Ramsey Dan Ekonomi Kesejahteraan Antar Generasi

Daftar Isi:

Ramsey Dan Ekonomi Kesejahteraan Antar Generasi
Ramsey Dan Ekonomi Kesejahteraan Antar Generasi

Video: Ramsey Dan Ekonomi Kesejahteraan Antar Generasi

Video: Ramsey Dan Ekonomi Kesejahteraan Antar Generasi
Video: Ekonomi Indonesia Turun Kelas | Analisis 2024, Maret
Anonim

Navigasi Masuk

  • Isi Entri
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratinjau PDF Teman
  • Penulis dan Info Kutipan
  • Kembali ke atas

Ramsey dan Ekonomi Kesejahteraan Antar Generasi

Pertama diterbitkan Sat 1 Juni 2019

Bagaimana seharusnya kita membuat konsep kesejahteraan manusia dari waktu ke waktu dan lintas generasi? Bagaimana seharusnya kepentingan orang-orang di masa depan yang jauh diperhitungkan ketika kita membuat keputusan sendiri? Berapa banyak output yang harus diinvestasikan suatu negara untuk masa depan? Dalam aset apa investasi harus dilakukan? Apa yang harus menjadi keseimbangan antara investasi swasta, publik, dan komunitarian dalam investasi keseluruhan yang dihasilkan oleh satu generasi untuk masa depan? Berapa banyak yang harus dikeluarkan dunia dalam menghadapi perubahan iklim global?

Dalam sebuah makalah yang luar biasa, Frank Ramsey mengembangkan suatu kerangka kerja di mana masing-masing pertanyaan ini dapat dipelajari dalam bentuk yang tepat dan cukup mudah ditelusuri untuk memperoleh jawaban (Ramsey, 1928). Pendekatannya adalah menerapkan kalkulus Klasik-Utilitarian untuk mengidentifikasi kecocokan terbaik dari antara aliran utilitas yang dapat dicapai dan diinginkan dari waktu ke waktu dan lintas generasi. Meskipun sangat terkenal hari ini, koran itu tidak memiliki dampak awal. Beberapa ekonom telah menghubungkan kurangnya minat dengan karakter teknis kertas. Dalam menjawab pertanyaan yang diajukannya ("Berapa banyak output suatu negara yang seharusnya disimpan?"), Ramsey harus menggunakan kalkulus variasi. Tidak ada pertanyaan tetapi beberapa ekonom kemudian tahu teknis yang diperlukan. Tetapi sulit untuk membayangkan bahwa tidak ada ekonom yang mampu mempelajari matematika yang diperlukan seandainya mereka ingin melakukannya. Alasan ada sedikit minat pada kertas Ramsey terletak di tempat lain. Pada tahun-tahun setelah publikasi, periode yang sekarang dikenal sebagai The Great Depression, masalah ekonomi utama di negara-negara industri adalah menemukan cara untuk meningkatkan lapangan kerja. Pabrik berbaring diam, seperti yang dilakukan orang. Tingkat pengangguran di Eropa dan Amerika Serikat berada di wilayah 25%. Kebijakan yang diperlukan kemudian harus dilakukan dengan menciptakan insentif bagi pengusaha untuk mempekerjakan pekerja. Meskipun ada kontroversi di antara para ekonom tentang apa seharusnya kebijakan itu, tidak ada yang meragukan bahwa masyarakat industri menghadapi masalah jangka pendek. Sebaliknya, Ramsey menjawab pertanyaan yang melibatkan jangka panjang; dan, agar memiliki masalah yang tidak terurai untuk dianalisis, ia menganggapnya sebagai kenyataan bahwa ada pekerjaan penuh pada setiap tanggal baik modal dan tenaga kerja.

Dengan munculnya negara-negara pascakolonial setelah Perang Dunia Kedua, pembangunan ekonomi jangka panjang menjadi menonjol dalam studi ekonomi. Pada awal 1960-an, menjadi jelas bahwa makalah Ramsey adalah titik awal alami untuk mempelajari ekonomi kesejahteraan dalam jangka panjang, tidak hanya untuk mengejar pembangunan optimal di ekonomi yang direncanakan secara terpusat (Chakravarty, 1969), tetapi juga untuk digunakan dalam biaya sosial. analisis manfaat dari investasi publik dalam ekonomi campuran (Arrow dan Kurz, 1970), pilihan teknologi dalam ekonomi surplus tenaga kerja (Little dan Mirrlees, 1968, 1974), dan baru-baru ini, ekonomi kesejahteraan dari perubahan iklim (Cline, 1992; Nordhaus, 1994; Stern, 2007). Jumlah jalan yang dilalui Ramsey luar biasa. Dalam ekonomi akademik, ini adalah satu dari selusin makalah yang paling berpengaruh di abad ke-20.

Utilitarianisme Klasik mengambil yang baik menjadi nilai yang diharapkan dari jumlah utilitas dari waktu ke waktu dan lintas generasi (Sidgwick, 1907). Formulasi Ramsey dibangun di atas alasan moral itu. Dia bahkan menggunakan istilah "kenikmatan" untuk menafsirkan utilitas. Artikel tersebut mewujudkan semacam pertimbangan etis Sen dan Williams (1982) yang disebut "Government House Utilitarianism." Tetapi artikel Ramsey berkembang pesat saat ini karena Gedung Pemerintahan membutuhkan panduan etis yang bukan merupakan alat bantu bagi Pejabat yang dibayar untuk bertindak secara nepotistik, apalagi cara yang ganas, tetapi sebaliknya tidak memihak atas kebutuhan dan kepekaan masyarakat. Meskipun Ramsey menggunakan bahasa Utilitarian, pembacaan makalahnya yang murah hati mengatakan bahwa banyak yang akan diperoleh jika, alih-alih “kesenangan,” kami harus bekerja dengan gagasan yang lebih luas tentang “kesejahteraan.”Langkah semacam itu memungkinkan seseorang untuk memberi perhatian lebih besar pada faktor-faktor, baik material atau bukan, yang membuat kehidupan menjadi subur.

  • 1. Kemungkinan Produksi dalam Formulasi Ramsey
  • 2. Kalkulus Klasik-Utilitarian

    2.1. Pendiskontoan Nasib Baik di Masa Depan

  • 3. Masalah Hemat Optimal

    • 3.1 Utilitarianisme yang tidak didiskriminasikan
    • 3.2 Normalisasi Utilitarianisme yang Tidak Didiskontrakan
    • 3.3 Kriteria Menyalip
    • 3.4 Diskon Utilitarianisme
  • 4. Aturan Ramsey dan Ramifikasi nya

    • 4.1 Argumen Variasi
    • 4.2 Ketidaklengkapan dalam Analisis Ramsey
    • 4.3 Kondisi Transversalitas
    • 4.4 Perkiraan Angka dari Tingkat Tabungan Optimal
    • 4.5 Komentar
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Daya Internet lainnya
  • Entri terkait

1. Kemungkinan Produksi dalam Formulasi Ramsey

Tujuan Ramsey praktis: "Berapa banyak hasil suatu negara yang harus disimpan untuk masa depan?" Profil demografis dari waktu ke waktu diambil olehnya untuk diberikan, yang berarti bahwa jumlah orang di masa depan dipandang sebagai eksogen dan dapat diprediksi. Oleh karena itu kami membayangkan bahwa kebijakan ekonomi memiliki efek yang dapat diabaikan pada perilaku reproduksi (tetapi lihat Dasgupta, 1969, untuk studi tentang populasi gabungan / masalah penyelamatan, menggunakan Utilitarianisme Klasik sebagai prinsip pedoman). Parfit (1984) membaptis pilihan yang melibatkan profil demografis yang sama, "Pilihan Angka yang Sama."

