber penting dari kekuatan dan kelemahan mereka. Pertimbangan psikologis tentang kapasitas manusia untuk pemrosesan visual informasi, dan keterampilan penalaran spasial kualitatif, juga memiliki konsekuensi untuk efektivitas penalaran dengan diagram, tetapi kami tidak akan mensurveinya di sini.

Ciri pembeda khusus dari diagram adalah bahwa mereka mematuhi batasan “nomik” atau “intrinsik” tertentu karena penggunaan permukaan bidang sebagai media representasi. Idenya adalah bahwa bahasa sentensial didasarkan pada sinyal akustik yang bersifat sekuensial, dan karenanya harus memiliki sintaks yang kompensatif untuk mengekspresikan hubungan tertentu - sedangkan diagram, menjadi dua dimensi, dapat menampilkan beberapa hubungan tanpa intervensi dari sintaksis yang kompleks (Stenning & Lemon 2001). Diagram mengeksploitasi kemungkinan ini - penggunaan hubungan spasial untuk mewakili hubungan lain. Pertanyaannya adalah; seberapa baik relasi spasial dan objek dapat merepresentasikan objek dan relasi lain (mungkin lebih abstrak)?

Penalaran logis dengan diagram sering dilakukan berdasarkan penggambaran mereka tentang semua model yang mungkin dari suatu situasi, hingga kesetaraan topologi diagram (ini, tentu saja, tergantung pada sistem diagram tertentu yang digunakan). Diagram tunggal seringkali merupakan abstraksi atas suatu kelas situasi, dan begitu diagram yang sesuai telah dibangun, kesimpulan dapat dengan mudah dibaca dari representasi tanpa manipulasi lebih lanjut. Dalam beberapa sistem diagram (misalnya, Lingkaran Euler) inferensi dilakukan dengan membuat diagram dengan benar dan membaca informasi darinya. Kompleksitas penggunaan aturan inferensi dalam logika simbolik, dalam kasus ini, digantikan oleh masalah menggambar diagram tertentu dengan benar. [5]Sebagai contoh, diagram Euler Circles berusaha untuk menangkap hubungan antar set menggunakan hubungan topologis antar wilayah bidang sedemikian rupa sehingga dapat menggambarkan semua cara yang mungkin sehingga kumpulan pernyataan set-teoretis tertentu bisa benar. Ini memiliki dua konsekuensi penting: (1) jika diagram tertentu tidak dapat ditarik maka situasi yang diuraikan harus mustahil (disebut "konsistensi diri"), dan (2) jika hubungan tertentu antara objek diagram harus ditarik, maka yang sesuai hubungan dapat disimpulkan sebagai valid secara logis. (Lihat banyak contoh di Bagian 2.) Fenomena ini sering disebut sebagai "perjalanan gratis" (Barwise & Shimojima 1995). Gaya penalaran diagram ini karenanya tergantung pada penggunaan diagram representasional tertentu - bahwa mereka mewakili kelas model. Jika kelas model tertentu tidak dapat diwakili oleh sistem diagram, maka kasus-kasus tersebut tidak akan diperhitungkan dalam kesimpulan menggunakan sistem, dan kesimpulan yang salah mungkin diambil. Fakta ini membuat kecukupan representasional dari sistem diagram, dibatasi oleh sifat spasialnya, sangat penting, seperti yang akan kita bahas sekarang.

3.1 Keterbatasan pada representasi diagram dan penalaran

Penggunaan representasional dari hubungan spasial di pesawat membatasi representasi diagram, dan oleh karena itu bernalar dengan diagram, dengan cara-cara penting tertentu. Secara khusus, ada sifat-sifat topologis dan geometris (mari kita gabungkan semuanya sebagai “spasial”) dari objek diagram dan hubungan yang membatasi kekuatan ekspresif sistem diagram. Misalnya, dalam teori grafik diketahui bahwa beberapa struktur sederhana tidak dapat ditarik di dalam bidang. Misalnya, grafik K 5adalah grafik yang terdiri dari 5 node, masing-masing bergabung satu sama lain dengan sebuah busur. Grafik ini adalah non-planar, artinya ia tidak dapat ditarik tanpa setidaknya dua busur melintas. Ini hanya semacam batasan pada diagram yang mungkin membatasi kekuatan ekspresif sistem diagram. Sekarang, karena penalaran diagram dapat terjadi dengan penghitungan semua model yang mungkin dari suatu situasi, ketidakcukupan representasional ini (suatu jenis ketidaklengkapan) membuat banyak sistem diagram tidak benar jika mereka digunakan untuk penalaran logis (misalnya, lihat kritik Englebretsen 1992 dalam Lemon & Lemon). Pratt 1998).

Mungkin contoh paling sederhana dari ini adalah karena Lemon dan Pratt [6] (lihat misalnya, 1997). Pertimbangkan Lingkaran Euler - di mana daerah cembung dari pesawat mewakili set, dan tumpang tindih dari wilayah tersebut mewakili persimpangan non-kosong dari set yang sesuai. Hasil dari topologi cembung yang dikenal sebagai Teorema Helly menyatakan (untuk kasus 2 dimensi) bahwa jika setiap triple dari 4 daerah cembung memiliki persimpangan non-kosong maka keempat wilayah harus memiliki persimpangan non-kosong.

Untuk memahami konsekuensi dari ini, pertimbangkan masalah berikut:

Contoh 4. Menggunakan Lingkaran Euler, sajikan premis berikut:

  • A ∩ B ∩ C ≠ ∅
  • B ∩ C ∩ D ≠ ∅
  • C ∩ D ∩ A ≠ ∅

Perhatikan bahwa, dalam hal teori-set, hanya konsekuensi sepele yang mengikuti dari premis-premis ini. Namun, diagram Euler tempat, seperti Gambar 5, mengarah pada kesimpulan yang salah bahwa A ∩ B ∩ C ∩ D ≠ ∅ (karena daerah tumpang tindih empat kali lipat di tengah diagram):

Empat lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A', 'B', 'C', dan 'D'
Empat lingkaran yang tumpang tindih berlabel 'A', 'B', 'C', dan 'D'

Gambar 5: Representasi Lingkaran Euler yang memperlihatkan Teorema Helly

Dengan kata lain, pengguna Euler Circles dipaksa [7] untuk mewakili hubungan antara set yang tidak secara logis diperlukan. Ini berarti baik bahwa ada situasi yang secara logis memungkinkan dimana sistem tidak dapat mewakili, dan bahwa pengguna akan membuat kesimpulan yang salah jika mereka mengandalkan sistem untuk alasan. Secara lebih umum, jenis hasil ini dapat dihasilkan untuk berbagai jenis sistem diagram, tergantung pada hubungan spasial tertentu dan objek yang mereka gunakan dalam representasi-program penelitian yang sedang berlangsung.

Misalnya, menggunakan daerah non-cembung (misalnya, "gumpalan" alih-alih lingkaran) mengarah ke masalah yang sama, hanya bahwa grafik non-planar terlibat, bukan Teorema Helly. Hasil yang sama berkenaan dengan diagram linier untuk silogisme Englebretsen 1992, di mana garis digunakan untuk mewakili set, titik mewakili individu, titik-titik persimpangan mewakili set-keanggotaan, dan garis potong garis mewakili set-persimpangan. Sekali lagi, kendala planaritas membatasi daya ekspresif sistem dan mengarah pada kesimpulan yang salah.

“Hipotesis kendala” Atsushi Shimojima mungkin merangkum semua ini:

Representasi adalah objek di dunia, dan karenanya mereka mematuhi batasan struktural tertentu yang mengatur kemungkinan pembentukannya. Varian dalam potensi inferensial dari berbagai mode representasi sebagian besar disebabkan oleh berbagai cara di mana kendala struktural pada representasi cocok dengan kendala pada target representasi (Shimojima 1996a, 1999).

3.2 Keampuhan diagram

Seperti dibahas di atas, banyak minat dalam diagram telah dihasilkan oleh klaim bahwa mereka entah bagaimana lebih "efektif" daripada representasi logis tradisional untuk jenis tugas tertentu. Tentu saja, misalnya, peta adalah bantuan yang lebih besar untuk navigasi daripada deskripsi verbal lanskap. Namun, sementara ada tentu saja keuntungan psikologis yang bisa diperoleh melalui penggunaan diagram, mereka (seperti dalam kasus Lingkaran Euler) sering tidak efektif sebagai representasi dari objek dan hubungan abstrak. Sekali gagasan intuitif murni, klaim non-psikologis tentang "kemanjuran" sistem diagram dapat diperiksa dalam hal sifat formal standar bahasa (Lemon et al. 1999). Secara khusus, banyak sistem diagram yang konsisten sendiri, tidak benar, dan tidak lengkap, dan kompleksitas inferensi dengan diagram adalah NP-hard. Sebaliknya, sebagian besar logika sentensial, walaupun mampu mengekspresikan ketidakkonsistenan, adalah lengkap dan benar[8].