Bahan-bahan teori Ramsey adalah makhluk seumur hidup individu. Government House di dunianya memaksimalkan jumlah yang diharapkan dari makhluk seumur hidup dari semua yang ada di sini hari ini dan semua yang akan dilahirkan, tergantung pada keterbatasan sumber daya. Distribusi optimal makhluk hidup seumur hidup dari generasi ke generasi berasal dari latihan pemaksimalan itu. Tentu saja, perjalanan waktu tidak sama dengan kemajuan generasi. Kesejahteraan seumur hidup individu adalah kumpulan dari aliran kesejahteraan yang dia alami, sementara kesejahteraan antar generasi adalah kelompok kehidupan semua makhluk yang muncul di tempat kejadian. Diragukan bahwa kedua kelompok unsur kehidupan harus memiliki bentuk fungsional yang sama. Di sisi lain, ada sedikit bukti yang menunjukkan bahwa kita akan jauh melenceng dengan asumsi mereka memiliki bentuk yang sama. Sebagai masalah etika praktis, sangat membantu untuk memperkirakan dengan tidak membedakan bentuk fungsional kesejahteraan seseorang dari waktu ke waktu dari kesejahteraan seluruh generasi. Ramsey mengadopsi jalan pintas ini. Orang-orang juga dianggap identik, jadi kami mungkin juga berasumsi bahwa ada satu individu pada setiap tanggal. Langkah ini menghilangkan perbedaan antara waktu dan generasi. Sebuah interpretasi alternatif akan membuat kita membayangkan bahwa ekonomi terdiri dari satu dinasti, di mana orang tua dalam setiap generasi meninggalkan warisan untuk anak-anak mereka (Meade, 1966, mengadopsi interpretasi ini). Ramsey juga berasumsi, mungkin karena matematika lebih sederhana, waktu itu adalah variabel kontinu, bukan diskrit.sangat membantu untuk memperkirakan dengan tidak membedakan bentuk fungsional kesejahteraan seseorang dari waktu ke waktu dari kesejahteraan lintas generasi. Ramsey mengadopsi jalan pintas ini. Orang-orang juga dianggap identik, jadi kami mungkin juga berasumsi bahwa ada satu individu pada setiap tanggal. Langkah ini menghilangkan perbedaan antara waktu dan generasi. Sebuah interpretasi alternatif akan membuat kita membayangkan bahwa ekonomi terdiri dari satu dinasti, di mana orang tua dalam setiap generasi meninggalkan warisan untuk anak-anak mereka (Meade, 1966, mengadopsi interpretasi ini). Ramsey juga berasumsi, mungkin karena matematika lebih sederhana, waktu itu adalah variabel kontinu, bukan diskrit.sangat membantu untuk memperkirakan dengan tidak membedakan bentuk fungsional kesejahteraan seseorang dari waktu ke waktu dari kesejahteraan lintas generasi. Ramsey mengadopsi jalan pintas ini. Orang-orang juga dianggap identik, jadi kami mungkin juga berasumsi bahwa ada satu individu pada setiap tanggal. Langkah ini menghilangkan perbedaan antara waktu dan generasi. Sebuah interpretasi alternatif akan membuat kita membayangkan bahwa ekonomi terdiri dari satu dinasti, di mana orang tua dalam setiap generasi meninggalkan warisan untuk anak-anak mereka (Meade, 1966, mengadopsi interpretasi ini). Ramsey juga berasumsi, mungkin karena matematika lebih sederhana, waktu itu adalah variabel kontinu, bukan diskrit.jadi kami dapat juga berasumsi bahwa ada satu individu pada setiap tanggal. Langkah ini menghilangkan perbedaan antara waktu dan generasi. Sebuah interpretasi alternatif akan membuat kita membayangkan bahwa ekonomi terdiri dari satu dinasti, di mana orang tua dalam setiap generasi meninggalkan warisan untuk anak-anak mereka (Meade, 1966, mengadopsi interpretasi ini). Ramsey juga berasumsi, mungkin karena matematika lebih sederhana, waktu itu adalah variabel kontinu, bukan diskrit.jadi kami dapat juga berasumsi bahwa ada satu individu pada setiap tanggal. Langkah ini menghilangkan perbedaan antara waktu dan generasi. Sebuah interpretasi alternatif akan membuat kita membayangkan bahwa ekonomi terdiri dari satu dinasti, di mana orang tua dalam setiap generasi meninggalkan warisan untuk anak-anak mereka (Meade, 1966, mengadopsi interpretasi ini). Ramsey juga berasumsi, mungkin karena matematika lebih sederhana, waktu itu adalah variabel kontinu, bukan diskrit.tidak diskrit.tidak diskrit.

Biarkan (t / ge 0) menunjukkan waktu. Dalam model Ramsey tidak ada ketidakpastian (tetapi lihat Levhari dan Srinivasan, 1969, untuk salah satu dari banyak ekstensi pertama dari model Ramsey yang menggabungkan ketidakpastian tentang kemungkinan masa depan). Ekonomi diberkahi dengan komoditas tunggal, yang tidak terdepresiasi yang dapat dikerjakan oleh tenaga kerja untuk menghasilkan output pada setiap tanggal (Gale, 1967, dan Brock, 1973, adalah di antara yang pertama dari banyak ekstensi model Ramsey yang berisi koleksi heterogen barang modal). Ekonomi diasumsikan tertutup untuk perdagangan internasional (membuka ekonomi untuk perdagangan hanya melibatkan perpanjangan kecil untuk model Ramsey). Itu berarti beberapa output dapat diinvestasikan untuk menambah stok komoditas sementara sisanya dapat dikonsumsi segera. Kami menyebut stok komoditas yang berfungsi untuk menghasilkan output, “modal.”Masalahnya kemudian adalah untuk menemukan alokasi output yang optimal pada setiap tanggal antara konsumsi dan investasi.

Ramsey menganggap pekerjaan itu tidak menyenangkan. Tetapi karena memasukkan disutilitas pekerjaan dalam akun kami tentang pekerjaannya di sini tidak akan menambahkan substansi apa pun, kami mengira bahwa pasokan tenaga kerja adalah konstanta yang diberikan secara eksogen (misalnya, tidak tergantung pada upah yang dapat diminta oleh pekerja). Itu memungkinkan kita untuk menekan pasokan tenaga kerja baik dalam produksi maupun faktor-faktor yang memengaruhi kesejahteraan.

Jika (K) adalah persediaan modal dari satu-satunya komoditas ekonomi, output dianggap (F (K)), di mana (F (0) = 0) (yaitu, output adalah nol jika tidak ada modal), (dF (K) / dK / gt 0) (yaitu, produk marginal modal adalah positif), dan (d ^ 2 F (K) / dK ^ 2 / le 0) (yaitu, produk marginal dari (K) tidak meningkat dengan (K)). (F (K)) adalah aliran (produksi pada saat tertentu), berbeda dengan (K), yang merupakan persediaan (jumlah modal, periode). Perhatikan juga bahwa output hanya bergantung pada persediaan modal. Tidak disebutkan tentang kemungkinan peningkatan kualitas modal atau tenaga kerja. Dengan demikian, tidak ada prospek kemajuan teknologi atau akumulasi modal manusia dalam model Ramsey (tetapi lihat Mirrlees, 1967,untuk salah satu dari banyak ekstensi pertama model Ramsey yang mencakup kemajuan teknologi dalam produksi dan pembentukan sumber daya manusia); juga tidak ada sumber daya alam dalam model (tetapi lihat Dasgupta dan Heal, 1974, untuk salah satu dari banyak ekstensi pertama dari model Ramsey yang memasukkan modal alam dalam produksi).

Biarkan (C (t)) menjadi konsumsi pada (t). Ini adalah aliran (unit konsumsi per momen). Demikian pula, kami menulis (K (t)) untuk persediaan modal di (t). Karena (dK (t) / dt) adalah tingkat perubahan dalam persediaan modal di (t), itu adalah "investasi bersih pada (t)," yang juga merupakan aliran. Dan karena persediaan modal diasumsikan tidak terdepresiasi, investasi bruto sama dengan investasi bersih.

Dalam model Ramsey, output yang diantisipasi pada setiap momen sama dengan jumlah investasi yang dimaksudkan dan konsumsi yang dimaksudkan. Niat selalu terwujud. Singkatnya, ekonomi berada dalam ekuilibrium pada setiap momen, yang merupakan cara lain untuk mengatakan bahwa pada setiap momen tabungan yang dimaksud sama dengan investasi yang dimaksudkan. (Asumsi tidak perlu penjelasan dalam model dengan agen tunggal, tetapi memiliki gigitan nyata di dunia di mana penabung tidak agen yang sama dengan investor.) Modal diasumsikan selalu sepenuhnya digunakan, dan tenaga kerja (yang tersembunyi dalam produksi fungsi (F (K))) diambil untuk digunakan sepenuhnya. Output pada (t) adalah (F (K (t))). Oleh karena itu ekonomi didorong oleh persamaan dinamis

) tag {1} frac {dK (t)} {dt} = F (K (t)) - C (t))

Persamaan (1) mengatakan bahwa jika konsumsi adalah (C (t)), investasi adalah apa yang tersisa dari output. Jadi, masalah Ramsey dapat dilemparkan dengan sama, "Berapa banyak output suatu negara yang harus dikonsumsi?" Jika konsumsi kurang dari output pada (t) (yaitu, (C (t) lt F (K (t))), investasi positif (yaitu, (dK (t) / dt / gt 0)) dan stok modal meningkat, tetapi jika konsumsi melebihi output pada (t), investasi negatif, yang berarti modal dimakan dan stok menurun (yaitu, (dK (t) / dt / lt 0).) Kita sekarang membayangkan bahwa Gedung Pemerintahan dinasehati oleh "warga negara yang peduli secara sosial," orang tersebut adalah seseorang yang berusaha menentukan keseimbangan yang tepat antara konsumsi dan investasi ekonomi pada setiap tanggal. Kita akan menyebut orang itu sebagai keputusan pembuat, atau DM Ramsey membayangkan bahwa DM adalah Utilitarian Klasik.

2. Kalkulus Klasik-Utilitarian

Utilitarianisme Klasik mengidentifikasi barang sebagai jumlah yang diharapkan dari kesejahteraan dari waktu ke waktu dan lintas generasi. Inilah Sidgwick (1907: 414) tentang masalah ini:

Tampaknya… jelas bahwa waktu di mana seseorang berada tidak dapat memengaruhi nilai kebahagiaannya dari sudut pandang universal; dan bahwa kepentingan keturunan harus memperhatikan Utilitarian seperti halnya orang-orang sezamannya, kecuali sejauh dampak tindakannya pada keturunan - dan bahkan keberadaan manusia yang akan terpengaruh - tentu harus lebih tidak pasti. (Miring ditambahkan)

Untuk memformalkan ini, kami mempertimbangkan tanggal arbitrer (t) di mana DM sedang mempertimbangkan. Biarkan (tau) menunjukkan tanggal tidak lebih awal dari (t) (yaitu, (tau / ge t)). Ramsey dianggap sebagai dunia deterministik, hidup tanpa batas (tetapi lihat Yaari, 1965, untuk yang pertama dari banyak ekstensi model Ramsey yang menggabungkan risiko kepunahan individu atau masyarakat). Kesejahteraan diasumsikan sebagai kuantitas numerik. Biarkan (U (t)) menjadi kesejahteraan pada (t), dan biarkan (V (t)) menjadi ukuran agregat dari aliran kesejahteraan lintas waktu dan generasi, sebagaimana dievaluasi pada waktu (t). Ramsey mengikuti Sidgwick dengan asumsi itu

) tag {2} V (t) = / int ^ { infty} _t [U (tau)] d / tau)

(V (t)) adalah kesejahteraan antar generasi pada (t). Karena dunia Ramsey bersifat deterministik, (V (t)) juga merupakan nilai yang diharapkan dari (V (t)). Jadi kriteria Sidgwick adalah (V (t)) dalam persamaan (2).

Kesejahteraan pada tanggal tertentu dianggap hanya sebagai fungsi konsumsi pada tanggal tersebut. Karena itu kami menulis (U (t) = U (C (t))). Ramsey berasumsi bahwa kesejahteraan marjinal adalah positif (yaitu, (dU (C) / dC / gt 0)) tetapi berkurang dengan meningkatnya tingkat konsumsi (yaitu, (d ^ 2 U (C) / dC ^ 2 / lt 0)). Properti terakhir menyiratkan bahwa (U (C)) adalah fungsi cekung ketat. (Edgeworth, 1885, telah merutekan gagasan bahwa kesejahteraan marjinal menurun dengan meningkatnya konsumsi.) Dengan demikian persamaan (2) dapat ditulis sebagai

) tag {3} V (t) = / int ^ { infty} _t [U (C (tau))] d / tau)

Utilitarianisme Klasik, sebagaimana tercermin dalam persamaan (3), mensyaratkan bahwa jika (U) adalah ukuran kesejahteraan secara numerik, maka demikian pula (alpha U + / beta), di mana (alpha) adalah angka positif dan (beta) adalah sejumlah dari kedua tanda. Secara formal, kami mengatakan bahwa (U) unik hingga "transformasi affine positif." Kami mengkonfirmasi saat ini bahwa rekomendasi teori tidak berubah di bawah transformasi tersebut.

2.1. Pendiskontoan Nasib Baik di Masa Depan

Dalam persamaan (3), nilai masa depan (U) tidak didiskon bila dilihat dari saat ini, (t). Langkah khusus ini telah memicu lebih banyak perdebatan di antara para ekonom dan filsuf daripada fitur lain dari teori Ramsey tentang penghematan optimal. Perdebatan ini kadang-kadang lebih buruk daripada yang biasa kita lakukan (lihat khususnya Nordhaus, 2007). Dengan risiko menggeneralisasi secara liar, para ekonom lebih menyukai penggunaan tingkat positif untuk mendiskontokan kesejahteraan masa depan (misalnya, Arrow dan Kurz, 1970), sedangkan para filsuf bersikeras bahwa kesejahteraan manusia di masa depan harus diberi bobot yang sama dengan bahwa orang-orang saat ini (misalnya, Parfit, 1984).

Seperti apakah Utilitarianisme Klasik dengan diskon positif untuk makhluk masa depan? Biarkan (delta / gt 0) menjadi tingkat yang diinginkan untuk mendiskontokan makhluk yang akan datang (untuk kesederhanaan kami menganggap tingkat diskonto menjadi konstan). Kemudian, di tempat persamaan (2) - (3), kesejahteraan antar generasi di (t), akan dibaca sebagai

) tag {4} begin {align} V (t) & = / int ^ { infty} _t [U (tau) e ^ {- / delta (tau -t)}] d / tau & = / int ^ { infty} _t [U (C (tau)) e ^ {- / delta (tau -t)}] d / tau, t / ge 0 \\ / end {align}]

Dalam persamaan (4), (delta) "tingkat diskonto waktu" dan (e ^ {- / delta}) menghasilkan "faktor diskonto waktu".

(delta / gt 0) menyiratkan (e ^ {- / delta} lt 1). Itu berarti (e ^ {- / delta (tau -t)}) cenderung nol secara eksponensial karena (tau) cenderung tanpa batas. Dalam bagian terakhir dari makalahnya Ramsey (1928: 553-555) memang menggunakan persamaan (4) untuk mempelajari masalah penghematan optimal, tetapi ia tidak menyetujui formulasi. Sebaliknya, ia menulis (hal. 543) bahwa untuk mendiskon nanti (dibandingkan) dengan yang sebelumnya adalah "… secara etis tidak dapat dipertahankan dan muncul hanya dari kelemahan imajinasi." Dalam sebuah buku yang meresmikan studi formal pembangunan ekonomi, Harrod (1948: 40) mengikutinya dengan menyebut praktik itu sebagai "… ekspresi sopan untuk kerapuhan dan penaklukan akal oleh nafsu."

Kata-kata yang kuat, tetapi bagi beberapa ekonom, penyempitan Ramsey-Harrod dalam dunia deterministik berbunyi seperti pengumuman hari Minggu. Solow (1974a: 9) mengungkapkan perasaan ini tepat ketika ia menulis, "Dalam konklaf yang khusyuk berkumpul, jadi untuk berbicara, kita harus bertindak seolah-olah [tingkat diskonto pada makhluk-makhluk masa depan] adalah nol."

Tetapi masalah ini tidak dapat diselesaikan tanpa studi kemungkinan produksi dan konsumsi terbuka untuk ekonomi. Pertimbangkan ketegangan berikut di antara dua kelompok pertimbangan:

  1. Tingkat konsumsi yang rendah dari generasi ke generasi yang cukup jauh di masa depan tidak akan dianggap sebagai hal yang buruk oleh DM saat ini jika makhluk di masa depan didiskon dengan tingkat positif. Jadi DM hari ini akan merekomendasikan tingkat konsumsi yang tinggi untuk saat ini dan dalam waktu dekat walaupun itu berarti generasi di masa depan yang jauh akan hidup dalam kemiskinan. Tetapi jika kebijakan seperti itu diikuti, tuntutan persyaratan moral lebih lanjut untuk Utilitarianisme Klasik yang mungkin dimiliki DM, yaitu, "keadilan antargenerasi," tidak akan terpenuhi. Karena itu kita harus mengikuti Ramsey dan tidak mengabaikan makhluk masa depan.
  2. Tulis (dF (K) / dK) sebagai (F_K). Dari persamaan (1) mudah untuk menyimpulkan bahwa (F_K) adalah tingkat pengembalian investasi. Dalam ekonomi Ramsey (F_K / gt 0), yang berarti setiap unit output yang disimpan menghasilkan lebih dari satu unit konsumsi masa depan, hal-hal lain sama. Sebagai contoh, jika DM mengurangi konsumsi pada (t) oleh sebuah unit, konsumsi tambahan yang akan tersedia dalam periode paling singkat nanti - kami menuliskannya sebagai (Delta t) - tanpa mempengaruhi konsumsi di setiap tanggal mendatang adalah (1+ [dF (K (t)) / dK (t)] Delta t). Produktivitas modal dengan demikian terikat pada panah waktu, yang menciptakan bias yang menguntungkan generasi mendatang. Bias ini menggigit pepatah, "Kita bisa melakukan sesuatu untuk anak cucu,tetapi apa yang dapat dilakukan anak cucu bagi kita? " Pikiran yang tak terhindarkan muncul bahwa mungkin bias harus dilawan dalam kalkulus DM jika perhatian diberikan pada keadilan antargenerasi dalam kesejahteraan terwujud sebagai pelengkap Utilitarianisme Klasik. Yang pada gilirannya menunjukkan bahwa DM harus meninggalkan Ramsey dan mendiskreditkan makhluk-makhluk masa depan pada tingkat yang positif.

Kekuatan setiap pertimbangan telah ditunjukkan dalam literatur ekonomi. Telah ditunjukkan dalam konteks model sederhana bahwa jika produksi memerlukan modal yang diproduksi dan sumber daya yang dapat habis, maka konsumsi optimal menurun menjadi nol dalam jangka panjang jika makhluk-makhluk masa depan didiskontokan pada tingkat positif (Dasgupta dan Heal, 1974), tetapi meningkat tanpa batas waktu jika kita mengikuti Ramsey dengan tidak mengabaikan kesejahteraan masa depan (Solow, 1974b). Latihan ini memberi tahu kita bahwa fitur jangka panjang dari kebijakan tabungan optimal tergantung pada besaran relatif dari tingkat di mana makhluk yang akan datang didiskon dan produktivitas jangka panjang dari aset modal.

Ada poin yang lebih umum di sini, yang dieksplorasi oleh Koopmans (1960, 1965, 1967, 1972) dalam serangkaian publikasi yang luar biasa tentang gagasan pembangunan ekonomi. Dalam latihan rumit seperti yang melibatkan konsumsi dan investasi dalam jangka waktu yang lama, adalah bodoh untuk menganggap prinsip etika apa pun (misalnya, Utilitarianisme Klasik) sebagai sesuatu yang sakral. Seseorang tidak akan pernah tahu sebelumnya apa yang mungkin terjadi. Taktik yang lebih bijaksana daripada Ramsey adalah untuk memainkan satu set asumsi etis terhadap yang lain di dunia yang tidak masuk akal, lihat apa implikasinya bagi distribusi kesejahteraan lintas generasi, dan kemudian naikkan ke indera intuitif kita sebelum berdebat. kebijakan. Menentukan ex ante apakah akan menggunakan tingkat positif untuk mendiskontokan makhluk-makhluk masa depan bisa menjadi langkah yang merugikan diri sendiri. [1]

3. Masalah Hemat Optimal

Ramsey dianggap sebagai dunia dengan masa depan yang tidak terbatas. Ini bisa terlihat sebagai langkah yang aneh, tetapi memiliki alasan kuat. Misalkan DM harus memilih cakrawala (T) tahun. Karena dia tidak tahu kapan dunia kita akan berakhir, dia akan ingin menentukan sumber daya yang harus ditinggalkan di (T) jika dunia tidak berakhir kemudian. Tetapi untuk menemukan justifikasi jumlah yang ditinggalkan di (T), DM akan membutuhkan penilaian dunia di luar (T). Namun, itu berarti termasuk dunia di luar (T). Dan seterusnya.