Di sisi lain, tidak mampu mewakili kontradiksi dapat memberi kita wawasan yang menarik tentang sifat representasi diagram. Jika tujuan utama suatu bahasa adalah untuk mewakili dunia atau keadaan, maka mewakili kontradiksi atau tautologi dipertanyakan. Baik kontradiksi maupun tautologi bukan bagian dari dunia. Bagaimana kita bisa menggambar, atau mengambil gambar, dari kontradiksi bahwa "hujan dan tidak hujan"? Bagaimana dengan gambar informasi disjungtif “hujan atau hujan”? Sekarang, kita tampaknya lebih dekat dengan teori gambaran klasik bahasa Wittgenstein (Wittgenstein 1921).

4. Sistem Diagram dalam Geometri

Matematikawan telah menggunakan, dan terus menggunakan, diagram secara luas. Komunikasi konsep-konsep matematika dan bukti-dalam buku teks, di papan tulis-tidak seragam sentensial. Angka dan gambar adalah hal biasa. Sejalan dengan konsepsi logika yang berlaku sebagai dasarnya sentensial, bagaimanapun, mereka biasanya tidak dianggap berperan dalam penalaran matematika yang ketat. Penggunaannya dianggap terbatas untuk meningkatkan pemahaman bukti. Mereka tidak secara standar diyakini membentuk bagian dari bukti itu sendiri.

Sikap tersebut diilustrasikan dengan baik oleh penilaian standar metodologi Euclid dalam Elemen. Dalam subjek matematika tidak ada diagram yang lebih menonjol daripada dalam geometri dasar Euclid berkembang dalam teks. Bukti-bukti subjek tampaknya dalam beberapa hal tentang diagram segitiga dan lingkaran yang muncul bersama mereka. Ini khususnya kasus dengan bukti geometris Elemen. Diagram untuk Euclid bukan hanya ilustrasi. Beberapa langkah inferensi bergantung pada diagram yang dibangun dengan tepat. Pada cerita standar, langkah-langkah ini menunjukkan celah dalam bukti Euclid. Mereka menunjukkan bagaimana Euclid tidak sepenuhnya melaksanakan proyek pengembangan geometri secara aksiomatis.

Ken Manders berangkat untuk meledakkan cerita ini dengan karya mani nya "The Euclidean diagram" (2008 [1995]). Analisisnya tentang metode bukti diagram Euclid mengungkapkan bahwa Euclid menggunakan diagram dengan cara yang terkontrol dan sistematis. Dengan demikian hal ini mempertanyakan penilaian negatif yang umum dari kerasnya Elemen. Selain itu, spesifik analisis Mander menunjukkan bahwa bukti teks dapat dipahami untuk mengikuti logika diagram formal. Ini kemudian dikonfirmasi oleh pengembangan sistem diagram formal yang dirancang untuk mengkarakterisasi logika semacam itu. Yang pertama adalah FG (disajikan dalam Miller 2007), diikuti oleh sistem Uni Eropa (Mumma 2010).

Bagian ini dikhususkan untuk menjelaskan analisis Mander dan sistem formal yang muncul darinya. Setelah survei singkat tentang bagaimana diagram Euclid telah dilihat selama berabad-abad, gambar Mander tentang peran mereka dalam bukti geometris disajikan. Deskripsi tentang bagaimana sistem FG dan Uni Eropa membuat gambar ini dalam istilah formal dan mencirikan logika diagram Euclidean kemudian mengikuti.

4.1 Tampilan pada diagram Euclid dari 4 th SM abad ke 20 th abad ke

Geometri dasar dari Elemen diambil untuk menjadi dasar untuk matematika dari awal di Yunani kuno hingga abad ke -19. Dengan demikian, para filsuf yang peduli dengan sifat matematika mendapati diri mereka wajib mengomentari bukti diagram dari teks tersebut. Masalah sentral, jika bukan masalah utama, adalah masalah umum. Diagram yang muncul dengan bukti Euclidean memberikan contoh tunggal dari jenis konfigurasi geometri yang menjadi bukti. Namun properti yang terlihat tahan dalam diagram diambil untuk menampung semua konfigurasi dari tipe yang diberikan. Apa yang membenarkan lompatan ini dari yang khusus ke yang umum?

Sebagai ilustrasi, pertimbangkan bukti untuk proposisi 16 dari buku I Elemen.

Proposisi adalah:

Dalam segitiga apa pun, jika salah satu sisi diproduksi, sudut eksterior lebih besar dari sudut interior dan berlawanan.

Bukti Euclid adalah:

Segitiga ABC dengan segmen BC yang memanjang ke titik D dan garis BF yang memotong segmen AC
Segitiga ABC dengan segmen BC yang memanjang ke titik D dan garis BF yang memotong segmen AC
  • Biarkan ABC menjadi segitiga, dan biarkan satu sisi BC diproduksi menjadi D;
  • Saya mengatakan bahwa sudut ACD lebih besar dari BAC sudut interior dan berlawanan.
  • Biarkan AC dibagi dua di E [I, 10], dan biarkan BE bergabung dan diproduksi dalam garis lurus ke F;
  • biarkan EF dibuat sama dengan BE [I, 3], dan biarkan FC bergabung.
  • Kemudian, karena AE sama dengan EC, dan BE sama dengan EF, kedua sisi AE, EB sama dengan dua sisi CE, EF masing-masing; dan sudut AEB sama dengan sudut FEC [I, 15].
  • Oleh karena itu basis AB sama dengan basis FC, dan segitiga ABE sama dengan CFE segitiga [I, 4], oleh karena itu sudut BAE sama dengan sudut ECF (yang juga merupakan sudut ACF);
  • Tetapi sudut ACD lebih besar dari sudut ACF;
  • Oleh karena itu sudut ACD lebih besar dari BAE.

Buktinya merujuk pada bagian diagram yang diberikan bersama buktinya. Namun demikian buktinya tidak dimaksudkan untuk membangun sesuatu hanya tentang segitiga dalam diagram, tetapi sesuatu tentang semua segitiga. Dengan demikian diagram berfungsi untuk mewakili, dalam beberapa cara, semua segitiga.

Peran diagram sebagai representasi dikemukakan oleh Aristoteles dalam buku A, bab 10 dari Posterior Analytics:

Geometer tidak mendasarkan kesimpulan pada garis tertentu yang telah ditariknya menjadi apa yang telah ia gambarkan, tetapi [merujuk pada] apa yang diilustrasikan oleh angka-angka tersebut. (Terjemahan oleh T. Heath, ditemukan dalam Euclid 1956: vol. I, hal.119)

Aristoteles tidak dalam bagian menghadapi pertanyaan tentang bagaimana geometer menggunakan diagram untuk alasan tentang apa yang mereka gambarkan. Beberapa abad kemudian Proclus melakukannya dalam komentarnya tentang Elemen. Proclus menegaskan bahwa beralih dari contoh tertentu ke kesimpulan universal dibenarkan karena geometer

… gunakan benda-benda yang ditetapkan dalam diagram bukan sebagai angka-angka tertentu, tetapi sebagai angka yang menyerupai orang lain dengan jenis yang sama. Bukan sebagai memiliki ukuran ini-dan-sedemikian sehingga sudut sebelum saya dibelah dua, tetapi sebagai bujursangkar dan tidak lebih … Misalkan sudut yang diberikan adalah sudut yang benar … jika saya tidak menggunakan kebenarannya dan hanya mempertimbangkan bujursangkarnya saja karakter, proposisi akan berlaku sama untuk semua sudut dengan sisi bujursangkar. (Sebuah Komentar tentang Buku Pertama Elemen Euclid, Morrow 1970: 207))

Tempat diagram dalam geometri tetap menjadi masalah ke periode modern awal. Tokoh filsafat utama dalam 17 th dan 18 th abad posisi maju di atasnya. Mengantisipasi pandangan modern yang menonjol, Leibniz menegaskan:

… itu bukan angka-angka yang melengkapi buktinya dengan geometer, meskipun gaya eksposisi dapat membuat Anda berpikir demikian. Kekuatan demonstrasi tidak tergantung pada gambar yang diambil, yang ditarik hanya untuk memfasilitasi pengetahuan tentang makna kita, dan untuk memperbaiki perhatian; itu adalah proposisi universal, yaitu, definisi, aksioma, dan teorema yang sudah ditunjukkan, yang membuat alasan, dan yang akan mempertahankannya meskipun angka itu tidak ada. (1704 Esai Baru: 403)

Dalam pengantar Prinsip-prinsip Pengetahuan Manusia (1710, bagian 16), Berkeley mengulangi 13 abad kemudian tentang cara Proclus mengatasi masalah umum. Meskipun seseorang selalu memiliki segitiga tertentu 'dalam pandangan' ketika bekerja melalui demonstrasi tentang segitiga, ada 'tidak sedikit menyebutkan' dari detail khusus dari segitiga tertentu dalam demonstrasi. Demonstrasi dengan demikian membuktikan, menurut Berkeley, proposisi umum tentang segitiga.