Nyatakan aliran konsumsi dari sekarang ((t = 0)) hingga tak terbatas sebagai ({C (t) }.) (K (0) gt 0) membatasi perekonomian; itu adalah jumlah modal yang diwarisi masyarakat dari masa lalu. Matematikawan akan menyebut (K (0)) "kondisi awal." Masalah yang Ramsey atur sendiri adalah untuk menentukan aliran konsumsi ({C (t) }) dari 0 hingga tak terbatas yang akan dipilih DM jika ia seorang Utilitarian Klasik.

3.1 Utilitarianisme yang tidak didiskriminasikan

Sebut aliran konsumsi ({C (t) }) layak jika memenuhi persamaan (1) dengan kondisi awal (K (0)). Dalam dunia deterministik Ramsey, rumusan Utilitarian Klasik tentang masalah penghematan nasional optimal pada tanggal (t = 0) adalah sebagai berikut:

“Dari sekumpulan semua aliran konsumsi yang layak, temukan bahwa ({C (t) }) yang memaksimalkan

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t))] dt.”)

Kami akan menyebut masalah pengoptimalan ini, Ramsey Mark I.

Ada kesulitan serius dengan Ramsey Mark I: tidak koheren. Jumlah tak terbatas tidak selalu bertemu. Untuk setiap ({C (t) }) yang integral tak terhingga tidak menyatu, (V (0)) tidak ada. Jika integral adalah non-konvergen untuk setiap aliran konsumsi yang layak ({C (t) }), masalah maksimalisasi tidak ada artinya: Seseorang tidak dapat memaksimalkan sesuatu yang tampaknya merupakan fungsi bernilai nyata (V (0)) padahal sebenarnya fungsinya tidak ada.

Kekuatan pengamatan ini dapat dilihat di

Contoh 1 (dikaitkan dengan David Gale)

Misalkan sebagai kasus khusus ekstrem dari ekonomi Ramsey, (F (K) = 0) untuk semua (K / ge 0). Kemudian persamaan (1) direduksi menjadi

) tag {5} frac {dK (t)} {dt} = - C (t))

Ekonomi yang dijelaskan dalam persamaan (5) terdiri dari sepotong kue yang tidak rusak, dengan ukuran (K (0) gt 0) pada tanggal awal. Jelas bahwa setiap aliran konsumsi ({C (t) }) persamaan yang memuaskan (5) cenderung nol dalam jangka panjang. Secara formal, (C (t) rightarrow 0) sebagai (t / rightarrow / infty).

Karena fungsi (U) - yang unik hingga transformasi affine positif, kita dapat tanpa kehilangan generalitas menormalkannya sehingga (U (0) ne 0). Maka jelas bahwa untuk semua layak ({C (t) }), (V (0)) dalam Ramsey Mark I menyimpang ke minus tanpa batas jika (U (0) lt 0), tetapi menyimpang ke ditambah tanpa batas jika (U (0) gt 0). Bahwa kebijakan optimal tidak ada dalam model makan kue dapat dilihat jika kita sekarang ingat bahwa (U (C)) telah diasumsikan benar-benar cekung. Asumsi ini menyiratkan bahwa distribusi konsumsi non-egaliter di antara generasi dapat ditingkatkan dengan redistribusi yang sesuai. Distribusi ideal adalah konsumsi yang sama untuk semua generasi. Satu-satunya aliran konsumsi dengan properti yang terakhir adalah (C (t) = 0) untuk semua (t). Tapi itu distribusi terburuk yang mungkin terjadi. QED

3.2 Normalisasi Utilitarianisme yang Tidak Didiskontrakan

Muncul pertanyaan apakah ada keadaan di mana ada aliran konsumsi terbaik meskipun (V (0)) tidak bertemu untuk semua aliran konsumsi. Ramsey merumuskan pertanyaan dengan mengubah cara masalah penyelamatan diajukan.

Bayangkan bahwa kesejahteraan dibatasi di atas tidak peduli seberapa besar konsumsi terjadi. Biarkan (U) menjadi ukuran numerik kesejahteraan yang dipilih DM untuk bekerja dengannya. (Semua transformasi affine positif dari (U) akan menjadi langkah yang sama-sama sah untuk kesejahteraan.) Biarkan (B) menjadi batas atas terendah (U). Ramsey membaptisnya "Bliss". Karena tingkat pengembalian atas investasi ((F_K)) dalam modelnya adalah positif, konsumsi akan tumbuh tanpa batas waktu dan cenderung tak terbatas dalam jangka panjang jika tingkat tabungan dipilih dengan tepat. Itu berarti ada kemungkinan jalur pembangunan ekonomi di mana (U (C (t))) cenderung (B) dalam jangka panjang. Tapi itu menyiratkan ada kemungkinan jalur pembangunan ekonomi di mana jatuhnya (U (C (t)))) dari (B) cenderung nol dalam jangka panjang. Jika jatuh pendek cenderung ke nol cukup cepat,integral tak terdiskonto dari perbedaan antara (U (C (t))) dan (B) akan ada, dan DM dapat berupaya untuk memaksimalkan integral yang dimodifikasi. Jadi kita punya Ramsey Mark II, yang berbunyi

“Dari sekumpulan semua aliran konsumsi yang layak, temukan bahwa ({C (t) }) yang memaksimalkan

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t)) - B] dt.”)

Perhatikan bahwa Mark II adalah transformasi dari Mark I. Jumlah transformasi untuk menormalkan kembali kriteria optimalitas. Tidak hanya perpindahan dari Mark I ke Mark II pada bagian Ramsey yang cerdik, juga menunjukkan integritas moralnya. Akan cukup mudah baginya untuk meminta DM sebagai gantinya diskon konsumsi di masa depan dan memperluas kisaran keadaan di mana Utilitarianisme memberikan jawaban untuk masalah yang berusaha dipecahkan oleh DM. Dia memilih untuk tidak melakukan itu.

Intuisi Ramsey dalam bergerak dari Mark I ke Mark II sangat kuat, tetapi dalam sebuah makalah yang memprakarsai literatur modern tentang masalah Ramsey, Chakravarty (1962) mengamati bahwa untuk bergantung secara eksklusif pada kondisi yang Ramsey telah identifikasi diperlukan untuk aliran konsumsi untuk. menjadi yang optimal (lihat di bawah) dapat menyebabkan hasil yang absurd (lihat di bawah, Bagian 4). Akibatnya Chakravarty mengamati bahwa integral tak terbatas, bahkan ketika dilemparkan dalam bentuk yang dinormalisasi ulang di Ramsey Mark II, tidak perlu konvergen ke nilai-nilai yang terbatas.

3.3 Kriteria Menyalip

Apa yang diperlukan adalah untuk mengaitkan pertanyaan apakah integral kesejahteraan yang tak terbatas bertemu dari pertanyaan apakah aliran konsumsi optimal ada. Wawasan itu diberikan oleh Koopmans (1965) dan von Weizsacker (1965). Pernyataan ulang penulis yang terakhir tentang masalah penghematan optimal adalah sebagai berikut:

Kami mengatakan bahwa aliran konsumsi yang layak ({C ^ * (t) }) lebih unggul daripada aliran konsumsi yang layak ({C (t) }) jika ada (T / gt 0) sedemikian rupa sehingga untuk semua (t / ge T),) tag {6} int ^ t_0 [U (C ^ * (s))] ds / ge / int ^ t_0 [U (C))] ds)

Kami memanggil ({C ^ * (t) }) optimal jika lebih unggul dari semua aliran konsumsi layak lainnya.

Kondisi yang direpresentasikan dalam ketimpangan (6) dikenal sebagai Overtaking Criterion (OC), karena memang itulah. OC menghindari menanyakan apakah integral di kedua sisi ketidaksetaraan (6) bertemu sebagai (t / rightarrow / infty). Jika mereka melakukannya, OC berkurang menjadi Utilitarianisme Klasik. Tetapi OC mampu menanggapi masalah tabungan Ramsey dalam kelas situasi yang lebih luas. Dalam karyanya Koopmans (1965) mengidentifikasi model ekonomi kanonik di mana fungsi (U) - terikat di atas dan di mana Ramsey Mark II setara dengan masalah optimasi yang diajukan dalam hal OC.

Apa yang harus kita lakukan dengan etika mengabaikan makhluk hidup generasi masa depan? Ramsey (1928) mulai dengan mengabaikannya tetapi kemudian mempelajarinya di ujung kertasnya. DM tentu saja dapat membenarkan diskon kesejahteraan masa depan jika ada kemungkinan kepunahan di masa depan. Sidgwick (1907) sendiri mencatat bahwa dalam perikop yang dikutip sebelumnya. Jika Utilitarianisme Klasik diambil untuk memuji jumlah yang diharapkan dari makhluk-makhluk baik, maka "tingkat bahaya" pada tanggal (t) (yaitu, probabilitas kepunahan pada tanggal (t) tergantung pada masyarakat yang bertahan sampai (t)) akan muncul dalam ekspresi untuk kesejahteraan yang diharapkan sebagai tingkat diskonto untuk kesejahteraan di (t). Pertanyaannya tetap apakah Utilitarianisme Klasik akan bersikeras untuk tidak mendiskon utilitas di masa depan dalam dunia deterministik.

Dalam sepasang karya yang luar biasa, Koopmans (1960, 1972) mengungkap kontradiksi internal dalam penalaran etis dalam dunia deterministik dalam Ramsey Mark I dan Ramsey Mark II. Dia (dan selanjutnya Diamond, 1965) menunjukkan bahwa jika persyaratan normatif yang relatif lemah diberlakukan pada konsep kesejahteraan antar generasi dalam dunia deterministik, perlakuan yang sama terhadap fungsi (U) - fungsi lintas generasi harus ditinggalkan. Kita beralih ke itu sekarang.