Akun yang paling berkembang, dan dapat diprediksi paling kompleks dan sulit, dari diagram geometris di zaman modern dapat ditemukan di Kant. Kant melihat sesuatu yang memiliki arti epistemologis yang dalam dalam penggunaan diagram tertentu oleh geometer sebagai alasan tentang konsep geometris. Dengan alasan seperti ini, geometer

mempertimbangkan konsep dalam konkret, meskipun non-empiris, tetapi lebih sebagai konsep yang dipamerkan, yaitu, dibangun, dan di mana yang mengikuti dari kondisi umum konstruksi juga harus secara umum dari objek konsep yang dibangun. (1781, Critique of Pure Reason, A716 / B744.)

Untuk pandangan yang berbeda tentang apa yang diungkapkan ayat-ayat ini tentang di mana diagram cocok dengan filsafat geometri Kant, lihat Shabel 2003 dan Friedman 2012.

Pada abad ke 19, geometri dan matematika secara keseluruhan mengalami revolusi. Konsep yang jauh lebih abstrak dan umum daripada yang ditemukan dalam Elemen (misalnya, geometri non-Euclidean, set) muncul. Tidak hanya pertanyaan tentang sifat metode diagram Euclid yang kehilangan urgensi mereka, metode ini kemudian dipahami sebagai cacat matematis. Pandangan terakhir menemukan ekspresi yang paling tepat dalam karya inovatif Moritz Pasch, yang memberikan aksioma modern pertama geometri elementer di Pasch (1882). Di dalamnya, Pasch menunjukkan bagaimana subjek dapat dikembangkan tanpa mengacu pada diagram atau bahkan pada konsep geometri diagram instantiate. Norma metodologis yang memandu karya ini diungkapkan dengan baik dalam bagian yang sering dikutip berikut ini:

Bahkan, jika geometri benar-benar deduktif, proses deduksi harus dalam segala hal terlepas dari pengertian konsep-konsep geometris, sama seperti itu harus independen terhadap angka; hanya hubungan yang ditetapkan antara konsep-konsep geometris yang digunakan dalam proposisi (masing-masing definisi) yang bersangkutan yang harus diperhitungkan. (Pasch 1882: 98; penekanan pada aslinya. Terjemahan di sini berasal dari Schlimm 2010)

Norma sejak itu telah mengakar baik dalam matematika dan diskusi filosofis matematika. Ini adalah pengukuhannya dalam yang terakhir yang ditentang Mander dalam Manders 2008 [1995]. Dalam catatannya ia mengembangkan geometri kuno, perlunya berkonsultasi diagram dalam bukti tidak menunjukkan kesenjangan deduktif. Sebaliknya, diagram dan teks bersama-sama membentuk bukti matematika yang ketat dan deduktif.

4.2 Perbedaan persis / co-eksak Mander dan masalah umum

4.2.1 Perbedaan yang tepat / tidak tepat

Untuk menjelaskan pembagian kerja antara teks dan diagram dalam geometri kuno, Manders membedakan antara sifat tepat dan co-eksak dari diagram geometrik dalam Manders 2008 [1995]. Yang mendasari perbedaan adalah gagasan variasi. Kondisi co-eksak diwujudkan oleh diagram 'adalah kondisi-kondisi yang tidak terpengaruh oleh beberapa rentang setiap variasi kontinu dari diagram yang ditentukan.' Sebaliknya, kondisi yang tepat akan terpengaruh setelah diagram tunduk pada variasi terkecil. Secara kasar, sifat co-eksak diagram terdiri dari cara bagian-bagiannya mendefinisikan seperangkat daerah planar yang terbatas, dan hubungan penahanan antara daerah-daerah ini. Relasi eksak yang menonjol adalah persamaan dua besaran dalam diagram. Sebagai contoh,hanya sedikit perubahan pada posisi CF dalam diagram untuk proposisi 16 yang diperlukan untuk membuat sudut BAE dan ECF tidak sama.

Pengamatan utama Manders adalah bahwa diagram Euclid berkontribusi pada bukti hanya melalui sifat co-exact mereka. Euclid tidak pernah menyimpulkan properti yang tepat dari diagram kecuali mengikuti langsung dari properti co-exact. Hubungan antara magnitudo yang tidak ditampilkan sebagai kontainmen diasumsikan sejak awal atau dibuktikan melalui rangkaian kesimpulan dalam teks. Ini dapat dengan mudah dikonfirmasikan dengan bukti proposisi 16. Satu kesimpulan yang bergantung pada diagram adalah kesimpulan bukti kedua yang terakhir. Kesimpulannya, khususnya, sudut ACD lebih besar dari sudut ACF. Ini, yang terpenting, didasarkan pada penglihatan dari diagram bahwa sudut ACD mengandung sudut ACF. Ada banyak hubungan lain yang ditegaskan sebagai bukti. Meskipun diagram membuat mereka, mereka secara eksplisit dibenarkan dalam teks. Dan dengan hubungan ini,relata adalah besaran yang terpisah secara spasial.

Tidak sulit untuk berhipotesis mengapa Euclid akan membatasi dirinya sedemikian rupa. Hanya dalam kapasitasnya untuk merepresentasikan sifat dan hubungan co-eksak, diagram tampak mampu berfungsi secara efektif sebagai simbol pembuktian. Sifat tepat diagram terlalu halus untuk mudah direproduksi dan untuk mendukung penilaian yang menentukan. Seperti kata Mander

Praktik ini memiliki sumber daya untuk membatasi risiko ketidaksepakatan pada atribusi eksak (eksplisit) dari diagram; tetapi tidak memiliki sumber daya seperti itu untuk atribusi yang tepat, dan karena itu tidak bisa membiarkan mereka tanpa larut dalam kekacauan penilaian yang saling bertentangan. (Manders 2008 [1995]: 91–92)

Wawasan Mander secara alami mengarah pada gagasan bahwa argumen Euclid dapat diformalkan dengan cara yang mirip dengan cara diagram Venn telah diformalkan dalam Shin 1994. Informasi co-eksak yang dibawa oleh diagram Euclid adalah diskrit. Ketika diagram dikonsultasikan untuk informasi ini, yang penting tentang hal itu adalah bagaimana garis dan lingkarannya mempartisi wilayah planar yang terbatas menjadi seperangkat sub-wilayah yang terbatas. Ini membuka pintu untuk membuat konsep diagram Euclid sebagai bagian dari sintaks metode bukti Euclid.

4.2.2 Masalah umum dengan konstruksi Euclid

Menyadari konsepsi ini dalam sistem formal jumlah bukti, seperti dalam Shin 1994, untuk menentukan sintaksis dan semantik diagram. Di sisi sintaksis, ini berarti mendefinisikan diagram Euclid sebagai objek formal secara tepat, dan memberikan aturan di mana diagram sebagai figur objek formal dalam derivasi proposisi Euclid. Di sisi semantik, ini berarti menentukan bagaimana ekspresi yang dapat diturunkan ditafsirkan secara geometris, atau dengan kata lain bagaimana tepatnya mereka dipahami sebagai mewakili proposisi Euclid.

Situasi semantik dengan diagram Euclid berbeda dengan situasi di Venn's. Diagram Venn digunakan untuk membuktikan hasil yang logis. Kesimpulan yang dibuat dengan mereka adalah topik netral. Diagram Euclid di sisi lain digunakan untuk membuktikan hasil geometris. Kesimpulan yang dibuat dengan mereka adalah topik khusus. Secara khusus, meskipun objek bidang geometri Euclidean adalah abstrak (misalnya, garis-garis geometris tidak memiliki luas), mereka masih spasial. Akibatnya, masalah seputar spasial diagram dan ruang lingkup representasional tidak muncul dengan diagram Euclid seperti yang mereka lakukan, misalnya, dengan diagram Euler. Dalam kasus geometri, pada kenyataannya, spasial diagram dianggap menguntungkan mereka. Kendala spasial pada apa yang mungkin dengan konfigurasi geometrik juga berlaku dengan diagram Euclidean spasial.

Namun demikian, seperti yang diakui dalam komentar filosofis tentang geometri Euclid dari zaman kuno dan seterusnya, ada dengan diagram Euclidean isu-isu ruang lingkup representasional untuk bersaing. Apa pembenaran untuk memperlakukan properti diagram geometrik tunggal sebagai perwakilan dari semua konfigurasi dalam kisaran bukti? Bagaimana diagram tunggal membuktikan hasil umum? Perbedaan Mander yang tepat / co-eksak memberikan dasar untuk sebagian jawaban. Sifat co-eksak diagram dapat dibagi oleh semua konfigurasi geometrik dalam kisaran bukti, dan dalam kasus seperti itu orang dibenarkan dalam membaca sifat co-eksak dari diagram. Dalam bukti tentang segitiga misalnya, variasi di antara konfigurasi dalam kisaran bukti adalah variasi properti yang tepat - misalnya, ukuran sudut segitiga,rasio antara sisi mereka. Mereka semua berbagi sifat co-eksak yang sama-yaitu, mereka semua terdiri dari tiga daerah linier terikat yang bersama-sama mendefinisikan suatu area.

Ini bukan jawaban lengkap karena bukti Euclid biasanya melibatkan konstruksi pada tipe konfigurasi awal. Dengan bukti proposisi 16, misalnya, konstruksi pada segitiga dengan satu sisi diperpanjang ditentukan. Dalam kasus seperti itu, diagram dapat secara memadai mewakili sifat co-eksak dari konfigurasi awal. Tetapi hasil penerapan konstruksi bukti pada diagram tidak dapat dianggap mewakili sifat co-eksak semua konfigurasi yang dihasilkan dari konstruksi. Orang tidak perlu mempertimbangkan situasi geometris yang kompleks untuk melihat ini. Misalkan misalnya jenis konfigurasi awal bukti adalah segitiga. Lalu diagram

sebuah segitiga (segitiga akut)
sebuah segitiga (segitiga akut)

berfungsi untuk mewakili sifat co-eksak dari tipe ini. Misalkan lebih lanjut bahwa langkah pertama konstruksi bukti adalah untuk menjatuhkan tegak lurus dari titik segitiga ke garis yang mengandung sisi yang berlawanan dengan titik. Kemudian hasil dari melakukan langkah ini pada diagram

segitiga yang sama dengan gambar sebelumnya dengan jatuh tegak lurus dari satu titik
segitiga yang sama dengan gambar sebelumnya dengan jatuh tegak lurus dari satu titik

tidak lagi representatif. Bahwa jatuh tegak lurus dalam segitiga dalam diagram adalah fitur co-eksak dari itu. Tetapi ada segitiga dengan sifat yang tepat berbeda dari diagram awal di mana penerapan langkah konstruksi menghasilkan posisi tegak lurus di luar segitiga. Misalnya dengan segitiga

Segitiga tumpul
Segitiga tumpul

hasil penerapan langkah konstruksi adalah

Triange tumpul dengan menjatuhkan tegak lurus dari salah satu sudut akut ke perpanjangan sisi yang berlawanan dari segitiga
Triange tumpul dengan menjatuhkan tegak lurus dari salah satu sudut akut ke perpanjangan sisi yang berlawanan dari segitiga

4.3 Sistem formal FG dan Eu

Maka, melaksanakan konstruksi Euclidean pada diagram yang representatif dapat menghasilkan diagram yang tidak representatif. Tugas utama memformalkan bukti diagram Euclid adalah untuk ini-yaitu, memberikan aturannya sebuah metode untuk membedakan fitur co-eksak umum dari yang non-umum dalam representasi diagram dari konstruksi. Sistem FG dan Uni Eropa mengambil dua pendekatan berbeda untuk tugas ini.

Dengan menggunakan metode FG, kita harus memproduksinya dengan diagram setiap kasus yang dapat dihasilkan dari konstruksi. Hubungan co-eksak umum dari konstruksi adalah hubungan yang muncul dalam setiap kasus. Permintaan FG agar setiap kasus diproduksi tentu saja akan sedikit menarik jika tidak juga menyediakan metode untuk memproduksi semuanya. Metode yang diberikan FG tergantung pada kenyataan bahwa garis dan lingkaran dalam diagram sistem didefinisikan dalam istilah topologi murni. Fleksibilitas yang dihasilkan memungkinkan untuk merumuskan dan menerapkan dalam program komputer metode umum untuk menghasilkan kasus. [9]

Garis dan lingkaran diagram Eu tidak fleksibel sama. Oleh karena itu, tidak dapat menyelesaikan masalah umum melalui analisis kasus seperti yang dilakukan FG. Gagasan sentral dari pendekatannya adalah untuk memungkinkan diagram menyimpan informasi parsial sejak awal. Dalam derivasi Uni Eropa, diagram yang dihasilkan oleh konstruksi bukti memiliki konten awal yang terdiri dari semua hubungan kualitatif dari diagram awal bukti. Hubungan kualitatif tentang objek yang ditambahkan oleh konstruksi tidak dapat segera dibaca dari diagram. Yang dapat dibaca dari diagram harus diturunkan oleh aturan sistem. [10]

Perbedaan antara pendekatan FG dan Uni Eropa untuk memformalkan konstruksi Euclid dapat dipahami sebagai mewakili konsepsi umum yang berbeda tentang peran diagram dalam matematika. FG mewujudkan konsepsi di mana diagram secara konkret mewujudkan berbagai kemungkinan matematika. Mereka mendukung inferensi matematis dengan memberikan akses langsung ke kemungkinan ini. Uni Eropa sebaliknya mewujudkan konsepsi di mana diagram berfungsi untuk mewakili dalam satu simbol berbagai komponen dari situasi matematika yang kompleks. Mereka mendukung inferensi matematis dengan memungkinkan pemikir matematika untuk mempertimbangkan semua komponen ini di satu tempat, dan untuk fokus pada komponen-komponen yang relevan dengan bukti.

5. Diagram dan Kognisi, Aplikasi

Terlepas dari keterbatasan formal beberapa sistem diagram yang disebutkan di atas, banyak sistem yang berbeda saat ini digunakan dalam berbagai konteks; pengajaran logika, penalaran otomatis, menentukan program komputer, penalaran tentang situasi dalam fisika, antarmuka pengguna grafis ke program komputer, dan sebagainya. Secara umum, belum diketahui seberapa efektif (dalam arti di atas) banyak dari sistem diagram ini. Kami sekarang memberikan survei singkat tentang sistem diagram lainnya dan penggunaannya, serta isu-isu yang lebih filosofis yang diangkat oleh perdebatan tentang status penalaran diagram.

5.1 Beberapa Sistem Diagram lainnya

Perlu dicatat bahwa banyak ahli matematika dan filsuf mengusulkan sistem diagram, seringkali dengan motivasi didaktik. Beberapa sistem, seperti Lewis Carroll dalam "The Game of Logic" (1896) adalah varian pada proposal Euler dan Venn. Lainnya, seperti Frege (1879), menggunakan garis daripada bidang pesawat. (Untuk penjelasan tentang notasi Frege, lihat bagian tentang Pernyataan Kompleks dan Umum dalam entri pada Gottlob Frege. Lihat juga Englebretsen 1992.) Sistem Carroll menggantikan Venn di mana komplemen set secara eksplisit diwakili sebagai wilayah diagram, daripada dibiarkan sebagai wilayah latar belakang tempat lingkaran muncul. Ini berarti bahwa sistem Carroll mampu menarik kesimpulan tentang hubungan antara komplemen properti, dengan mengorbankan mewakili beberapa properti sebagai disjoint (yaitu,wilayah yang tidak terhubung). Pergeseran ini sangat mencerminkan pergeseran dalam logika dari argumentasi subjek-predikat ke representasi fungsi-argumen (Stenning 1999).