3.4 Diskon Utilitarianisme

Ini terjadi matematika jauh lebih sederhana jika, alih-alih mengasumsikan waktu terus menerus, waktu dianggap diskrit. Jadi kita sekarang mengasumsikan bahwa (t = 0,1,2, / ldots). Asumsikan juga bahwa kesejahteraan antar generasi pada (t = 0) dapat diukur dalam bentuk fungsi numerik (V). Idenya adalah untuk memerlukan fungsi, yang didefinisikan pada aliran kesejahteraan tak terbatas, untuk memenuhi properti yang mencerminkan arahan etis.

Biarkan ({U (t) }) menjadi aliran kesejahteraan tanpa batas, yaitu, ({U (t) } = (U (0), U (1), / ldots, U (t), / ldots)). Kami mengatakan (V ({U (t) })) kontinu jika dalam arti matematis yang sesuai nilai (V) untuk aliran kesejahteraan ({U (t) })) yang tidak berbeda jauh dalam ruang ({U (t) }) s saling berdekatan. Kondisi lebih lanjut pada fungsi (V) - yang menarik secara etis adalah "monotonisitas". Untuk mendefinisikan gagasan tersebut, mari kita katakan aliran kesejahteraan “unggul” kepada yang lain jika tidak ada generasi yang menikmati kesejahteraan kurang dari yang sebelumnya dibandingkan sepanjang yang terakhir dan jika ada setidaknya satu generasi yang menikmati kesejahteraan yang lebih besar di masa lalu. dari pada yang terakhir. Kami mengatakan bahwa (V) adalah monoton jika (V) lebih besar untuk aliran kesejahteraan daripada yang lain jika yang pertama lebih unggul dari yang terakhir.

Kedua sifat itu menarik. Sekalipun demikian, urutan leksikografis, tidak ada argumen yang meyakinkan terhadap kontinuitas. Tentu saja Rawls (1972) menempatkan aturan-aturan prioritas dan urutan leksikografis pada objek-objek yang menarik dalam konsepsinya tentang keadilan yang menyertai mereka sebagai pusat teorinya, tetapi itu telah terbukti merupakan salah satu gerakannya yang paling kontroversial. Kekayaan dan kedalaman analisisnya tidak akan berkurang jika pengorbanan kecil diterima antara objek keadilan. Dan sulit untuk menemukan alasan melawan monotonitas. Bahkan Rawls, yang karyanya sangat mengarah ke keadilan distributif, bersikeras monotonisitas.

Tetapi dapat ditunjukkan bahwa setiap fungsi (V) - yang memenuhi kontinuitas dan monotonitas harus memiliki diskon generasi yang tercakup di dalamnya. Tampaknya bilangan real tidak cukup kaya untuk mengakomodasi aliran kesejahteraan tak terbatas dengan cara yang menghormati kontinuitas dan monotonisitas sembari menghadiahkan makhluk-makhluk dari semua generasi dengan bobot yang sama. Bukti proposisi ada di Diamond (1965), dan dikaitkan oleh penulis dengan Menahem Yaari. Jadi sekarang kami memperkenalkan diskon kesejahteraan positif dalam fungsi (V) - dan merumuskan Ramsey Mark III.

Kembali sekali lagi ke formulasi di mana waktu kontinu. Seperti sebelumnya, kita katakan aliran konsumsi ({C (t) }) layak jika memenuhi persamaan (1) dengan stok modal awal (K (0)). Ramsey Mark III (Ramsey, 1928, 553–555) adalah:

“Dari sekumpulan semua aliran konsumsi yang layak, temukan bahwa ({C (t) }) yang memaksimalkan

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t)) e ^ {- / delta t}] dt, / delta / gt 0. ")

Dalam Markus III tingkat diskonto (delta) adalah konstanta positif. Itu berarti faktor diskon yang sesuai (e ^ {- / delta}) kurang dari 1. Yang terakhir pada gilirannya dapat ditunjukkan berarti bahwa dalam berbagai model ekonomi (e ^ {- / delta t}) cenderung nol dengan kecepatan sangat cepat sehingga Mark III memiliki jawaban.

Biarkan ({C ^ * (t) }) menjadi solusi Ramsey Mark III. Secara heuristik sangat berguna untuk membayangkan bahwa ada DM pada setiap tanggal. Ukuran kesejahteraan antar generasi untuk DM pada tanggal (t) adalah (V (t)) dari persamaan (4). Perhatikan bahwa pandangan etis DM berturut-turut adalah sama dan sebangun satu sama lain. Dengan demikian tidak perlu bagi DM untuk membuat “kontrak antargenerasi”. DM pada setiap tanggal akan ingin memilih tingkat konsumsi yang dianggapnya optimal, sadar bahwa DM yang berhasil akan memilih sesuai dengan apa yang telah ia rencanakan untuk mereka. Dalam bahasa teori permainan modern, aliran konsumsi optimal Ramsey ({C ^ * (t) }) adalah keseimbangan "non-kooperatif" (Nash) di antara DM.

4. Aturan Ramsey dan Ramifikasi nya

Kita sekarang membangun versi informal dari argumen variasional yang digunakan Ramsey untuk menentukan ({C ^ * (t) }) dalam Markus III. Secara longgar, DM membutuhkan tingkat marginal dari substitusi etis yang acuh tak acuh antara konsumsi pada dua periode waktu singkat untuk menyamakan tingkat marginal di mana konsumsi dapat diubah antara pasangan yang sama dari periode waktu singkat. Kesetaraan mereka (yaitu, keseimbangan yang tepat dari antara "keinginan" dan "layak") adalah properti yang diperlukan dari aliran konsumsi yang optimal.

Ramsey membuat ekspresi matematis dari properti tersebut, tetapi tidak mencari kondisi yang, jika digabungkan, diperlukan dan memadai. Kami akan menggunakan contoh sederhana, yang juga ada di makalahnya, untuk menunjukkan bagaimana kondisi yang cukup dapat diperoleh.

4.1 Argumen Variasi

Tuliskan (dU / dC = U_C) dan (d ^ 2 U / dC ^ 2 = U_ {CC}.) Biarkan ({C (t) }) menjadi aliran konsumsi yang layak. Kami pertama-tama menyimpulkan ekspresi formal untuk tingkat marginal dari substitusi etis yang acuh tak acuh antara konsumsi pada dua periode waktu singkat. Misalkan tujuannya adalah untuk mengurangi konsumsi di masa mendatang (t) dengan jumlah kecil (Delta C (t)) dan meningkatkan konsumsi pada tanggal terdekat (t + / Delta t) sambil tetap menjaga konsumsi sama sekali tanggal lainnya sama dengan di ({C (t) }). Hilangnya kesejahteraan yang akan terjadi setelah pindah adalah (e ^ {- / delta t} U_ {C (t)} Delta C (t)). Kami sekarang berusaha untuk menentukan persentase peningkatan konsumsi yang akan diperlukan pada (t + / Delta t) jika (V (0)) akan tetap tidak berubah; karena itulah tingkat marjinal dari substitusi yang berbeda secara etis antara konsumsi pada (t) dan konsumsi pada (t + / Delta t). Nyatakan nilai itu dengan (varrho (t)). Maka (varrho (t)) harus menjadi tingkat persentase di mana kesejahteraan marjinal diskon menurun pada (t). Ini juga berarti bahwa (varrho (t)) adalah tingkat yang digunakan DM pada (t = 0) untuk mendiskon unit konsumsi pada (t) sehingga dapat membawanya ke masa kini (karena itulah yang dimaksud dengan tingkat persentase di mana diskon kesejahteraan marjinal menurun pada (t) - untuk demonstrasi formal, lihat Dasgupta, 2008). Beberapa ekonom menyebut (varrho (t)) tingkat bunga konsumsi (Little dan Mirrlees, 1974), yang lain menyebutnya tingkat sosial diskon (Arrow dan Kurz, 1970). (varrho (t)) adalah objek mendasar dalam analisis biaya-manfaat sosial. Ini juga berarti bahwa (varrho (t)) adalah tingkat yang digunakan DM pada (t = 0) untuk mendiskon unit konsumsi pada (t) sehingga dapat membawanya ke masa kini (karena itulah yang dimaksud dengan tingkat persentase di mana diskon kesejahteraan marjinal menurun pada (t) - untuk demonstrasi formal, lihat Dasgupta, 2008). Beberapa ekonom menyebut (varrho (t)) tingkat bunga konsumsi (Little dan Mirrlees, 1974), yang lain menyebutnya tingkat sosial diskon (Arrow dan Kurz, 1970). (varrho (t)) adalah objek mendasar dalam analisis biaya-manfaat sosial. Ini juga berarti bahwa (varrho (t)) adalah tingkat yang digunakan DM pada (t = 0) untuk mendiskon unit konsumsi pada (t) sehingga dapat membawanya ke masa kini (karena itulah yang dimaksud dengan tingkat persentase di mana diskon kesejahteraan marjinal menurun pada (t) - untuk demonstrasi formal, lihat Dasgupta, 2008). Beberapa ekonom menyebut (varrho (t)) tingkat bunga konsumsi (Little dan Mirrlees, 1974), yang lain menyebutnya tingkat sosial diskon (Arrow dan Kurz, 1970). (varrho (t)) adalah objek mendasar dalam analisis biaya-manfaat sosial. Beberapa ekonom menyebut (varrho (t)) tingkat konsumsi bunga (Little dan Mirrlees, 1974), yang lain menyebutnya tingkat diskonto sosial (Arrow dan Kurz, 1970). (varrho (t)) adalah objek mendasar dalam analisis biaya-manfaat sosial. Beberapa ekonom menyebut (varrho (t)) tingkat konsumsi bunga (Little dan Mirrlees, 1974), yang lain menyebutnya tingkat diskonto sosial (Arrow dan Kurz, 1970). (varrho (t)) adalah objek mendasar dalam analisis biaya-manfaat sosial.