Peirce, pendiri logika kuantitatif modern, juga menemukan sistem grafis, yang disebut Grafik Eksistensial, yang secara logis setara dengan logika predikat. Seiring dengan karya rintisan Don Robert tentang Grafik Eksistensial dan aplikasi kreatif John Sowa tentang grafik Peirce, baru-baru ini sekelompok peneliti diagram menyediakan pendekatan yang lebih beragam untuk Grafik Eksistensial dalam konteks teoretis yang lebih luas (Shin 2003).

Pada tema yang lebih praktis, para peneliti AI, yang salah satu perhatian utamanya adalah kekuatan heuristik dari sistem representasi di samping kekuatan ekspresif mereka, telah berdebat tentang berbagai bentuk representasi selama beberapa dekade (Sloman 1971, 1985, 1995). Oleh karena itu, mereka menyambut diskusi tentang peran yang berbeda dari penalaran visual dan baru-baru ini menjadi tuan rumah simposium interdisipliner pada penalaran diagram di konferensi AI. [11] Pada saat yang sama, menyadari bahwa manusia mengadopsi bentuk representasi yang berbeda tergantung pada jenis masalah yang mereka hadapi, beberapa peneliti AI dan ahli teori desain telah mempraktikkan pendekatan khusus domain untuk menghadirkan bentuk representasi yang disesuaikan dengan masalah. [12]

Misalnya, Harel (1988) menemukan higraph untuk mewakili spesifikasi sistem dalam ilmu komputer. Gagasan ini telah diambil dalam aplikasi industri (misalnya, UML, dalam Booch et al. 1998). Barker-Plummer & Bailin (1997) menyajikan studi kasus dalam mengembangkan komputer yang dapat melakukan jenis penalaran analog yang dilakukan manusia ketika membuktikan teorema matematika tertentu. Baru-baru ini, hasil yang menarik telah disampaikan oleh Mateja Jamnik dari Kelompok Penalaran Matematika Alan Bundy di Edinburgh (Jamnik 2001). Jamnik menunjukkan bagaimana sistem bukti formal semi-otomatis dapat melakukan beberapa kesimpulan persepsi yang menurut manusia sangat alami. Misalnya, bahwa jumlah bilangan asli n ganjil pertama adalah n kuadrat mudah dilihat dengan mendekomposisi kisi n × n menjadi “ells” (Jamnik et al. 1999).

Para sarjana di University of Brighton telah melakukan proyek-proyek menarik baik dalam mengembangkan sistem diagram dan dalam menerapkan alat visual dalam pengembangan perangkat lunak, lihat tautan di bagian Sumber Daya Internet Lainnya.

Juga harus disebutkan bahwa ilmuwan seperti ahli kimia dan fisikawan juga menggunakan diagram untuk melakukan perhitungan tertentu. Diagram Feynman, misalnya, digunakan untuk melakukan perhitungan dalam fisika sub-atom. Baru-baru ini, penalaran diagram formal telah dikembangkan untuk teori kuantum (Coecke & Kissinger 2017). Dalam Knot Theory (yang memiliki aplikasi dalam fisika, Kauffman 1991) tiga Reidemeister Moves adalah operasi diagram yang membentuk kalkulus lengkap untuk membuktikan simpul yang setara. Tidak mengherankan, diagram Knot telah menarik minat para peneliti (De Toffoli & Giardino 2014). Peran penting diagram dan penalaran diagram dalam matematika abstrak teori kategori juga telah diselidiki (Halimi 2012; De Toffoli 2017).

5.2 Diagram sebagai Representasi Mental

Apakah representasi mental kita memiliki entitas diagram-suka atau gambar-seperti sebagai komponen? Pertanyaan ini memiliki sejarah panjang baik dalam bidang filsafat dan psikologi, terlepas dari satu sama lain. Namun, baru-baru ini, beberapa filsuf telah berpartisipasi dalam "debat citra" ini, salah satu kontroversi psikologi yang paling dihormati, dan beberapa psikolog kognitif menemukan teori-teori epistemologis tertentu dalam filsafat yang berguna untuk mendukung pandangan mereka tentang masalah ini.

Sifat representasi mental telah menjadi salah satu topik abadi dalam filsafat, dan kita dapat dengan mudah melacak kembali diskusi filosofis tentang gambar dan representasi mental ke zaman kuno. [13]Tulisan-tulisan Hobbes, Locke, Berkeley, dan Hume sebagian besar berkaitan dengan wacana mental, makna kata-kata, gambaran mental, ide-ide tertentu, ide-ide abstrak, kesan, dan sebagainya. Perbedaan Descartes yang terkenal antara membayangkan dan membayangkan sesuatu telah menghasilkan banyak diskusi tentang peran unik gambar visual dalam representasi mental. Perkembangan ilmu kognitif pada abad ke-20 secara alami telah membawa kelompok filsuf dan psikolog tertentu lebih dekat dan kami menemukan sejumlah penulis yang karyanya dengan mudah dimiliki oleh kedua disiplin ilmu (Blok 1983; Dennett 1981; Fodor 1981).

Pencitraan berdasarkan introspeksi adalah fokus utama dalam pengembangan awal psikologi sampai pendekatan behavioris menjadi dominan dalam disiplin. Selama era behaviorisme, segala sesuatu yang berkaitan dengan inspeksi mental, termasuk gambar, dikeluarkan dari agenda penelitian yang serius. Akhirnya ketika topik gambar mental kembali dalam psikologi pada 1960-an, para peneliti mengadopsi agenda yang lebih rendah hati untuk pencitraan mental daripada sebelumnya: Tidak semua representasi mental melibatkan pencitraan, dan pencitraan adalah salah satu dari banyak cara memanipulasi informasi dalam pikiran. Juga, berkat pengaruh behaviourisme, diakui bahwa introspeksi tidak cukup untuk mengeksplorasi pencitraan, tetapi klaim tentang pencitraan mental perlu dikonfirmasi oleh eksperimen untuk menunjukkan bahwa kami berhasil mengeksternalisasi peristiwa mental. Itu adalah,jika apa yang dikatakan introspeksi mental kepada kita adalah asli, maka akan ada konsekuensi eksternal yang dapat diamati dari kondisi mental itu.

Dengan demikian perdebatan citra kontemporer di antara para ilmuwan kognitif adalah tentang klaim bahwa gambar seperti gambar ada sebagai representasi mental dan tentang bagaimana kita menafsirkan eksperimen tertentu. [14]

Kosslyn (1980, 1994) dan pictorialists lainnya (Shepard & Metzler 1971) menyajikan data eksperimental untuk mendukung posisi mereka bahwa beberapa gambar mental kita lebih seperti gambar daripada bentuk bahasa linear (misalnya, bahasa alami atau bahasa simbolik buatan) di beberapa aspek penting, meskipun tidak semua gambar dan gambar mental visual memiliki jenis yang persis sama. Sebaliknya, Pylyshyn (1981) dan deskripsionalis lainnya (Dennett 1981) mengajukan pertanyaan tentang status gambar mental seperti gambar dan berpendapat bahwa gambar mental dibentuk dari deskripsi terstruktur. Bagi mereka, gambar mental lebih mewakili cara bahasa daripada gambar dan, karenanya, tidak ada gambar mental visual seperti gambar.

Kedua sisi perdebatan terkadang menggunakan teori filosofis sebagai faktor pendukung. Sebagai contoh, ahli piktorial dalam debat citra menemukan teori indera-datum modern dalam filsafat cukup dekat dengan sudut pandang mereka. Dengan cara yang sama, para kritikus teori indera-datum berpendapat bahwa pandangan gambar mental yang keliru muncul terutama dari kebingungan kita tentang bahasa biasa dan mengklaim bahwa gambaran mental adalah epifenomena.

5.3 Peran Diagram Kognitif

Tanpa banyak terlibat dalam debat citra, beberapa peneliti telah memfokuskan pada peran berbeda yang dimainkan diagram atau gambar - sebagai lawan dari bentuk-bentuk sentensial tradisional - dalam aktivitas kognitif kita. (Shin 2015; Hamami & J. Mumma 2013) Berdasarkan pada dugaan bahwa manusia mengadopsi representasi mental internal diagram dan spasial dalam penalaran mereka tentang situasi konkret atau abstrak (lihat Howell 1976; Sober 1976), beberapa ilmuwan kognitif berkonsentrasi pada fungsi gambar atau diagram dalam berbagai aktivitas kognitif kita, misalnya, memori, imajinasi, persepsi, navigasi, inferensi, penyelesaian masalah, dan sebagainya. Di sini, sifat berbeda dari "informasi visual," yang diperoleh baik melalui gambar mental internal atau melalui diagram yang ditarik secara eksternal, telah menjadi topik utama penelitian. Meskipun sebagian besar dari karya-karya ini mengasumsikan bahwa ada gambar-gambar mental (yaitu, mereka menerima klaim para ahli gambar), secara tegas mereka tidak harus berkomitmen pada pandangan bahwa gambar-gambar ini ada sebagai unit dasar dalam pengetahuan kita. Descripionalists tidak harus membuang diskusi tentang fungsi gambar, tetapi hanya perlu menambahkan bahwa gambar-gambar ini bukan unit primitif yang disimpan dalam memori kita, tetapi dibentuk dari deskripsi terstruktur lebih seperti kalimat bahasa (lihat Pylyshyn 1981).tetapi hanya perlu menambahkan bahwa gambar-gambar ini bukan unit primitif yang disimpan dalam memori kita, tetapi dibentuk dari deskripsi terstruktur lebih seperti kalimat-kalimat suatu bahasa (lihat Pylyshyn 1981).tetapi hanya perlu menambahkan bahwa gambar-gambar ini bukan unit primitif yang disimpan dalam memori kita, tetapi dibentuk dari deskripsi terstruktur lebih seperti kalimat-kalimat suatu bahasa (lihat Pylyshyn 1981).

Pencarian untuk peran yang berbeda dari diagram telah mengarahkan para peneliti untuk mengeksplorasi perbedaan di antara berbagai bentuk representasi eksternal atau internal, dan terutama antara representasi diagram dan sentensial. Banyak hasil penting telah dihasilkan dalam sains kognitif. Mulai dari studi kasus klasik Larkin dan Simon (1987) untuk menggambarkan perbedaan antara kesetaraan informasi dan komputasi antara sistem representasi, karya Lindsay menempatkan di mana perbedaan komputasi terletak, yang ia sebut sebagai metode 'non-deduktif'. Seperti yang ditunjukkan secara singkat di atas, proses inferensi ini disebut 'perjalanan bebas' oleh Barwise dan Shimojiima (1995), yaitu, jenis inferensi di mana kesimpulannya tampaknya dibaca secara otomatis dari representasi bangunan. Dalam Gurr, Lee, dan Stenning (1998) dan Stenning dan Lemon (2001),ada penjelasan tentang keunikan inferensi diagram dalam hal tingkat 'keterusterangan' interpretasi, dan dikatakan bahwa sifat ini relatif, dan karenanya "beberapa wahana lebih murah daripada yang lain". Memiliki peran grafik dalam pikiran, Wang dan Lee (1993) menyajikan kerangka kerja formal sebagai pedoman untuk bahasa visual yang benar. Pada titik ini, kami sangat dekat dengan aspek-aspek terapan penelitian dalam teori desain-penalaran multi-modal dan penelitian AI-dengan menyediakan disiplin ilmu ini dengan dukungan komputasi untuk penalaran visual. Wang dan Lee (1993) menyajikan kerangka kerja formal sebagai pedoman untuk bahasa visual yang benar. Pada titik ini, kami sangat dekat dengan aspek-aspek terapan penelitian dalam teori desain-penalaran multi-modal dan penelitian AI-dengan menyediakan disiplin ilmu ini dengan dukungan komputasi untuk penalaran visual. Wang dan Lee (1993) menyajikan kerangka kerja formal sebagai pedoman untuk bahasa visual yang benar. Pada titik ini, kami sangat dekat dengan aspek-aspek terapan penelitian dalam teori desain-penalaran multi-modal dan penelitian AI-dengan menyediakan disiplin ilmu ini dengan dukungan komputasi untuk penalaran visual.

Terkait dengan masalah representasi mental imajistik adalah pemeriksaan semantik dari berbagai sistem diagram dan apa yang dapat mereka ajarkan tentang sifat bahasa secara umum (misalnya, Goodman 1968). Sebagai contoh, Robert Cummins (1996), antara lain, berpendapat bahwa terlalu sedikit perhatian telah diberikan pada representasi diagram dan bahwa fokus pada gagasan "representasi struktural" lebih mirip dengan representasi diagram dapat membantu menjelaskan sifat representasi itu sendiri. Kami percaya bahwa pertimbangan yang disajikan di atas memberi kami beberapa pegangan empiris pada jenis klaim ini setidaknya - tergantung pada objek dan hubungan imajiner yang digunakan, pola inferensi yang salah harus dapat diprediksi dan terdeteksi. Artikel penting, jika sedikit diketahui, pada tema ini adalah Malinas 1991. Di sini Malinas mengeksplorasi konsep representasi bergambar dan "kebenaran dalam" gambar melalui gagasan kemiripan, dan mempertimbangkan berbagai teka-teki semantik tentang representasi bergambar. Ia mengembangkan “Tesis Pusat” Peacocke tentang penggambaran (Peacocke 1987), di mana mengalami kesamaan antara sifat-sifat objek bergambar dan referensi mereka di bidang visual memunculkan hubungan penggambaran. Dia kemudian memberikan semantik formal untuk gambar yang "analog dengan semantik untuk bahasa yang ideal".di mana kesamaan yang dialami antara sifat-sifat objek gambar dan referensi mereka di bidang visual memunculkan hubungan penggambaran. Dia kemudian memberikan semantik formal untuk gambar yang "analog dengan semantik untuk bahasa yang ideal".di mana kesamaan yang dialami antara sifat-sifat objek gambar dan referensi mereka di bidang visual memunculkan hubungan penggambaran. Dia kemudian memberikan semantik formal untuk gambar yang "analog dengan semantik untuk bahasa yang ideal".

Ringkasan

Kami mulai dengan memotivasi minat filosofis diagram, dengan cara peran mereka dalam penalaran manusia dan hubungannya dengan studi bahasa secara umum, dan pemrosesan informasi multi-modal. Kami kemudian menjelaskan pertukaran antara kekuatan ekspresif dan kejernihan visual sistem diagram, dengan memeriksa perkembangan historis sistem diagram dari Euler dan Venn, melalui karya Peirce, hingga karya terbaru oleh Shin dan Hammer. Dikatakan bahwa sistem diagram dapat diberikan status logis yang sama dengan kalkulus bukti linear tradisional. Kami kemudian menjelaskan beberapa perangkap potensial dari representasi dan penalaran diagram, dengan memeriksa batasan spasial pada sistem diagram dan bagaimana mereka dapat mempengaruhi ketepatan dan daya ekspresif. Kami menutup dengan mensurvei sistem diagram lain,minat pada diagram yang dihasilkan dalam ilmu komputer dan ilmu kognitif, dan memberikan pengantar perdebatan citra dalam filsafat pikiran.