Biarkan (Delta) menjadi semakin kecil. Kemudian, menurut definisi

) tag {7} varrho (t) = - [d (e ^ {- / delta t} U_ {C (t)}) / dt] / e ^ {- / delta t} U_ {C (t)})

Sehingga untuk menyederhanakan notasi, biarkan (g (C (t))) menunjukkan tingkat persentase pertumbuhan dalam (C (t)) (yaitu (g (C (t)) = = dC (t) / dt] / C (t)), yang bisa negatif), dan biarkan (sigma (C)) menunjukkan elastisitas kesejahteraan marjinal (yaitu, (sigma (C) = -CU_ { CC} / U_C / gt 0)). Persamaan (7) kemudian disederhanakan menjadi

) tag {8} varrho (t) = / delta + / sigma (C (t)) g (C (t)))

Karena ({C ^ * (t) }) adalah dengan asumsi yang optimal, tidak ada penyimpangan yang layak dari ({C ^ * (t) }) dapat meningkat (V (0)). Itu berarti tingkat konsumsi bunga ((varrho (t))) harus sama dengan tingkat pengembalian sosial atas investasi ((F_ {K (t)})) di setiap (t). Untuk mengetahui alasannya, anggaplah dalam beberapa interval waktu yang sangat kecil (F_ {K (t)} gt / varrho (t)). Maka (V (0)) dapat ditingkatkan dengan mengkonsumsi unit lebih sedikit pada (t) dan menikmati kembalinya ((1 + F_ {K (t)})) segera setelah itu. Atau, jika (F_ {K (t)} lt / varrho (t), V (0)) dapat ditingkatkan dengan mengkonsumsi unit lebih banyak pada (t) dan mengurangi konsumsi segera setelah dengan jumlah yang sama dengan pengembalian ((1 + F_ {K (t)})). Tetapi itu berarti tingkat konsumsi bunga (varrho (t)) sama dengan tingkat pengembalian sosial (F_ {K (t)}) sepanjang ({C ^ * (t) }) di setiap kencan. Menggunakan persamaan (8) yang kita miliki,) tag {9} delta + / sigma (C (t)) g (C (t)) = F_ {K (t)})

Persamaan (9) adalah Aturan Ramsey. Ini adalah kondisi yang diperlukan untuk optimalitas di Ramsey Mark III dan tidak diragukan lagi persamaan paling terkenal dalam ekonomi kesejahteraan antarwaktu. Aturannya adalah pernyataan formal tentang persyaratan ({C ^ * (t) }), bahwa tingkat substitusi marjinal antara konsumsi pada dua tanggal terdekat (sisi kiri persamaan 9) sama dengan tingkat transformasi marjinal antara konsumsi pada pasangan yang sama dari tanggal terdekat (sisi kanan persamaan (9). Sangat mudah untuk mengkonfirmasi bahwa persamaan (9) tidak berubah di bawah transformasi affine positif dari (U)-fungsi.

4.2 Ketidaklengkapan dalam Analisis Ramsey

Saat ini kami akan menetapkan fungsi (U) - yang (sigma) tidak tergantung dari (C). Untuk saat ini kami hanya mengira bahwa (sigma) adalah konstan. Dalam hal itu, Aturan Ramsey dibaca sebagai

) tag {10} delta + / sigma g (C (t)) = F_ {K (t)})

Dalam Ramsey Mark III, (K (0)) diberikan sebagai warisan dari masa lalu. Itu berarti (F_ {K (0)}) diberikan sebagai kondisi awal, itu bukan pilihan untuk DM pada (t = 0). Selain itu (delta) dan (sigma) adalah parameter, keduanya mencerminkan nilai etika. DM karena itu dapat menentukan (g (C (0))) dari persamaan (10). Tetapi itu adalah tingkat persentase pertumbuhan konsumsi yang optimal pada tanggal awal. Aturan Ramsey memberikan DM persamaan untuk menentukan tingkat pertumbuhan awal konsumsi, tetapi tidak mengatakan apa tingkat konsumsi awal seharusnya. Di bawah ini kami tunjukkan melalui contoh bahwa ada tak terbatas jalur konsumsi yang layak memuaskan Peraturan Ramsey. Oleh karena itu DM pada (t = 0) membutuhkan kondisi lebih lanjut untuk menentukan (C ^ * (0)).

Contoh 2 (ekonomi linier)

Menganggap

) begin {align} tag {11a} F (K) & = / mu K, / mu / gt 0 \\ / tag {11b} U (C) & = - C ^ {- (sigma -1)}, / sigma / gt 1 / end {align})

Dari persamaan (11a) berikut bahwa (F_K = / mu), yang berarti tingkat pengembalian investasi adalah konstan. Dari persamaan (11b) dapat disimpulkan bahwa (sigma) adalah elastisitas kesejahteraan marginal. Perhatikan juga bahwa (U (C) rightarrow - / infty) sebagai (C / rightarrow 0) dan bahwa, di bawah normalisasi pilihan fungsi (U) -, (U (C) rightarrow) 0) sebagai (C / rightarrow / infty). Menggunakan persamaan (11a) dalam persamaan (1) menghasilkan,) tag {12} frac {dK (t)} {dt} = / mu K (t) - C (t))

Tulis (m = (mu - / delta) / / sigma). Menerapkan persamaan (11a-b) ke persamaan (10) akan mengurangi Aturan Ramsey

) tag {13} frac {dC (t)} {dt} = [(mu - / delta) / / sigma] C (t) = mC (t))

Persamaan (13) mengatakan bahwa jika (mu / lt / delta, C (t)) menurun menjadi 0 pada tingkat eksponensial. Secara empiris, case yang dapat dijeda untuk dipertimbangkan adalah (mu / gt / delta), yang akan kita lakukan di sini. Ini berarti bahwa tingkat pengembalian atas investasi ((mu)) melebihi tingkat di mana waktu diskon ((delta)). Dan itu pada gilirannya berarti (m / gt 0). Mengintegrasikan persamaan (13) menghasilkan

) tag {14} C (t) = C (0) e ^ {mt})

Persamaan (14) mengatakan (C (t)) tumbuh secara eksponensial pada laju (m). Kami mengkonfirmasi ulang suatu poin yang dibuat sebelumnya, bahwa meskipun persamaan (14) mengungkapkan tingkat pertumbuhan konsumsi optimal pada tanggal awal (yaitu, (t = 0)), itu tidak mengungkapkan tingkat konsumsi awal (yaitu, (C (0))). Itulah ketidakpastian dalam Aturan Ramsey.

Cara paling sederhana untuk menentukan konsumsi awal optimal, (C ^ * (0)), adalah dengan mengamati dari persamaan (14) bahwa jika (C ^ * (t)) tumbuh tanpa batas pada laju (m), jadi seharusnya (K (t)) diminta untuk tumbuh pada tingkat yang sama. Alasannya adalah bahwa jika tingkat pertumbuhan (K (t)) menjadi kurang dari (m), modal akan dimakan, yang berarti stok akan habis dalam waktu yang terbatas. Ekonomi kemudian akan berhenti ada ((V (0)) akan menjadi minus tak terhingga jika lintasan ekonomi masa depan akan demikian.) Jika di sisi lain tingkat pertumbuhan (K (t)) jika melebihi (m), akan terjadi akumulasi modal yang berlebihan, dalam arti konsumsi akan lebih rendah pada setiap tanggal daripada yang seharusnya. Situasi akan menyerupai situasi di mana DM membuang sebagian dari persediaan modal awal (K (0)) dan kemudian menetapkan perilaku menabung yang memenuhi Peraturan Ramsey.

Pertumbuhan eksponensial dalam ekonomi linear kita (mis. 11a) memberi tahu kita bahwa tingkat tabungan harus konstan. Mari kita tentukan tingkat tabungan, (s), sebagai proporsi output (PDB) yang diinvestasikan setiap saat. Kemudian persamaan (1) dapat ditulis ulang sebagai

) tag {15} frac {dK (t)} {dt} = s / mu K (t))

Persamaan (15) mengatakan bahwa tabungan yang dimaksudkan sama dengan investasi yang dimaksudkan. Mengintegrasikan persamaan (15) menghasilkan

) tag {16} K (t) = K (0) e ^ {s / mu t})

Tapi kami bersikeras bahwa keduanya (K (t)) dan (C (t)) harus tumbuh pada tingkat yang sama. Oleh karena itu, persamaan (14) dan (16) menyiratkan

) tag {17} m = / frac { mu - / delta} { sigma} = s / mu)

Tingkat penghematan dalam persamaan (17) adalah yang optimal. Jadi kami menulisnya sebagai (s ^ *). Jadi

) tag {18} s ^ * = / frac {m} { mu} = / frac { mu - / delta} { sigma / mu} lt 1)

Persamaan (16) - (18) memberi tahu kita bahwa laju pertumbuhan konsumsi yang optimal, (g ^ *), adalah

) tag {19} g ^ * = / frac { mu - / delta} { sigma} gt 0)

Perhatikan juga bahwa jika (delta = 0), persamaan (18) berkurang menjadi

) tag {20} s ^ * = / frac {1} { sigma})

Persamaan (20) menawarkan jawaban yang disederhanakan sebagai anggun karena mungkin ada pertanyaan dengan mana Ramsey memulai makalahnya.