Bibliografi

Referensi

  • Allwein, G. dan J. Barwise (eds.), 1996, Penalaran Logis dengan Diagram, Oxford: Oxford University Press.
  • Avigad, J. dengan E. Dean dan J. Mumma, 2009, "Sistem formal untuk Elemen Euclid", Review of Symbolic Logic, 2: 700-768.
  • Barker-Plummer, D. dan S. Bailin, 1997, “Peran Diagram dalam Bukti Matematika”, Machine GRAPHICS and VISION, 6 (1): 25–56. (Edisi Khusus tentang Representasi dan Penalaran Diagram)
  • Barker-Plummer, D., D. Beaver, J. van Benthem, dan P. Scotto di Luzio, 2002, Words, Proofs, and Diagram, Stanford: CSLI Publications.
  • Barwise, J., 1993, "Penalaran heterogen", di G. Mineau, B. Moulin, dan J. Sowa, (eds), ICCS 1993: Grafik Konseptual untuk Representasi Pengetahuan (Catatan Kuliah dalam Inteligensi Buatan: Volume 699), Berlin: Springer Verlag, hlm. 64–74.
  • Barwise, J. dan J. Etchemendy, 1989, "Informasi, Infons, dan Inferensi", dalam Cooper, Mukai, dan Perry, (eds), Teori Situasi dan Penerapannya, volume 1, Stanford: Publikasi CSLI.
  • –––, 1991, “Informasi Visual dan Penalaran Valid”, dalam Zimmerman dan Cunningham, (eds), Visualisasi dalam Pengajaran dan Pembelajaran Matematika, halaman 9-24. Washington: Asosiasi Matematika Amerika.
  • –––, 1993, Bahasa Logika Orde Pertama, Stanford: Publikasi CSLI.
  • –––, 1994, Hyperproof, Stanford: CSLI Publications.
  • –––, 1995, “Heterogeneous Logic”, di J. Glasgow, N. Hari Narayanan, dan B. Chandrasekaran, (eds), Diagrammatic Reasoning: Perspektif Kognitif dan Komputasi, halaman 209–232. Cambridge, MA: AAAI Press / The MIT Press.
  • Barwise, J. dan A. Shimojima, 1995, "Penalaran Wajar", Studi Kognitif: Buletin Masyarakat Ilmu Kognitif Jepang, 4 (2): 7-27.
  • Berkeley, G., 1710, Prinsip-prinsip pengetahuan manusia, dalam David Armstrong (ed.), Berkeley's Philosophical Writings, London: Macmillian, 1965.
  • Block, N., (ed.), 1981, Imagery, Cambridge, MA: MIT Press.
  • –––, 1983, “Gambar mental dan ilmu kognitif”, The Philosophical Review, 92: 499–541
  • Booch, G., J. Rumbaugh, dan I. Jacobson, 1999, The Manual Unified Modeling Language Reference, Reading, Mass.: Addison-Wesley.
  • Coecke, B. dan Kissinger, A., 2017, Memotret Proses Kuantum. Kursus Pertama dalam Teori Quantum dan Penegaran Diagram, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Carroll, L., 1896, Symbolic Logic, New York: Dover.
  • Chandrasekaran, B., J. Glasgow, dan N. Hari Narayanan, (eds.), 1995, Diagrammatic Reasoning: Perspektif Kognitif dan Komputasi, Cambridge, MA: AAAI Press / The MIT Press.
  • Cummins, R., 1996, Representasi, Sasaran, dan Sikap, Cambridge, MA: MIT Press.
  • De Toffoli, S., 2017, “Mengejar Diagram - Penggunaan Visualisasi dalam Penalaran Aljabar”, Tinjauan Logika Simbolik, 10 (1): 158–186.
  • De Toffoli, S. dan Giardino, V., 2014, “Bentuk dan Peran Diagram dalam Teori Knot”, Erkenntnis, 79 (4): 829–842.
  • Dennett, D., 1981, “Sifat gambar dan jebakan introspektif”, dalam Block 1981, hlm. 87–107.
  • Englebretsen, G., 1992, “Diagram Linear untuk Silogisme (dengan Relationals)”, Jurnal Notre Dame dari Formal Logic, 33 (1): 37-69.
  • Euclid, The Thirteen Books of the Elements (edisi kedua, Vol. I – III), New York, NY: Dover Publications, 1956. Diterjemahkan dengan pengantar dan komentar oleh Sir Thomas L. Heath, dari teks Heiberg.
  • Euler, L., 1768, Lettres à une Princesse d'Allemagne, St. Petersburg; l'Academie Imperiale des Sciences.
  • Fodor, J., 1981, "Representasi imajistik", dalam Block 1981, hlm. 63-86.
  • Frege, G., 1879, Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle am See: Louis Nebert
  • Friedman, M., 2012, "Kant pada geometri dan intuisi spasial", Synthese, 186: 231–255.
  • Gardner, M., 1958, Logic Machines and Diagram, Sussex: Harvester Press.
  • Goodman, N., 1968, Languages of Art: pendekatan terhadap teori simbol, London: Oxford University Press.
  • Greaves, M., 2002, Status Diagram Filsafat, Stanford: Publikasi CSLI.
  • Grigni, M., D. Papadias, dan C. Papadimitriou, 1995, "Topological Inference", dalam Konferensi Gabungan Internasional tentang Kecerdasan Buatan (IJCAI '95), halaman 901–907, Cambridge, MA: AAAI Press.
  • Gurr, C., J. Lee, dan K. Stenning, 1998, "Teori penalaran diagram: Membedakan masalah komponen", Minds and Machines, 8: 533-555.
  • Halimi, B., 2012, "Diagram sebagai Sketsa", Synthese, 186 (1): 387-409.
  • Hamami Y. dan Mumma J., 2013, "Prolegomena untuk Investigasi Kognitif Penalaran Diagram Euclidean", Jurnal Bahasa, Logika dan Informasi, 22 (4): 421-448.
  • Hammer, E., 1995a, "Penalaran dengan Kalimat dan Diagram", Jurnal Notre Dame Formal Logic, 35 (1): 73-87.
  • Hammer, E. dan S. Shin, 1998, “Logika Visual Euler”, Sejarah dan Filsafat Logika, 19: 1–29.
  • Harel, D., 1988, "On Visual Formalisms", Communications of the ACM, 31 (5): 514-530.
  • Howell, R., 1976, "Gambar Biasa, Representasi Mental, dan Bentuk Logis", Synthese, 33: 149–174.
  • Jamnik, M., 2001, Penalaran Matematika dengan Diagram, Stanford: Publikasi CSLI.
  • Jamnik, M., A. Bundy, dan I. Green, 1999, “Tentang Mengotomasi Bukti Diagrammatic dari Argumen Arithmentik”, Jurnal Logika, Bahasa, dan Informasi, 8 (3): 297–321.
  • Kant, I., 1781, Kritik Alasan Murni, diterjemahkan dan diedit oleh P. Guyer dan A. Wood, Cambridge: Cambridge University Press, 1998.
  • Kauffman, L. 1991, Knot dan Fisika, Singapura: World Scientific.
  • Kosslyn, S., 1980, Image and Mind, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1994, Image and Brain: resolusi debat citra, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Lambert, JH, 1764, Neues Organon, Berlin: Akademie Verlag, 1990.
  • Larkin, J. dan H. Simon, 1987, "Mengapa Diagram (Terkadang) Senilai 10.000 Kata", Cognitive Science, 11: 65–99.
  • Leibniz, G., 1704, Esai Baru Mengenai Pemahaman Manusia, LaSalle: Open Court Publishing, 1949.
  • Lemon, O., 2002, "Membandingkan Khasiat Bahasa Visual", dalam Barker-Plummer et al. (eds.), 2002, hlm. 47–69.
  • Lemon, O., M. de Rijke, dan A. Shimojima, 1999, “Efficacy of Diagrammatic Reasoning” (Editorial), Jurnal Logika, Bahasa, dan Informasi, 8 (3): 265–271.
  • Lemon, O. dan I. Pratt, 1997, “Logika Spasial dan Kompleksitas Penalaran Diagram,” Mesin Grafik dan Visi, 6 (1): 89–108, 1997. (Edisi Khusus tentang Representasi dan Penalaran Diagrammatik).
  • –––, 1998, “Tentang kekurangan diagram linier untuk silogisme”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 39 (4): 573–580.
  • Malinas, G., 1991, “A Semantics for Pictures”, Jurnal Filsafat Kanada, 21 (3): 275–298.
  • Manders, K., 2008 [1995], "Diagram Euclidean", dalam Filsafat Praktek Matematika, P. Mancosu (ed.), Oxford: Clarendon Press, 2008, hlm. 112–183. (Pertama diedarkan sebagai manuskrip pada tahun 1995.)
  • Miller, Nathaniel, 2007, Euclid dan Saingan Abad Kedua Puluhnya: Diagram dalam Logika Geometri Euclidean, (Studi CSLI dalam Teori dan Aplikasi Diagram), Stanford: Publikasi CSLI.
  • –––, 2006, “Kompleksitas komputasi dari kepuasan diagram dalam geometri Euclidean”, Journal of Complexity, 22: 250-74.
  • Morrow, G., 1970, Proclus: Sebuah komentar pada buku pertama Euclid's Elements, Princeton: Princeton University Press, 1970.
  • Mumma, J., 2010, "Bukti, Gambar dan Euclid", Synthese, 175 (2): 255–287.
  • Narayanan, N., 1993, "Mengambil masalah / forum: Debat citra ditinjau kembali", Computational Intelligence, 9 (4): 303-435.
  • Pasch, M., 1882, Vorlesungen über neuere Geometrie, Teubner: Leipzig.
  • Peacocke, C., 1987, "Penggambaran", The Philosophical Review, 96: 383-410
  • Peirce, CS, 1933, Collected Papers, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Pylyshyn, Z., 1981, "Pencitraan dan Kecerdasan Buatan", dalam N. Block, (ed.), Bacaan dalam Philosophy of Psychology, volume 2, halaman 170–196. Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Roberts, D., 1973, Grafik Eksistensial Charles S. Peirce, Den Haag: Mouton.
  • Russell, B., 1923, “Vagueness”, dalam J. Slater, (ed.), Esai tentang Bahasa, Pikiran, dan Materi: 1919–26 (The Collected Papers of Bertrand Russell), halaman 145–154. London: Unwin Hyman.
  • Schlimm, D., 2010, “Filsafat matematika Pasch”, Review of Symbolic Logic, 3 (1): 93–118.
  • Shabel, L., 2003, Matematika dalam Kant's Philosophy Philosophy: Refleksi pada Praktek Matematika, New York: Routledge.
  • Shepard, R. dan J. Metzler, 1971, "Rotasi mental objek tiga dimensi", Science, (171): 701–3.
  • Shimojima, A., 1996a, On Efficacy of Representation, Ph. D. tesis, Universitas Indiana.
  • –––, 1999, “Representasi Melestarikan Kendala”, dalam L. Moss, J. Ginzburg, dan M. de Rijke, (eds), Logika, Bahasa dan Perhitungan: Volume 2, Catatan Kuliah CSLI # 96, halaman 296– 317. Stanford: Publikasi CSLI.
  • Shin, S., 1994, Status Logika Diagram, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 2003, The Iconic Logic of Peirce's Graphs, Cambridge: MIT Press (Bradford).
  • –––, 2015, “Misteri Pengurangan dan Aspek Representasi Diagrammatik”, Tinjauan Filsafat dan Psikologi: Representasi Gambar dan Spasial, 6: 49–67.
  • Sloman, A., 1971, "Interaksi antara filsafat dan AI: Peran intuisi dan penalaran non-logis dalam intelijen", dalam Prosiding Konferensi Internasional Bersama Kedua tentang Kecerdasan Buatan, Los Altos, California.: Morgan Kaufmann.
  • –––, 1985, “Mengapa kita memerlukan banyak formalisme representasi pengetahuan”, dalam M. Bramer, (ed.), Penelitian dan Pengembangan Sistem Pakar, halaman 163–183.
  • –––, 1995, “Renungan tentang peran representasi logis dan nonlogis dalam intelijen”, dalam Chandrasekaran et al., 1995, hlm. 7–32.
  • Sober, E., 1976, “Representasi Mental”, Synthese, 33: 101–148
  • Sowa, J., 1984, Struktur Konseptual: Pemrosesan Informasi dalam Pikiran dan Mesin, London: Addison Wesley.
  • Stenning, K., 1999, "Tinjauan Das Spiel der Logik, oleh Lewis Carrol", Journal of Symbolic Logic, 64: 1368–1370.
  • Stenning, K. dan O. Lemon, 2001, "Menyelaraskan Perspektif Logika dan Psikologis pada Diagrammatic Reasoning", Artificial Intelligence Review, 15 (1-2): 29-62. (Dicetak ulang dalam Berpikir dengan Diagram, Kluwer, 2001.)
  • Tye, M., 1991, Debat Citra, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Venn, J., 1881, Symbolic Logic, London: Macmillan.
  • Wang, D. dan J. Lee, 1993, “Penalaran Visual: Semantik dan Aplikasi Formalnya”, Jurnal Bahasa dan Komputasi Visual, 4: 327–356.
  • Wittgenstein, L., 1921, Tractatus Logico-Philosophicus, B. Pir dan B. McGuinness (trans), London: Routledge & Kegan Paul, 1961
  • Zeman, J., 1964, Logika Grafis CS Peirce, Ph. D. tesis, Universitas Chicago.

Sastra yang Relevan

  • Barwise, J. dan E. Hammer, 1994, "Diagram dan Konsep Sistem Logika", di Gabbay, D. (ed.), Apa Itu Sistem Logika? New York: Oxford University Press.
  • Hammer, E., 1995b, Informasi Logika dan Visual, Studi Logika, Bahasa, dan Komputasi. Stanford: Publikasi CSLI dan FoLLI.
  • –––, 1998, “Semantik untuk Grafik Eksistensial”, Journal of Philosophical Logic, 27: 489-503
  • Hammer, E. dan S. Shin, 1996, "Euler dan Peran Visualisasi dalam Logika", dalam Seligman, J. dan Westerståhl, D. (eds), Logika, Bahasa dan Perhitungan: Volume 1, Catatan Kuliah CSLI Catatan 58, halaman 271–286. Stanford: Publikasi CSLI.
  • Kneale, W., dan Kneale, M., 1962, Pengembangan Logika, Oxford: Clarendon Press.
  • Lemon, O., 1997, "Tinjauan Logika dan Informasi Visual, oleh EM Hammer", Jurnal Logika, Bahasa, dan Informasi, 6 (2): 213-216.
  • Roberts, D., 1992, "Grafik Eksistensial Charles S. Peirce", Komputer dan Matematika. Berlaku, (23): 639-663.
  • Shimojima, A., 1996b, "Hambatan operasional dalam penalaran diagram", dalam J. Barwise dan G. Allwein, (eds), Penalaran Logis dengan Diagram, New York: Oxford University Press, halaman 27-48.
  • –––, 1996c, “Penalaran dengan Diagram dan Batasan Geometrik”, dalam Seligman, J. dan Westerståhl, D. (eds), Logika, Bahasa dan Perhitungan: Volume 1, Catatan Kuliah CSLI # 58, halaman 527–540. Stanford, CSLI Publications.
  • Shin, S., 1991, "A Situation-Theoretic Account of Valid Reasoning with Venn Diagram", dalam J. Barwise, J. Gawron, G. Plotkin, dan S. Tutiya, (eds), Teori Situasi dan Aplikasinya: Volume 2, Catatan Kuliah CSLI # 26, halaman 581–605. Stanford: Publikasi CSLI.
  • –––, 1999, “Menyusun Kembali Grafik Beta ke dalam Sistem yang Efisien”, Jurnal Logika, Bahasa, dan Informasi, 8: 273–295.
  • –––, 2000, “Menghidupkan Ikonisitas Grafik Beta”, dalam Anderson, Cheng, dan Haarslev, (eds), Teori dan Aplikasi Diagram, halaman 58–73. Springer-Verlag.
  • –––, 2002a, The Iconic Logic of Peirce's Graphs, Cambridge, MA: MIT Press.
  • –––, 2002b, “Bacaan Berganda dari Grafik Alpha Peirce”, dalam M. Anderson, B. Meyer, dan P. Olivier, (eds), Representasi dan Penalaran Diagrammatik, London: Springer-Verlag, hlm. 297–314.
  • Sowa, J., 2000, Representasi Pengetahuan: Logical, Philosophical, Foundations Computational, Belmont, CA: Brooks / Cole.
  • Stenning, K., 2002, Seeing Reason: gambar dan bahasa dalam belajar berpikir, Oxford: Oxford University Press.
  • Stenning, K. dan J. Oberlander, 1995, "Teori Kognitif dari Penalaran Grafis dan Linguistik: Logika dan Implementasi", Cognitive Science, 19 (1): 97-140.
  • Tufte, E., 1983, Tampilan Visual Informasi Kuantitatif, Connecticut: Graphics Press.
  • –––, 1990, Informasi Membayangkan, Connecticut: Graphics Press.

Alat Akademik

ikon sep man
ikon sep man
Cara mengutip entri ini.
ikon sep man
ikon sep man
Pratinjau versi PDF dari entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Internet Ontology Philosophy Project (InPhO).
ikon makalah phil
ikon makalah phil
Bibliografi yang disempurnakan untuk entri ini di PhilPapers, dengan tautan ke basis datanya.

Sumber Daya Internet lainnya

  • Grafik Eksistensial (Peirce's MS 514 dengan komentar oleh John Sowa).
  • Tampilan Visual Edward Tufte.
  • Sebuah Survei Venn Diagram (University of Victoria, Frank Ruskey).
  • Peneliti tentang Diagrammatic Reasoning, hasil pencarian di Google Cendekia.
  • Diagram 2018, Konferensi internasional tentang teori dan penerapan diagram.