4.3 Kondisi Transversalitas

Teknologi linier (mis. 11a) dan fungsi iso-elastis (U) - (mis. 11b) memungkinkan kita untuk segera mengetahui bahwa jika aliran konsumsi yang memuaskan Peraturan Ramsey adalah optimal, baik modal dan konsumsi harus tumbuh pada tingkat eksponensial yang sama, (m). Mengidentifikasi kondisi yang cukup untuk optimalitas dalam model yang lebih umum jauh lebih sulit. Yang kita butuhkan adalah kondisi pada fitur jangka panjang dari aliran konsumsi yang memuaskan Peraturan Ramsey yang dapat memastikan itu adalah yang optimal. von Weizsacker (1965) menunjukkan bahwa kondisi yang disyaratkan berkaitan dengan perilaku jangka panjang dari nilai sosial modal yang terkait dengan aliran konsumsi. Kami sekarang memformalkan kondisinya.

Biarkan (U) menjadi unit akun. Pertimbangkan aliran konsumsi ({C (t) }). Oleh karena itu (U_ {C (t)}) adalah nilai sosial dari unit konsumsi marjinal. Tulis (P (t)) untuk (U_ {C (t)}. P (t)) disebut harga akuntansi konsumsi (tempat). Karena (e ^ {- / delta t} P (t)) adalah nilai diskon dari (P (t)), itu disebut harga akuntansi konsumsi saat ini. Jika ({C (t) }) memenuhi Aturan Ramsey dalam Mark III, (e ^ {- / delta t} P (t)) juga merupakan harga akuntansi nilai sekarang dari unit modal persediaan. von Weizsacker (1965) menunjukkan bahwa kondisi yang cukup untuk optimalitas ({C (t) }) adalah (e ^ {- / delta t} P (t) K (t) K (t) rightarrow A) sebagai t (rightarrow / infty), di mana (A) adalah angka non-negatif (terbatas). Dalam kata kata,syarat yang diperlukan dan cukup untuk ({C (t) }) untuk menjadi optimal adalah (i) memenuhi persyaratan Ramsey, dan (ii) bahwa nilai sekarang dari persediaan modal ekonomi terbatas.. Kondisi (ii), yang secara luas dikenal sebagai "kondisi transversalitas," menghilangkan aliran konsumsi yang layak yang memenuhi Peraturan Ramsey tetapi sepanjang itu ada penghematan yang berlebihan. Perhitungan sederhana menegaskan bahwa dalam Contoh 2 kondisi transversalitas terpenuhi jika tingkat tabungan adalah (s ^ *) (mis. 18). Perhitungan sederhana menegaskan bahwa dalam Contoh 2 kondisi transversalitas terpenuhi jika tingkat tabungan adalah (s ^ *) (mis. 18). Perhitungan sederhana menegaskan bahwa dalam Contoh 2 kondisi transversalitas terpenuhi jika tingkat tabungan adalah (s ^ *) (mis. 18).

4.4 Perkiraan Angka dari Tingkat Tabungan Optimal

Persamaan (18) mengatakan bahwa (s ^ *) adalah fungsi yang meningkat dari pengembalian investasi ((mu)), fungsi penurunan tingkat waktu diskon ((delta)), dan fungsi penurunan elastisitas kesejahteraan marginal ((sigma)). Masing-masing properti ini jelas secara intuitif:

(1) Semakin tinggi tingkat pengembalian investasi ((mu)), semakin besar keuntungan generasi mendatang dari peningkatan marjinal dalam tabungan oleh generasi awal. Itu mengatakan tingkat optimal penghematan harus menjadi fungsi peningkatan (mu), hal-hal lain sama.

(2) Semakin besar nilai tingkat diskonto waktu ((delta)) yang dipilih oleh DM, semakin rendah bobot yang ia berikan untuk kesejahteraan generasi mendatang. Itu menyiratkan tingkat konsumsi optimal yang lebih tinggi untuk generasi awal (Bagian 2.1), yang pada gilirannya menyiratkan bahwa tingkat penghematan optimal lebih rendah, hal-hal lain sama.

(3) Karena pengembalian investasi adalah positif ((mu / gt 0)), panah waktu menampilkan bias yang mendukung generasi mendatang (Bagian 2.1). Tetapi yang lebih besar adalah nilai yang dipilih dari (sigma), semakin banyak DM menunjukkan kekhawatiran atas ekuitas dalam konsumsi lintas generasi. Oleh karena itu, semakin besar perhatiannya, semakin tinggi tingkat konsumsi optimal untuk dinikmati oleh generasi awal. Jadi kita harus mengharapkan tingkat optimal penghematan menjadi fungsi penurunan (sigma), hal-hal lain sama.

Ini adalah instruktif untuk mempertimbangkan angka-angka bergaya untuk parameter di sisi kanan persamaan (18) dan (19), masing-masing. Meskipun bergaya, mereka adalah angka untuk pasangan parameter etika (sigma) dan (delta) yang diasumsikan oleh para ekonom yang telah menulis tentang ekonomi perubahan iklim dalam pekerjaan mereka. Yang pasti, ekonomi kesejahteraan dari perubahan iklim telah menuntut model yang lebih rumit daripada model yang direpresentasikan dalam persamaan (1) dan (11a), tetapi seperti yang kami tegaskan di bawah, ia tidak menawarkan wawasan teoritis tambahan. Dalam apa yang kita ikuti kita mengambil satu tahun untuk menjadi satuan waktu dan menganggap itu (mu = 0,05) (yaitu, 5% setahun). Sepanjang optimal, tingkat konsumsi bunga sama dengan tingkat pengembalian investasi (Aturan Ramsey), yang berarti bahwa tingkat konsumsi bunga optimal sama dengan 5% konstan per tahun.

Angka 5% setahun untuk (mu) menyiratkan rasio modal-output ((1 / / mu)) 20 tahun, yang jauh lebih tinggi dari perkiraan rasio modal-output dari antar-industri studi yang telah dilakukan oleh para ekonom di berbagai belahan dunia (Behrman, 2001); angka representatif untuk 1 / (mu) dalam literatur itu adalah 3 tahun. Tetapi perkiraan mereka didasarkan pada definisi "modal" yang terbatas pada modal "yang diproduksi", seperti pabrik, jalan, pelabuhan, dan bangunan. Modal manusia (pendidikan, kesehatan, pengetahuan) hilang dari mereka, demikian juga modal alam (ekosistem, sumber daya sub-tanah). Model Ramsey, sebagaimana dirangkum dalam persamaan (11a), mencakup semua bentuk barang modal. Tidak diragukan lagi formulasinya memerlukan pencapaian agregasi yang heroik (baca, mustahil!), Tetapi ketika semua barang modal yang masuk produksi diperhitungkan,kita harus mengharapkan rasio modal-output agregat (yang kita sebut rasio kekayaan-output (inklusif)), akan jauh lebih tinggi dari 3 tahun; bahkan mungkin lebih tinggi dari 20 tahun (Arrow et al., 2012, 2013). Kategori besar barang modal tidak ada dalam neraca ekonomi nasional yang menginformasikan pemahaman para ekonom tentang kemungkinan produksi dan konsumsi (Dasgupta, 2019). Dengan demikian tampaknya masih ada jalan panjang yang harus ditempuh sebelum kita dapat mencapai perkiraan yang baik tentang apa yang seharusnya kita wariskan kepada keturunan kita. Kategori besar barang modal tidak ada dalam neraca ekonomi nasional yang menginformasikan pemahaman para ekonom tentang kemungkinan produksi dan konsumsi (Dasgupta, 2019). Dengan demikian tampaknya masih ada jalan panjang yang harus ditempuh sebelum kita dapat mencapai perkiraan yang baik tentang apa yang seharusnya kita wariskan kepada keturunan kita. Kategori besar barang modal tidak ada dalam neraca ekonomi nasional yang menginformasikan pemahaman para ekonom tentang kemungkinan produksi dan konsumsi (Dasgupta, 2019). Dengan demikian tampaknya masih ada jalan panjang yang harus ditempuh sebelum kita dapat mencapai perkiraan yang baik tentang apa yang seharusnya kita wariskan kepada keturunan kita.

Contoh 3 (diambil dari ekonomi perubahan iklim)

Kita sekarang mengalihkan perhatian kita pada nilai-nilai dari dua parameter etis dalam persamaan (11b) yang dipilih oleh tiga ekonom dalam studi mereka tentang ekonomi perubahan iklim.

) begin {align} tag * {Cline (1992)} sigma = 1.5 / quad & / text {and} quad / delta = 0 \\ / tag * {Nordhaus (1994)} sigma = 1 / quad & / text {and} quad / delta = 0,03 / text {(3% setahun)} / \ tag * {Stern (2007)} sigma = 1 / quad & / text {dan} quad / delta = 0,001 / text {(0,1% setahun)} end {align})

(NB: (sigma = 1) sesuai dengan fungsi kesejahteraan logaritmik, yaitu (U (C) =) log (C), dan dapat diperoleh sebagai batas bentuk fungsional dari (U (C)) dalam persamaan (11b) sebagai (sigma / rightarrow 1.))

Kami memaksakan nilai parameter tersebut untuk menemukan bahwa tingkat penghematan optimal (s ^ *) (mis. 18) dan tingkat pertumbuhan konsumsi optimal (mis. 19), pada gilirannya:

) begin {align} tag {21a} s ^ * = 67 \% / quad & / text {and} quad g ^ * = 3.3 \% / text {setahun (Klein)} / \ tag { 21b} s ^ * = 40 \% / quad & / text {dan} quad g ^ * = 2.0 \% / text {setahun (Nordhaus)} / \ tag {21c} s ^ * = 98 \% / quad & / text {and} quad g ^ * = 4.9 \% / text {setahun (Stern)} end {align})

4.5 Komentar

Tingkat tabungan nasional sebesar 40% (mis. 21b) tidak diragukan lagi tinggi menurut standar ekonomi barat kontemporer, tetapi ada negara yang dalam beberapa tahun terakhir telah mencapai tingkat penghematan 40-45% (Cina adalah contoh yang menonjol). Angka 67% untuk (s ^ *) (mis. 21a) lebih tinggi dari tingkat tabungan di negara mana pun, tetapi tidak melampaui keyakinan. Angka yang benar-benar aneh adalah 98% (mis. 21c). Itu aneh terutama karena angka tersebut adalah tingkat tabungan optimal tidak peduli seberapa kecil (K (0)) terjadi. Diakui, model di sini (Persamaan. 11a-b) secara fenomenal bergaya, tetapi itu memunculkan tajam pengamatan Koopmans (1965), bahwa bodoh untuk menganggap (delta = 0) (atau mendekati 0) tanpa terlebih dahulu memeriksa kemungkinan konsekuensinya untuk distribusi kesejahteraan lintas generasi.

Persamaan (19) telah menunjukkan bahwa tingkat pertumbuhan konsumsi optimal dibatasi di atas oleh (mu), yang menjelaskan mengapa (g ^ *) kurang dari 5% setahun untuk masing-masing dari tiga spesifikasi parametrik yang kita miliki dipertimbangkan. Spesifikasi datang dari tiga studi dalam ekonomi kesejahteraan perubahan iklim global, di mana penulis bekerja dengan model yang jauh lebih kompleks daripada Ramsey. Namun temuan mereka persis apa yang akan dirumuskan oleh formulasinya (Dasgupta, 2008), yaitu, bahwa hal-hal lain sama, semakin rendah nilai yang dipilih dari (delta) dan / atau semakin besar kerusakan pada masa depan dengan baik- menjadi yang diperkirakan disebabkan oleh perubahan iklim global, semakin besar tingkat investasi yang DM sarankan untuk mencegah perubahan iklim atau melunakkan efek perubahan itu pada kesejahteraan manusia. Perdebatan yang sering melengking (misalnya, Nordhaus,2007) tentang sejauh mana investasi global harus diarahkan untuk mengurangi efek buruk perubahan iklim didorong oleh perbedaan dalam spesifikasi model di antara para ekonom perubahan iklim.

Teknologi linier (mis. 11a) dan fungsi iso-elastis (U) - (mis. 11b), ketika diambil bersama-sama, telah menawarkan wawasan mendalam meskipun kami telah membatasi diskusi untuk perhitungan pena-dan-kertas di sini. Bentuk-bentuk fungsional tidak dapat dipercaya; Namun, Ramsey memanfaatkannya. Makalahnya menunjukkan bahwa model yang disederhanakan luar biasa, asalkan konstruksi mereka didukung oleh intuisi yang kuat, dapat menerangi pertanyaan yang tampaknya mustahil untuk dibingkai, apalagi untuk menjawab secara kuantitatif. Itu telah menjadi hadiah Ramsey untuk ekonomi teoretis.

Bibliografi

  • Arrow, KJ, P. Dasgupta, LH Goulder, KJ Mumford, dan K. Oleson (2012), “Keberlanjutan dan Pengukuran Kekayaan,” Ekonomi Lingkungan dan Pembangunan, 17 (3), 317–355.
  • ––– (2013), “Keberlanjutan dan Pengukuran Kekayaan: Refleksi Lebih Lanjut,” Ekonomi Lingkungan dan Pembangunan, 18 (4), 504–516.
  • Arrow, KJ dan M. Kurz (1970), Investasi Publik, Tingkat Pengembalian dan Kebijakan Fiskal Optimal (Baltimore: Johns Hopkins University Press).
  • Behrman, JR (2001), "Ekonomi Pembangunan," Ensiklopedia Internasional Ilmu Sosial dan Perilaku (Amsterdam: Elsivier Science Direct), hlm. 3566-3574.
  • Brock, WA (1973), "Beberapa Hasil pada Keunikan Amerika Serikat dalam Model Multisektor Pertumbuhan Optimum Ketika Utilitas Masa Depan didiskon," International Economic Review, 14 (3), 535-555.
  • Chakravarty, S. (1962), “Keberadaan Program Penghematan Optimal,” Econometrica, 32 (1), 178–187.
  • ––– (1969), Perencanaan Modal dan Pembangunan (Cambridge, MA: MIT Press).
  • Cline, WR (1992), Ekonomi Pemanasan Global (Washington, DC: Institute for International Economics).
  • Dasgupta, P. (1969), “Tentang Konsep Populasi Optimal,” Tinjauan Studi Ekonomi, 36 (3), 295–318.
  • ––– (2008), “Diskon Perubahan Iklim,” Jurnal Risiko dan Ketidakpastian, 37 (2-3), 141–169.
  • ––– (2019), Time and the Generations: etika populasi untuk planet yang semakin berkurang (New York: Columbia University Press).
  • Dasgupta, P. dan GM Heal (1974), “Penipisan Optimal Sumber Daya Yang Habis,” Tinjauan Studi Ekonomi, 41 (Nomor Simposium), 3–28.
  • Diamond, PA (1965), “Evaluasi Streaming Utilitas Tanpa Batas,” Econometrica, 33 (1), 170–177.
  • Edgeworth, TA (1881), Psikis Matematika: Sebuah Esai tentang Aplikasi Matematika untuk Ilmu Moral (London: Kegan Paul).
  • Gale, D. (1967), “Tentang Pengembangan Optimal dalam Ekonomi Multi-Sektor,” Tinjauan Studi Ekonomi, 34 (1), 1–18.
  • Harrod, RF (1948), Menuju Ekonomi Dinamis (London: McMillan).
  • Koopmans, TC (1960), “Utilitas Ordinal dan Ketidaksabaran Stasioner,” Econometrica, 28 (2), 287–309.
  • ––– (1965), “Tentang Konsep Pertumbuhan Ekonomi Optimal,” Pontificiae Academiae Scientiarum Scripta Varia, 28. Dicetak ulang dalam TC Koopmans (1966), Pendekatan Ekonometrik untuk Perencanaan Pembangunan (Amsterdam: Belanda Utara).
  • ––– (1967), “Tujuan, Kendala, dan Hasil dalam Model Pertumbuhan Optimal,” Econometrica, 35 (1), 1–15.
  • ––– (1972), “Representasi Pengaturan Preferensi dari Waktu,” di CB McGuire dan R. Radner, eds., Decision and Organisation (Amsterdam: Holland Utara).
  • Levhari, D. dan TN Srinivasan (1969), “Tabungan Optimal Di Bawah Ketidakpastian”, Tinjauan Studi Ekonomi, 36 (2), 153–163.
  • Little, IMD dan JA Mirrlees (1968), Manual Analisis Proyek Industri di Negara Berkembang: Analisis Biaya Manfaat Sosial (Paris: OECD).
  • ––– (1974), Penilaian Proyek dan Perencanaan untuk Negara Berkembang (London: Heinemann).
  • Meade, JE (1966), “Penghematan Siklus Hidup, dalam Warisan, dan Pertumbuhan Ekonomi,” Tinjauan Studi Ekonomi, 33 (1), 61–78.
  • Mirrlees, JA (1967), "Pertumbuhan Optimal Ketika Teknologi Berubah," Tinjauan Studi Ekonomi, 34 (1), 95-124.
  • Nordhaus, WD (1994), Mengelola Global Commons: Ekonomi Perubahan Iklim (Cambridge, MA: MIT Press).
  • ––– (2007), “Tinjauan Kajian Stern tentang Ekonomi Perubahan Iklim,” Jurnal Sastra Ekonomi, 45 (3), 686–702.
  • Parfit, D. (1984), Alasan dan Orang (Oxford: Oxford University Press).
  • Ramsey, FP (1928), “Teori Matematika Penghematan,” Jurnal Ekonomi, 38 (4), 543–559.
  • ––– (1931), “Epilog,” dalam RB Braithwaite, ed., Yayasan Matematika dan Esai Logis Lainnya (London: Routledge dan Kegan Paul).
  • Rawls, J. (1972), A Theory of Justice (Oxford: Oxford University Press).
  • Sen, A. dan B. Williams (1982), "Pendahuluan," dalam, Utilitarianism and Beyond (Cambridge: Cambridge University Press).
  • Sidgwick, H. (1907), Metode Etika (London: MacMillan), Edisi ke-7.
  • Solow, RM (1974a), “Ekonomi Sumber Daya dan Sumber Daya Ekonomi,” American Economic Review, 64 (Makalah & Prosiding), 1–21.
  • ––– (1974b), “Kesetaraan Antar Generasi dan Sumber Daya Yang Kelebihan”, Tinjauan Studi Ekonomi, 41 (Isu Simposium), 29–45.
  • Stern, NH (2006), The Stern Review Ekonomi Perubahan Iklim (Cambridge: Cambridge University Press).
  • von Weizsacker, CC (1965), "Keberadaan Program Optimal Akumulasi untuk Cakrawala Waktu Tak Terbatas," Review of Economic Studies, 32 (2), 85-104.
  • Yaari, M. (1965), “Seumur Hidup Tidak Pasti, Asuransi Jiwa, dan Teori Konsumen,” Tinjauan Studi Ekonomi, 32 (2), 137–158.

Alat Akademik

ikon sep man
ikon sep man
Cara mengutip entri ini.
ikon sep man
ikon sep man
Pratinjau versi PDF dari entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Internet Ontology Philosophy Project (InPhO).
ikon makalah phil
ikon makalah phil
Bibliografi yang disempurnakan untuk entri ini di PhilPapers, dengan tautan ke basis datanya.

Sumber Daya Internet lainnya

[Silakan hubungi penulis dengan saran.]

Direkomendasikan: