Program Hilbert

Daftar Isi:

Program Hilbert
Program Hilbert

Video: Program Hilbert

Video: Program Hilbert
Video: Hilbert's Program 2024, Maret
Anonim

Navigasi Masuk

  • Isi Entri
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratinjau PDF Teman
  • Penulis dan Info Kutipan
  • Kembali ke atas

Program Hilbert

Pertama kali diterbitkan, 31 Jul 2003; revisi substantif Jum 24 Mei 2019

Pada awal 1920-an, ahli matematika Jerman David Hilbert (1862–1943) mengajukan proposal baru untuk fondasi matematika klasik yang kemudian dikenal sebagai Program Hilbert. Ini panggilan untuk formalisasi semua matematika dalam bentuk aksiomatik, bersama dengan bukti bahwa aksiomatisasi matematika ini konsisten. Bukti konsistensi itu sendiri harus dilakukan hanya dengan menggunakan apa yang disebut Hilbert sebagai metode “finitary”. Karakter epistemologis khusus dari penalaran finitif kemudian menghasilkan pembenaran yang diperlukan dari matematika klasik. Meskipun Hilbert mengusulkan programnya dalam bentuk ini hanya pada tahun 1921, berbagai aspeknya berakar pada karya dasarnya ketika ia kembali hingga sekitar tahun 1900, ketika ia pertama kali menunjukkan perlunya memberikan bukti konsistensi analisis langsung. Bekerja pada program ini berkembang secara signifikan pada 1920-an dengan kontribusi dari ahli logika seperti Paul Bernays, Wilhelm Ackermann, John von Neumann, dan Jacques Herbrand. Itu juga pengaruh besar pada Kurt Gödel, yang karyanya pada teorema ketidaklengkapan termotivasi oleh Program Hilbert. Pekerjaan Gödel umumnya diambil untuk menunjukkan bahwa Program Hilbert tidak dapat dijalankan. Namun demikian terus menjadi posisi yang berpengaruh dalam filsafat matematika, dan, dimulai dengan karya Gerhard Gentzen pada 1930-an, pekerjaan yang disebut Program Relativized Hilbert telah menjadi pusat pengembangan teori bukti.yang karyanya pada teorema ketidaklengkapan termotivasi oleh Program Hilbert. Pekerjaan Gödel umumnya diambil untuk menunjukkan bahwa Program Hilbert tidak dapat dijalankan. Namun demikian terus menjadi posisi yang berpengaruh dalam filsafat matematika, dan, dimulai dengan karya Gerhard Gentzen pada 1930-an, pekerjaan yang disebut Program Relativized Hilbert telah menjadi pusat pengembangan teori bukti.yang karyanya pada teorema ketidaklengkapan termotivasi oleh Program Hilbert. Pekerjaan Gödel umumnya diambil untuk menunjukkan bahwa Program Hilbert tidak dapat dijalankan. Namun demikian terus menjadi posisi yang berpengaruh dalam filsafat matematika, dan, dimulai dengan karya Gerhard Gentzen pada 1930-an, pekerjaan yang disebut Program Relativized Hilbert telah menjadi pusat pengembangan teori bukti.

  • 1. Perkembangan historis Program Hilbert

    • 1.1 Pekerjaan awal pada yayasan
    • 1.2 Pengaruh Principia Mathematica
    • 1.3 Finitisme dan pencarian bukti konsistensi
    • 1.4 Dampak Teorema Ketidaklengkapan Gödel
  • 2. Sudut Pandang Finansial

    • 2.1 Objek finitis dan epistemologi finitist
    • 2.2 Proposisi dan penalaran finansial yang bermakna secara finansial
    • 2.3 Operasi keuangan dan bukti keuangan
  • 3. Formalisme, reduksionisme dan instrumentalisme
  • 4. Program Hilbert dan teorema ketidaklengkapan Gödel
  • 5. Program Hilbert yang Direvisi
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Daya Internet lainnya
  • Entri terkait

1. Perkembangan historis Program Hilbert

1.1 Pekerjaan awal pada yayasan

Karya Hilbert tentang fondasi matematika berakar pada karyanya tentang geometri tahun 1890-an, yang berpuncak pada buku teksnya yang berpengaruh, Foundations Geometry (1899) (lihat Geometri Abad 19). Hilbert percaya bahwa cara yang tepat untuk mengembangkan subjek ilmiah apa pun secara ketat membutuhkan pendekatan aksiomatik. Dalam memberikan pengobatan aksiomatik, teori akan dikembangkan secara independen dari kebutuhan intuisi, dan itu akan memfasilitasi analisis hubungan logis antara konsep dasar dan aksioma. Yang sangat penting untuk perawatan aksiomatik adalah, jadi Hilbert, investigasi kemerdekaan dan, di atas semua, konsistensi aksioma. Untuk aksioma geometri, konsistensi dapat dibuktikan dengan memberikan interpretasi sistem dalam bidang nyata, dan dengan demikian,konsistensi geometri direduksi menjadi konsistensi analisis. Landasan analisis, tentu saja, itu sendiri membutuhkan aksioma dan bukti konsistensi. Hilbert memberikan aksiomatisasi seperti itu pada (1900b), tetapi menjadi sangat jelas bahwa konsistensi analisis menghadapi kesulitan yang signifikan, khususnya karena cara yang disukai untuk menyediakan landasan untuk analisis dalam karya Dedekind bergantung pada asumsi yang meragukan seperti pada asumsi yang mengarah pada dengan paradoks teori himpunan dan Russell's Paradox dalam fondasi aritmatika Frege.khususnya karena cara yang disukai dalam memberikan landasan untuk analisis dalam karya Dedekind bergantung pada asumsi yang meragukan seperti yang mengarah pada paradoks teori himpunan dan Russell's Paradox dalam fondasi aritmatika Frege.khususnya karena cara yang disukai dalam memberikan landasan untuk analisis dalam karya Dedekind bergantung pada asumsi yang meragukan seperti yang mengarah pada paradoks teori himpunan dan Russell's Paradox dalam fondasi aritmatika Frege.

Hilbert kemudian menyadari bahwa bukti konsistensi analisis langsung, yaitu, yang tidak didasarkan pada reduksi ke teori lain, diperlukan. Dia mengusulkan masalah menemukan bukti seperti itu sebagai yang kedua dari 23 masalah matematika dalam pidatonya ke International Congress of Mathematicians pada tahun 1900 (1900a) dan menyajikan sketsa bukti semacam itu dalam ceramahnya di Heidelberg (1905). Beberapa faktor menunda pengembangan lebih lanjut dari program dasar Hilbert. Salah satunya mungkin kritik terhadap Poincaré (1906) terhadap apa yang dilihatnya sebagai penggunaan induksi yang melingkar dalam bukti konsistensi sketsa Hilbert (lihat Steiner 1975, Lampiran). Hilbert juga menyadari bahwa penyelidikan aksiomatik membutuhkan formalisme logis yang berhasil. Pada saat itu ia mengandalkan konsepsi logika berdasarkan tradisi aljabar, khususnya, pada karya Schröder,yang tidak terlalu cocok sebagai formalisme untuk aksioma matematika. (Lihat Peckhaus 1990 tentang pengembangan awal Program Hilbert.)

1.2 Pengaruh Principia Mathematica

Publikasi Russell dan Whitehead's Principia Mathematica memberikan dasar logis yang diperlukan untuk serangan baru pada masalah mendasar. Mulai tahun 1914, siswa Hilbert Heinrich Behmann dan yang lainnya mempelajari sistem Principia (lihat Mancosu 1999 tentang peran Behmann di sekolah Hilbert). Hilbert sendiri kembali bekerja pada masalah-masalah mendasar pada tahun 1917. Pada bulan September 1917, ia menyampaikan sebuah pidato kepada Masyarakat Matematika Swiss yang berjudul “Pemikiran Aksiomatik” (1918a). Ini adalah kontribusi pertamanya yang diterbitkan untuk yayasan matematika sejak 1905. Di dalamnya, ia kembali menekankan persyaratan bukti konsistensi untuk sistem aksiomatik: "Persyaratan utama teori aksioma harus lebih jauh [daripada sekadar menghindari paradoks yang diketahui], yaitu,untuk menunjukkan bahwa dalam setiap bidang kontradiksi pengetahuan yang didasarkan pada sistem aksioma yang mendasarinya sama sekali mustahil.” Dia mengajukan bukti konsistensi aritmatika (dan teori himpunan) lagi sebagai masalah terbuka utama. Dalam kedua kasus ini, tampaknya tidak ada yang lebih mendasar yang tersedia untuk mengurangi konsistensi selain logika itu sendiri. Dan Hilbert kemudian berpikir bahwa masalahnya pada dasarnya telah dipecahkan oleh karya Russell di Principia. Namun demikian, masalah mendasar lainnya dari aksioma tetap belum terpecahkan, termasuk masalah "kepastian setiap pertanyaan matematika," yang juga ditelusuri kembali ke alamat Hilbert 1900.tampaknya tidak ada yang lebih mendasar yang tersedia yang dapat dikurangi konsistensi selain logika itu sendiri. Dan Hilbert kemudian berpikir bahwa masalahnya pada dasarnya telah dipecahkan oleh karya Russell di Principia. Namun demikian, masalah mendasar lainnya dari aksioma tetap belum terpecahkan, termasuk masalah "kepastian setiap pertanyaan matematika," yang juga ditelusuri kembali ke alamat Hilbert 1900.tampaknya tidak ada yang lebih mendasar yang tersedia yang dapat dikurangi konsistensi selain logika itu sendiri. Dan Hilbert kemudian berpikir bahwa masalahnya pada dasarnya telah dipecahkan oleh karya Russell di Principia. Namun demikian, masalah mendasar lainnya dari aksioma tetap belum terpecahkan, termasuk masalah "kepastian setiap pertanyaan matematika," yang juga ditelusuri kembali ke alamat Hilbert 1900.

Masalah-masalah aksioma yang tidak terselesaikan ini membuat Hilbert mencurahkan upaya signifikan untuk bekerja pada logika di tahun-tahun berikutnya. Pada tahun 1917, Paul Bernays bergabung dengannya sebagai asistennya di Göttingen. Dalam serangkaian kursus dari tahun 1917-1921, Hilbert, dengan bantuan Bernays dan Behmann, memberikan kontribusi baru yang signifikan pada logika formal. Kursus dari 1917 (Hilbert, 1918b), khususnya, berisi pengembangan canggih logika tingkat pertama, dan membentuk dasar buku teks Hilbert dan Ackermann Principles of Theoretical Logic (1928) (lihat Ewald dan Sieg 2013, Sieg 1999, dan Zach 1999, 2003).

1.3 Finitisme dan pencarian bukti konsistensi

Namun, dalam beberapa tahun berikutnya, Hilbert menolak solusi logika Russell untuk masalah konsistensi aritmatika. Pada saat yang sama, matematika intuitionistic Brouwer memperoleh mata uang. Secara khusus, mantan siswa Hilbert, Hermann Weyl, beralih ke intuitionism. Makalah Weyl "Krisis dasar baru dalam matematika" (1921) dijawab oleh Hilbert dalam tiga pembicaraan di Hamburg pada musim panas 1921 (1922b). Di sini, Hilbert mempresentasikan proposal sendiri untuk solusi terhadap masalah dasar matematika. Proposal ini menggabungkan ide-ide Hilbert dari tahun 1904 mengenai bukti konsistensi langsung, konsepsinya tentang sistem aksiomatik, dan juga perkembangan teknis dalam aksiomatisasi matematika dalam karya Russell serta perkembangan lebih lanjut yang dilakukan oleh dia dan kolaboratornya. Apa yang baru adalah cara Hilbert ingin menanamkan proyek konsistensinya dengan signifikansi filosofis yang diperlukan untuk menjawab kritik Brouwer dan Weyl: sudut pandang finansial.

Menurut Hilbert, ada bagian istimewa dari matematika, teori bilangan elementer konten, yang hanya bergantung pada "dasar intuitif tanda-tanda konkret." Sedangkan operasi dengan konsep abstrak dianggap "tidak memadai dan tidak pasti," ada bidang

objek diskrit ekstra-logis, yang ada secara intuitif sebagai pengalaman langsung sebelum semua pemikiran. Jika kesimpulan logis harus dipastikan, maka objek-objek ini harus mampu disurvei sepenuhnya di semua bagian mereka, dan presentasi mereka, perbedaan mereka, suksesi mereka (seperti objek itu sendiri) harus ada untuk kita segera, secara intuitif, sebagai sesuatu yang tidak dapat direduksi menjadi sesuatu yang lain. (Hilbert 1922b, 202; bagian ini diulangi hampir secara kata demi kata dalam Hilbert 1926, 376, Hilbert 1928, 464, dan Hilbert 1931b, 267)

Benda-benda ini, bagi Hilbert, merupakan tanda. Domain teori bilangan kontekstual terdiri dalam angka-angka angka terbatas, yaitu urutan pukulan. Ini tidak memiliki makna, yaitu, mereka tidak berdiri untuk objek abstrak, tetapi mereka dapat dioperasikan pada (misalnya, digabungkan) dan dibandingkan. Pengetahuan tentang sifat dan hubungan mereka bersifat intuitif dan tidak dimediasi oleh inferensi logis. Teori bilangan kontekstual yang dikembangkan dengan cara ini aman, menurut Hilbert: tidak ada kontradiksi yang dapat muncul hanya karena tidak ada struktur logis dalam proposisi teori bilangan kontekstual.

Operasi intuitif-kontenual dengan tanda-tanda membentuk dasar metamathematic Hilbert. Sama seperti teori bilangan kontekstual yang beroperasi dengan urutan goresan, demikian pula metamathematika beroperasi dengan urutan simbol (rumus, bukti). Rumus dan bukti dapat dimanipulasi secara sintaksis, dan properti serta hubungan antara rumus dan bukti juga berdasarkan pada kapasitas intuitif yang bebas logika yang menjamin kepastian pengetahuan tentang rumus dan bukti yang diperoleh oleh operasi sintaksis seperti itu. Matematika itu sendiri, bagaimanapun, beroperasi dengan konsep abstrak, misalnya, bilangan bulat, set, fungsi, dan menggunakan inferensi logis berdasarkan pada prinsip-prinsip seperti induksi matematika atau prinsip tengah yang dikecualikan."Formasi konsep" dan cara berpikir ini telah dikritik oleh Brouwer dan yang lainnya dengan alasan bahwa mereka mengandaikan totalitas tanpa batas sebagaimana yang diberikan, atau bahwa mereka melibatkan definisi yang tidak benar (yang dianggap oleh para kritikus sebagai lingkaran setan). Tujuan Hilbert adalah untuk membenarkan penggunaannya. Untuk tujuan ini, ia menunjukkan bahwa mereka dapat diformalkan dalam sistem aksiomatik (seperti Principia atau yang dikembangkan oleh Hilbert sendiri), dan dengan demikian proposisi dan bukti matematika berubah menjadi formula dan derivasi dari aksioma menurut aturan derivasi yang dibatasi dengan ketat. Matematika, demikian Hilbert, "menjadi inventaris formula yang dapat dibuktikan." Dengan cara ini, bukti matematika tunduk pada penyelidikan metamathematical, contentual. Tujuan dari program Hilbert adalah untuk memberikan kepuasan,bukti metamathematis bahwa tidak ada derivasi dari suatu kontradiksi, yaitu, tidak ada derivasi formal dari formula (A) dan negasinya (neg A).

Sketsa tujuan program ini disempurnakan oleh Hilbert dan rekan-rekannya dalam 10 tahun berikutnya. Pada sisi konseptual, sudut pandang terbatas dan strategi untuk bukti konsistensi dielaborasi oleh Hilbert (1928); Hilbert (1923); Hilbert (1926) dan Bernays (1928b); Bernays (1922); Bernays (1930), di mana artikel Hilbert "On the infinite" (1926) memberikan penjabaran paling rinci dari sudut pandang finansial. Selain Hilbert dan Bernays, sejumlah orang lain terlibat dalam pekerjaan teknis pada program tersebut. Dalam ceramah yang diberikan di Göttingen (Hilbert dan Bernays, 1923; Hilbert, 1922a), Hilbert dan Bernays mengembangkan kalkulus (varepsilon) - sebagai formalisme definitif mereka untuk sistem aksioma untuk aritmatika dan analisis. Hilbert di sana juga mempresentasikan pendekatannya untuk memberikan bukti konsistensi menggunakan apa yang disebut (varepsilon) - metode substitusi. Ackermann (1924) berusaha memperluas ide Hilbert ke sistem analisis. Namun, buktinya salah (lihat Zach 2003). John von Neumann, yang saat itu mengunjungi Göttingen, memberikan bukti konsistensi yang terkoreksi untuk sistem (varepsilon) - formalisme (yang, bagaimanapun, tidak memasukkan aksioma induksi) pada tahun 1925 (diterbitkan pada tahun 1927). Dibangun di atas karya von Neumann, Ackermann menyusun prosedur pengganti (varepsilon) baru - yang ia komunikasikan ke Bernays (lihat Bernays 1928b). Dalam pidatonya "Masalah landasan matematika" ke Kongres Internasional Matematikawan di Bologna pada tahun 1928 (1929),Hilbert optimis mengklaim bahwa karya Ackermann dan von Neumann telah menetapkan konsistensi teori bilangan dan bahwa bukti untuk analisis telah dilakukan oleh Ackermann “sejauh tugas yang tersisa hanya terdiri dari bukti teorema kefasihan dasar yang murni aritmatika."

1.4 Dampak Teorema Ketidaklengkapan Gödel

Teorema ketidaklengkapan Gödel menunjukkan bahwa optimisme Hilbert tidak pantas. Pada bulan September 1930, Kurt Gödel mengumumkan teorema ketidaklengkapan pertamanya di sebuah konferensi di Königsberg. Von Neumann, yang berada di antara hadirin, segera mengakui pentingnya hasil Gödel untuk program Hilbert. Tidak lama setelah konferensi ia menulis kepada Gödel, mengatakan kepadanya bahwa ia telah menemukan akibat wajar untuk hasil Gödel. Gödel telah menemukan hasil yang sama sudah secara independen: teorema ketidaklengkapan kedua, menyatakan bahwa sistem Principia tidak membuktikan formalisasi klaim bahwa sistem Principia konsisten (asalkan memang demikian). Namun, semua metode penalaran finansial yang digunakan dalam bukti konsistensi hingga saat itu diyakini dapat diformalkan dalam Principia. Karenanya,jika konsistensi Principia dapat dibuktikan dengan metode yang digunakan dalam bukti Ackermann, seharusnya dimungkinkan untuk memformalkan bukti ini dalam Principia; tetapi ini yang tidak mungkin dinyatakan oleh teorema ketidaklengkapan kedua. Bernays juga menyadari pentingnya hasil Gödel segera setelah ia mempelajari makalah Gödel pada Januari 1931, menulis kepada Gödel bahwa (dengan asumsi bahwa penalaran keuangan dapat diformalkan dalam Principia), teorema ketidaklengkapan menunjukkan bahwa bukti konsistensi keuangan dari Principia tidak mungkin. Tak lama kemudian, von Neumann menunjukkan bahwa bukti konsistensi Ackermann cacat dan memberikan contoh tandingan terhadap usulan (varepsilon) - prosedur penggantian (lihat Zach 2003).tetapi ini yang tidak mungkin dinyatakan oleh teorema ketidaklengkapan kedua. Bernays juga menyadari pentingnya hasil Gödel segera setelah ia mempelajari makalah Gödel pada Januari 1931, menulis kepada Gödel bahwa (dengan asumsi bahwa penalaran keuangan dapat diformalkan dalam Principia), teorema ketidaklengkapan menunjukkan bahwa bukti konsistensi keuangan dari Principia tidak mungkin. Tak lama kemudian, von Neumann menunjukkan bahwa bukti konsistensi Ackermann cacat dan memberikan contoh tandingan terhadap usulan (varepsilon) - prosedur penggantian (lihat Zach 2003).tetapi ini yang tidak mungkin dinyatakan oleh teorema ketidaklengkapan kedua. Bernays juga menyadari pentingnya hasil Gödel segera setelah ia mempelajari makalah Gödel pada Januari 1931, menulis kepada Gödel bahwa (dengan asumsi bahwa penalaran keuangan dapat diformalkan dalam Principia), teorema ketidaklengkapan menunjukkan bahwa bukti konsistensi keuangan dari Principia tidak mungkin. Tak lama kemudian, von Neumann menunjukkan bahwa bukti konsistensi Ackermann cacat dan memberikan contoh tandingan terhadap usulan (varepsilon) - prosedur penggantian (lihat Zach 2003).menulis kepada Gödel bahwa (di bawah asumsi bahwa penalaran finisial dapat diformalkan dalam Principia) teorema ketidaklengkapan menunjukkan bahwa bukti konsistensi keuangan Principia tidak mungkin. Tak lama kemudian, von Neumann menunjukkan bahwa bukti konsistensi Ackermann cacat dan memberikan contoh tandingan terhadap usulan (varepsilon) - prosedur penggantian (lihat Zach 2003).menulis kepada Gödel bahwa (di bawah asumsi bahwa penalaran finisial dapat diformalkan dalam Principia) teorema ketidaklengkapan menunjukkan bahwa bukti konsistensi keuangan Principia tidak mungkin. Tak lama kemudian, von Neumann menunjukkan bahwa bukti konsistensi Ackermann cacat dan memberikan contoh tandingan terhadap usulan (varepsilon) - prosedur penggantian (lihat Zach 2003).

Pada (1936), Gentzen menerbitkan bukti konsistensi dari Aritmatika Peano orde pertama ((PA)). Seperti yang telah ditunjukkan oleh Gödel, bukti Gentzen menggunakan metode yang tidak dapat diformalkan dalam (PA) itu sendiri, yaitu, induksi tak terbatas sepanjang ordinal (varepsilon_0). Karya Gentzen menandai awal dari teori bukti pasca-Gödelian dan bekerja pada Program Relativized Hilbert. Teori bukti dalam tradisi Gentzen telah menganalisis sistem aksiomatik sesuai dengan perluasan dari sudut pandang keuangan apa yang diperlukan untuk membuktikan konsistensi mereka. Biasanya, kekuatan konsistensi sistem telah diukur dengan sistem bukti-teoretis ordinal, yaitu induksi ordinal transfinite yang cukup untuk membuktikan konsistensi. Dalam kasus (PA), ordinal itu adalah (varepsilon_0). (Untuk diskusi lebih lanjut,lihat entri pada pengembangan teori bukti.)

2. Sudut Pandang Finansial

Landasan filosofi matematika Hilbert, dan aspek yang secara substansial baru dari pemikiran dasarnya sejak tahun 1922b dan seterusnya, terdiri dari apa yang disebutnya sebagai sudut pandang finansial. Sudut pandang metodologis ini terdiri dari pembatasan pemikiran matematis terhadap objek-objek yang “secara intuitif hadir sebagai pengalaman langsung sebelum semua pemikiran,” dan pada operasi-operasi tersebut dan metode-metode penalaran tentang objek-objek semacam itu yang tidak memerlukan pengenalan konsep-konsep abstrak, dalam khususnya, tanpa banding untuk menyelesaikan totalitas tak terbatas.

Ada beberapa masalah mendasar dan saling terkait dalam memahami sudut pandang keuangan Hilbert:

  1. Apa objek pemikiran finansial?
  2. Apa saja proposisi yang bermakna secara finansial?
  3. Apa metode konstruksi dan penalaran yang dapat diterima secara finansial?

2.1 Objek finitis dan epistemologi finitist

Hilbert mengkarakterisasi bidang penalaran finansial dalam sebuah paragraf terkenal yang muncul dalam formulasi yang kira-kira sama dalam semua makalah Hilbert yang lebih filosofis dari tahun 1920-an (1931b; 1922b; 1928; 1926):

[A] kondisi untuk penggunaan inferensi logis dan kinerja operasi logis, sesuatu harus sudah diberikan kepada fakultas perwakilan kami, objek beton ekstralogis tertentu yang secara intuitif hadir sebagai pengalaman langsung sebelum semua pemikiran. Jika inferensi logis dapat diandalkan, harus dimungkinkan untuk mensurvei objek-objek ini sepenuhnya di semua bagiannya, dan fakta bahwa mereka terjadi, bahwa mereka berbeda satu sama lain, dan bahwa mereka saling mengikuti, atau digabungkan, segera diberikan secara intuitif, bersama-sama dengan objek, sebagai sesuatu yang tidak dapat direduksi menjadi hal lain atau membutuhkan reduksi. Ini adalah posisi filosofis dasar yang saya anggap diperlukan untuk matematika dan, secara umum, untuk semua pemikiran ilmiah, pemahaman, dan komunikasi. (Hilbert, 1926, 376)

Objek-objek ini, bagi Hilbert, adalah tanda-tandanya. Untuk domain teori angka kontekstual, tanda-tanda yang dimaksud adalah angka seperti

1, 11, 111, 11111

Pertanyaan tentang bagaimana tepatnya Hilbert memahami angka-angka itu sulit dijawab. Mereka bukan objek fisik (goresan aktual di atas kertas, misalnya), karena harus selalu memungkinkan untuk menambah angka dengan menambahkan stroke lain (dan, seperti yang Hilbert katakan dalam “On the infinite” (1926), diragukan bahwa alam semesta fisik tidak terbatas). Menurut Hilbert (1922b, 202), "bentuknya dapat secara umum dan pasti dikenali oleh kita - secara independen dari ruang dan waktu, dari kondisi khusus produksi tanda, dan perbedaan yang tidak signifikan dalam produk jadi." Mereka bukan konstruksi mental, karena sifat mereka objektif, namun keberadaan mereka bergantung pada konstruksi intuitif mereka (lihat Bernays 1923, 226). Yang jelas dalam hal apapun adalah bahwa mereka secara logis primitif, yaitu,mereka bukan konsep (seperti angka Frege) atau set. Yang penting di sini bukan terutama status metafisik mereka (abstrak versus konkret dalam pengertian istilah-istilah ini saat ini), tetapi mereka tidak masuk ke dalam hubungan logis, misalnya, mereka tidak dapat dipredikatkan atas apa pun. Dalam presentasi finitisme Bernays yang paling matang (Hilbert dan Bernays, 1939; Bernays, 1930), objek-objek finitisme dicirikan sebagai objek formal yang secara rekursif dihasilkan oleh proses pengulangan; simbol goresan kemudian merupakan representasi konkret dari objek formal ini. Dalam presentasi finitisme Bernays yang paling matang (Hilbert dan Bernays, 1939; Bernays, 1930), objek-objek finitisme dicirikan sebagai objek formal yang secara rekursif dihasilkan oleh proses pengulangan; simbol goresan kemudian merupakan representasi konkret dari objek formal ini. Dalam presentasi finitisme Bernays yang paling matang (Hilbert dan Bernays, 1939; Bernays, 1930), objek-objek finitisme dicirikan sebagai objek formal yang secara rekursif dihasilkan oleh proses pengulangan; simbol goresan kemudian merupakan representasi konkret dari objek formal ini.

Pertanyaan tentang apa yang menurut Hilbert status epistemologis dari objek-objek finitisme sama sulitnya. Untuk melaksanakan tugas menyediakan fondasi yang aman untuk matematika infinitistik, akses ke objek-objek finansial harus segera dan pasti. Latar belakang filosofis Hilbert adalah Kantian secara luas, seperti halnya Bernays, yang berafiliasi erat dengan aliran filsafat neo-Kantian di sekitar Leonard Nelson di Göttingen. Karakterisasi Hilbert tentang finitisme sering merujuk pada intuisi Kantian, dan objek-objek finitisme sebagai objek yang diberikan secara intuitif. Memang, dalam epistemologi Kant, kedekatan adalah karakteristik yang menentukan dari pengetahuan intuitif. Pertanyaannya adalah, intuisi macam apa yang berperan? Mancosu (1998b) mengidentifikasi perubahan dalam hal ini. Dia berpendapat bahwa sementara intuisi yang terlibat dalam karya-karya awal Hilbert adalah semacam intuisi persepsi, dalam tulisan-tulisan selanjutnya (misalnya, Bernays 1928a) itu diidentifikasi sebagai bentuk intuisi murni dalam arti Kantian. Namun, pada saat yang hampir bersamaan Hilbert (1928, 469) masih mengidentifikasi jenis intuisi yang berperan sebagai persepsi. Dalam (1931b, 266-267), Hilbert melihat mode berpikir terbatas sebagai sumber terpisah dari pengetahuan apriori di samping intuisi murni (misalnya, ruang) dan alasan, mengklaim bahwa ia telah "mengenali dan mengkarakterisasi sumber ketiga dari pengetahuan yang menyertai pengalaman dan logika. " Baik Bernays dan Hilbert membenarkan pengetahuan keuangan dalam istilah Kantian secara luas (namun tidak memberikan deduksi transendental), mencirikan penalaran keuangan sebagai jenis penalaran yang mendasari semua matematika,dan memang, ilmiah, pemikiran, dan tanpanya pemikiran seperti itu tidak mungkin terjadi. (Lihat Kitcher 1976 dan Parsons 1998 tentang epistemologi finitisme, dan Patton 2014 untuk konteks historis dan filosofis dari teori tanda-tanda Hilbert.)

2.2 Proposisi dan penalaran finansial yang bermakna secara finansial

Penilaian paling dasar tentang angka keuangan adalah penilaian tentang persamaan dan ketidaksetaraan. Selain itu, sudut pandang terbatas memungkinkan operasi pada objek terbatas. Di sini yang paling mendasar adalah penggabungan. Rangkuman angka 11 dan 111 dikomunikasikan sebagai "(2 + 3)," dan pernyataan bahwa 11 digabungkan dengan 111 menghasilkan angka yang sama dengan 111 digabungkan dengan 11 oleh "(2 + 3 = 3 + 2). " Dalam praktik teori-bukti aktual, serta secara eksplisit dalam (Hilbert dan Bernays, 1934; Bernays, 1930), operasi dasar ini digeneralisasikan ke operasi yang didefinisikan oleh rekursi, secara paradigmatik, rekursi primitif, misalnya penggandaan dan eksponensial (lihat Parsons 1998 untuk kesulitan filosofis dalam kaitannya dengan eksponensial dan 2007 untuk diskusi panjang tentang matematika intuitif dan finitisme). Demikian pula,penilaian finansial mungkin melibatkan tidak hanya kesetaraan atau ketidaksetaraan tetapi juga sifat dasar yang dapat diputuskan, seperti "adalah yang utama." Ini dapat diterima secara finansial asalkan fungsi karakteristik dari properti semacam itu sendiri bersifat finit: Sebagai contoh, operasi yang mengubah suatu angka menjadi 1 jika prima dan 11 jika tidak dapat didefinisikan dengan rekursi primitif dan karenanya bersifat finansial. Proposisi keuangan seperti itu dapat digabungkan dengan operasi logis biasa dari konjungsi, disjungsi, negasi, tetapi juga kuantifikasi terbatas. (Hilbert, 1926) memberikan contoh proposisi bahwa "ada bilangan prima antara (p + 1) dan (p! + 1)" di mana (p) adalah bilangan prima besar tertentu. Pernyataan ini secara finansial dapat diterima karena "hanya berfungsi untuk menyingkat proposisi" yang dapat (p + 1) atau (p + 2) atau (p + 3) atau … atau (p! + 1) adalah prima.

Proposisi keuangan bermasalah adalah yang mengungkapkan fakta umum tentang angka seperti itu, untuk setiap angka (n, 1 + n = n + 1). Ini bermasalah karena, seperti Hilbert katakan, itu "adalah dari sudut pandang finitist tidak mampu dinegasikan" (1926, 378). Dengan ini ia berarti bahwa proposisi yang bertentangan bahwa ada angka (n) yang (1 + n / ne n + 1) tidak bermakna secara finansial. “Bagaimanapun juga, seseorang tidak dapat mencoba semua angka” (1928, 470). Untuk alasan yang sama, proposisi umum finitatif tidak harus dipahami sebagai konjungsi tak terbatas tetapi "hanya sebagai penilaian hipotetis yang datang untuk menegaskan sesuatu ketika angka diberikan" (ibid.). Meskipun mereka bermasalah dalam hal ini, pernyataan keuangan umum sangat penting bagi teori pembuktian Hilbert,karena pernyataan konsistensi sistem formal (S) adalah seperti bentuk umum: untuk setiap urutan formula (P, P) yang diberikan bukan derivasi dari kontradiksi dalam (S).

2.3 Operasi keuangan dan bukti keuangan

Yang sangat penting bagi pemahaman finitisme dan teori pembuktian Hilbert adalah pertanyaan tentang operasi apa dan prinsip pembuktian apa yang harus diizinkan dari sudut pandang finitist. Bahwa jawaban umum diperlukan jelas dari tuntutan teori pembuktian Hilbert, yaitu, tidak diharapkan bahwa dengan sistem matematika formal (atau bahkan urutan tunggal rumus) seseorang dapat "melihat" bahwa itu konsisten (atau bahwa itu bukan derivasi asli dari ketidakkonsistenan) seperti yang dapat kita lihat, misalnya, (11 + 111 = 111 + 11). Apa yang diperlukan untuk bukti konsistensi adalah operasi yang, mengingat derivasi formal, mengubah derivasi tersebut menjadi salah satu bentuk khusus, ditambah bukti bahwa operasi pada kenyataannya melakukan ini dan bahwa bukti dari jenis khusus tidak dapat menjadi bukti ketidakkonsistenan.. Untuk dihitung sebagai bukti konsistensi finansial, operasi itu sendiri harus dapat diterima dari sudut pandang finitist, dan bukti yang diperlukan harus menggunakan hanya prinsip-prinsip yang dapat diterima secara finansial.

Hilbert tidak pernah memberikan penjelasan umum tentang operasi dan metode pembuktian yang dapat diterima dari sudut pandang finitist, tetapi hanya contoh-contoh operasi dan metode inferensi dalam teori angka bilangan bulat yang puas yang ia terima sebagai finitary. Induksi kontekstual diterima dalam penerapannya pada pernyataan-pernyataan finisial dari jenis hipotetis, umum secara eksplisit dalam Hilbert (1922b). Dia (1923, 1139) mengatakan bahwa pemikiran intuitif “mencakup rekursi dan induksi intuitif untuk totalitas terbatas yang ada,” dan menggunakan eksponensial dalam sebuah contoh pada tahun 1928. Bernays (1930) menjelaskan bagaimana eksponensial dapat dipahami sebagai operasi finansial pada angka. Hilbert dan Bernays (1934) memberikan satu-satunya akun umum teori bilangan puas tipe; sesuai dengan itu,operasi yang didefinisikan oleh rekursi primitif dan bukti menggunakan induksi secara finansial dapat diterima. Semua metode ini dapat diformalkan dalam sistem yang dikenal sebagai aritmatika rekursif primitif ((PRA)), yang memungkinkan definisi fungsi dengan rekursi primitif dan induksi pada formula bebas-kuantifier (ibid.). Akan tetapi, baik Hilbert maupun Bernays tidak pernah mengklaim bahwa hanya operasi rekursif primitif yang dianggap sebagai finansial, dan mereka sebenarnya menggunakan beberapa metode rekursif non-primitif dalam bukti konsistensi yang tampaknya sudah ada pada tahun 1923 (lihat Tait 2002 dan Zach 2003).baik Hilbert maupun Bernays tidak pernah mengklaim bahwa hanya operasi rekursif primitif yang dianggap sebagai finit, dan mereka sebenarnya menggunakan beberapa metode rekursif non-primitif dalam bukti konsistensi seolah-olah sudah ada pada 1923 (lihat Tait 2002 dan Zach 2003).baik Hilbert maupun Bernays tidak pernah mengklaim bahwa hanya operasi rekursif primitif yang dianggap sebagai finit, dan mereka sebenarnya menggunakan beberapa metode rekursif non-primitif dalam bukti konsistensi seolah-olah sudah ada pada 1923 (lihat Tait 2002 dan Zach 2003).

Masalah konseptual yang lebih menarik adalah operasi mana yang harus dianggap sebagai masalah keuangan. Karena Hilbert kurang begitu jelas tentang apa yang terdiri dari sudut pandang finansial, ada beberapa kelonggaran dalam menetapkan kendala, epistemologis dan sebaliknya, analisis operasi finitist dan bukti harus dipenuhi. Hilbert mengkarakteristikkan (lihat di atas) objek-objek teori bilangan berstatus sebagai “diberikan secara intuitif,” sebagai “dapat disurvei di semua bagian mereka,” dan mengatakan bahwa sifat dasar mereka yang memiliki harus “ada secara intuitif” bagi kita. Bernays (1922, 216) mengemukakan bahwa dalam matematika finiter, hanya "kognisi intuitif primitif ikut bermain," dan menggunakan istilah "sudut pandang bukti intuitif" sehubungan dengan finitisme 1930, 250. Karakterisasi finitisme ini terutama berkaitan dengan intuisi dan pengetahuan intuitif telah ditekankan secara khusus oleh (Parsons, 1998) yang berpendapat bahwa apa yang dapat dianggap sebagai finansial pada pemahaman ini tidak lebih dari operasi aritmatika yang dapat didefinisikan dari penambahan dan penggandaan menggunakan rekursi terbatas. Secara khusus, menurutnya, eksponensial dan rekursi primitif umum tidak dapat diterima secara finansial.

Tesis bahwa finitisme bertepatan dengan penalaran rekursif primitif telah menerima pertahanan yang kuat oleh (Tait 1981; lihat juga 2002 dan 2005b). Tait, berbeda dengan Parsons, menolak aspek keterwakilan dalam intuisi sebagai ciri keuangan; alih-alih, ia menganggap penalaran finansial sebagai “jenis penalaran minimal yang diandaikan oleh semua penalaran matematis non-sepele tentang angka.” dan menganalisis operasi dan metode pembuktian sebagai metode yang tersirat dalam konsep angka sebagai bentuk urutan yang terbatas. Analisis finitisme ini didukung oleh pendapat Hilbert bahwa penalaran finansial merupakan prasyarat logis dan matematis, memang setiap pemikiran ilmiah Hilbert (1931b, 267). Karena nalar adalah bagian dari matematika yang diandaikan oleh semua nalar non-sepele tentang angka, itu adalah,jadi Tait, “tidak dapat dielakkan” dalam pengertian Cartesian, dan ketidakpastian ini sebagai semua yang diperlukan untuk penalaran finansial untuk menyediakan landasan epistemologis matematika yang diinginkan Hilbert.

Analisis lain yang menarik dari bukti keuangan, yang, bagaimanapun, tidak memberikan sedetil pembenaran filosofis, diusulkan oleh Kreisel (1960). Ini menghasilkan hasil bahwa sebenarnya fungsi-fungsi tersebut adalah finitary yang dapat dibuktikan sebagai total dalam aritmatika orde pertama (PA). Ini didasarkan pada konsep bukti-teori dari prinsip refleksi; lihat Zach (2006) untuk lebih detail dan Dean (2015) untuk analisis. Kreisel (1970, Bagian 3.5) memberikan analisis lain dengan berfokus pada apa yang "dapat divisualisasikan." Hasilnya sama: provabilitas finitasi ternyata koeksensif dengan provabilitas dalam (PA).

Analisis teknis Tait menghasilkan bahwa fungsi finitistik adalah fungsi rekursif primitif, dan kebenaran teoretis angka-finitistik persis yang dapat dibuktikan dalam teori aritmatika rekursif primitif (PRA). Penting untuk ditekankan bahwa analisis ini tidak dilakukan dari dalam sudut pandang finitist itu sendiri. Karena pengertian umum tentang "fungsi" dan "bukti" itu sendiri tidak terbatas, si finitist tidak dapat memahami tesis Tait bahwa segala sesuatu yang dapat dibuktikan dalam (PRA) secara finansial benar. Menurut Tait, analisis yang tepat dari provabilitas finitistik tidak boleh berasumsi bahwa finitisme sendiri memiliki akses ke gagasan non-finitistik tersebut. Pendekatan Kreisel dan beberapa kritik terhadap Tait yang bergantung pada prinsip-prinsip refleksi atau (omega) - aturan berjalan bertentangan dengan persyaratan ini (lihat Tait 2002, 2005b). Di samping itu,orang dapat berargumen bahwa (PRA) adalah teori yang terlalu kuat untuk dianggap sebagai formalisasi dari apa yang "diandaikan oleh semua penalaran matematis non-sepele tentang angka": ada teori yang lebih lemah tetapi non-sepele yang terkait dengan kelas yang lebih kecil fungsi daripada fungsi rekursif primitif, seperti (PV) dan (EA), masing-masing terkait dengan fungsi polinomial-waktu dan Kalmar-element (lihat Avigad 2003 tentang seberapa banyak matematika dapat dilakukan dalam (EA)). Menggunakan analisis di sepanjang garis yang sama dengan Tait, Ganea (2010) telah tiba di kelas yang sesuai dari fungsi-fungsi Kalmar-elementer dengan yang bersifat finitistic.ada teori yang lebih lemah tetapi non-sepele yang terkait dengan kelas fungsi yang lebih kecil daripada fungsi rekursif primitif, seperti (PV) dan (EA), masing-masing terkait dengan fungsi waktu polinomial dan fungsi Kalmar-element. (lihat Avigad 2003 tentang seberapa banyak matematika dapat dilakukan dalam (EA)). Menggunakan analisis di sepanjang garis yang sama dengan Tait, Ganea (2010) telah tiba di kelas yang sesuai dari fungsi-fungsi Kalmar-elementer dengan yang bersifat finitistic.ada teori yang lebih lemah tetapi non-sepele yang terkait dengan kelas fungsi yang lebih kecil daripada fungsi rekursif primitif, seperti (PV) dan (EA), masing-masing terkait dengan fungsi waktu polinomial dan fungsi Kalmar-element. (lihat Avigad 2003 tentang seberapa banyak matematika dapat dilakukan dalam (EA)). Menggunakan analisis di sepanjang garis yang sama dengan Tait, Ganea (2010) telah tiba di kelas yang sesuai dari fungsi-fungsi Kalmar-elementer dengan yang bersifat finitistic. Ganea (2010) telah tiba di kelas yang sesuai fungsi Kalmar-elementer sebagai yang finitistic. Ganea (2010) telah tiba di kelas yang sesuai fungsi Kalmar-elementer sebagai yang finitistic.

3. Formalisme, reduksionisme dan instrumentalisme

Weyl (1925) adalah reaksi damai terhadap proposal Hilbert pada tahun 1922b dan 1923, yang tetap mengandung beberapa kritik penting. Weyl menggambarkan proyek Hilbert sebagai pengganti matematika kontekstual dengan permainan formula yang tidak berarti. Dia mencatat bahwa Hilbert ingin "mengamankan bukan kebenaran, tetapi konsistensi analisis" dan menyarankan kritik yang menggemakan yang sebelumnya oleh Frege: Mengapa kita harus mengambil konsistensi dari sistem matematika formal sebagai alasan untuk percaya pada kebenaran matematika pra-formal yang dikodifikasikan? Apakah inventaris formula Hilbert yang tidak berarti bukan hanya "hantu analisis tanpa darah"? Weyl menyarankan solusi:

[I] Jika matematika tetap merupakan masalah budaya yang serius, maka beberapa hal harus melekat pada permainan formula Hilbert, dan saya hanya melihat satu kemungkinan untuk mengaitkannya (termasuk komponennya yang tidak terbatas) dengan makna intelektual yang independen. Dalam fisika teoretis, kita memiliki contoh besar tentang [jenis] pengetahuan karakter yang sama sekali berbeda dari pengetahuan umum atau fenomenal yang mengekspresikan murni apa yang diberikan dalam intuisi. Sementara dalam hal ini setiap penilaian memiliki akal sendiri yang sepenuhnya dapat diwujudkan dalam intuisi, ini tidak berarti kasus untuk pernyataan fisika teoretis. Dalam hal ini, lebih baik sistem secara keseluruhan dipertanyakan jika dihadapkan dengan pengalaman. (Weyl, 1925, 140)

Analogi dengan fisika sangat mengejutkan, dan orang dapat menemukan ide-ide serupa dalam tulisan Hilbert sendiri - mungkin Hilbert dipengaruhi oleh Weyl. Meskipun proposal pertama Hilbert berfokus secara eksklusif pada konsistensi, ada perkembangan nyata dalam pemikiran Hilbert ke arah proyek reduktivitas umum semacam yang cukup umum dalam filsafat ilmu pada waktu itu (seperti yang ditunjukkan oleh Giaquinto 1983). Pada paruh kedua 1920-an, Hilbert menggantikan program konsistensi dengan program konservatif: Matematika formal harus dipertimbangkan dengan analogi dengan fisika teoretis. Pembenaran pamungkas untuk bagian teoretis terletak pada konservatifitasnya terhadap matematika "nyata": kapan pun teoretis, matematika "ideal" membuktikan proposisi "nyata", proposisi itu juga secara intuitif benar. Ini membenarkan penggunaan matematika tak terbatas: itu tidak hanya konsisten secara internal, tetapi itu membuktikan hanya proposisi intuitif yang benar (dan memang semua, karena formalisasi matematika intuitif adalah bagian dari formalisasi semua matematika).

Pada tahun 1926, Hilbert memperkenalkan perbedaan antara formula nyata dan ideal. Perbedaan ini tidak ada pada tahun 1922b dan hanya ditunjukkan pada tahun 1923. Pada yang terakhir, Hilbert pertama-tama menyajikan sistem formal teori bilangan bebas-kuantifier tentang yang ia katakan bahwa “Formula yang dapat dibuktikan yang kita peroleh dengan cara ini semuanya memiliki karakter terbatas”(1139). Kemudian aksioma transfinite (yaitu, quantifiers) ditambahkan untuk menyederhanakan dan melengkapi teori (1144). Di sini ia menggambar analogi dengan metode elemen ideal untuk pertama kalinya: “Dalam teori buktiku, aksioma dan rumus transfinite disatukan dengan aksioma terbatas, seperti halnya dalam teori variabel kompleks, elemen imajiner disatukan dengan real., dan seperti dalam geometri, konstruksi ideal disatukan dengan aktual”(ibid). Ketika Hilbert,pada tahun 1926 secara eksplisit memperkenalkan gagasan proposisi ideal, dan pada tahun 1928, ketika ia pertama kali berbicara tentang proposisi nyata di samping ideal, ia cukup jelas bahwa bagian sebenarnya dari teori hanya terdiri dari formula bebas variabel yang dapat ditentukan. Mereka seharusnya "secara langsung mampu melakukan verifikasi" -membawa proposal yang berasal dari hukum alam yang dapat diperiksa dengan eksperimen (1928, 475). Gambaran baru dari program ini adalah ini: Matematika klasik harus diformalkan dalam suatu sistem yang mencakup formalisasi dari semua proposisi yang dapat diverifikasi secara langsung (dengan perhitungan) dari teori angka terbatas yang puas. Bukti konsistensi harus menunjukkan bahwa semua proposisi nyata yang dapat dibuktikan dengan metode ideal adalah benar, yaitu, dapat diverifikasi secara langsung dengan perhitungan terbatas.(Bukti aktual seperti (varepsilon) - substitusi selalu seperti itu: sediakan prosedur keuangan yang menghilangkan elemen tak terbatas dari bukti pernyataan nyata, khususnya, dari (0 = 1).) Memang, Hilbert melihat bahwa sesuatu yang lebih kuat adalah benar: tidak hanya bukti konsistensi yang menetapkan kebenaran formula nyata yang dapat dibuktikan dengan metode ideal, tetapi juga menghasilkan bukti finansial dari proposisi umum finansial jika formula variabel bebasnya dapat diturunkan dengan metode ideal (1928, 474).tetapi ia menghasilkan bukti-bukti keuangan dari proposisi-proposisi umum finansial jika formula variabel bebasnya dapat diturunkan dengan metode-metode ideal (1928, 474).tetapi ia menghasilkan bukti-bukti keuangan dari proposisi-proposisi umum finansial jika formula variabel bebasnya dapat diturunkan dengan metode-metode ideal (1928, 474).

Hilbert menyarankan pembatasan lebih lanjut pada teori di samping konservatif: kesederhanaan, singkatnya bukti, "ekonomi pemikiran" dan produktivitas matematika. Sistem formal dari logika tak terbatas tidak sewenang-wenang: “Permainan formula ini dilakukan sesuai dengan aturan tertentu, di mana teknik pemikiran kita diungkapkan. […] Gagasan mendasar dari teori pembuktian saya tidak lain adalah untuk mendeskripsikan aktivitas pemahaman kami, untuk membuat protokol aturan yang sesuai dengan mana hasil pemikiran kami sebenarnya”(Hilbert, 1928, 475). Ketika Weyl (1928) akhirnya berpaling dari intuitionism (karena alasan itu, lihat Mancosu dan Ryckman, 2002), ia menekankan motivasi teori pembuktian Hilbert ini: untuk tidak mengubah matematika menjadi permainan simbol tanpa makna,tetapi untuk mengubahnya menjadi ilmu teoritis yang mengkodifikasi praktik ilmiah (matematika).

Formalisme Hilbert dengan demikian cukup canggih: Menghindari dua keberatan krusial: (1) Jika formula sistem tidak ada artinya, bagaimana bisa diturunkannya sistem itu menghasilkan kepercayaan? (2) Mengapa menerima sistem (PA) dan bukan sistem lain yang konsisten? Kedua keberatan itu akrab dari Frege; kedua pertanyaan itu (sebagian) dijawab oleh bukti konservatif untuk pernyataan nyata. Sebab (2), lebih jauh, Hilbert memiliki kriteria penerimaan yang naturalistik: kita dibatasi dalam pilihan sistem dengan pertimbangan kesederhanaan, kesuburan, keseragaman, dan oleh apa yang sebenarnya dilakukan oleh ahli matematika; Weyl akan menambahkan bahwa ujian akhir suatu teori adalah kegunaannya dalam fisika.

Sebagian besar filsuf penulisan matematika di Hilbert telah membacanya sebagai instrumentalis (termasuk Kitcher 1976, Resnik 1980, Giaquinto 1983, Sieg 1990, dan khususnya Detlefsen 1986) di mana mereka membaca penjelasan Hilbert bahwa proposisi ideal “tidak memiliki makna dalam diri mereka sendiri” (Hilbert, 1926, 381) mengklaim bahwa matematika klasik adalah instrumen belaka, dan bahwa pernyataan matematika tanpa batas tidak memiliki nilai kebenaran. Sejauh ini akurat, itu harus dipahami sebagai instrumentalisme metodologis: Eksekusi yang sukses dari program bukti-teori akan menunjukkan bahwa seseorang dapat berpura-pura seolah-olah matematika tidak ada artinya. Oleh karena itu analogi dengan fisika tidak: proposisi tak terbatas tidak memiliki makna sama seperti proposisi yang melibatkan istilah teoritis tidak memiliki makna, tetapi:Proposisi tak terbatas tidak memerlukan makna intuitif langsung seperti halnya seseorang tidak harus melihat elektron secara langsung untuk berteori tentangnya. Hallett (1990), dengan mempertimbangkan latar belakang matematika abad ke-19 dari mana Hilbert berasal serta sumber-sumber yang diterbitkan dan tidak dipublikasikan dari seluruh karier Hilbert (khususnya Hilbert 1992, diskusi paling luas tentang metode elemen-elemen ideal) sampai pada kesimpulan berikut.:

[Perlakuan Hilbert terhadap pertanyaan-pertanyaan filosofis] tidak dimaksudkan sebagai semacam agnostisisme instrumentalis tentang keberadaan dan kebenaran dan sebagainya. Sebaliknya, itu dimaksudkan untuk memberikan solusi non-skeptis dan positif untuk masalah seperti itu, solusi yang ditulis dalam istilah yang dapat diakses secara kognitif. Dan, tampaknya, solusi yang sama berlaku untuk teori matematika dan fisik. Begitu konsep-konsep baru atau "elemen-elemen ideal" atau istilah-istilah teoretis baru diterima, maka konsep-konsep itu ada dalam arti keberadaan entitas teoretis apa pun. (Hallett, 1990, 239)

4. Program Hilbert dan teorema ketidaklengkapan Gödel

Ada beberapa perdebatan tentang dampak teorema ketidaklengkapan Gödel pada Program Hilbert, dan apakah itu teorema ketidaklengkapan pertama atau kedua yang menghasilkan kudeta. Tidak diragukan lagi, pendapat mereka yang paling terlibat langsung dalam perkembangan itu yakin bahwa teorema itu memang memiliki dampak yang menentukan. Gödel mengumumkan teorema ketidaklengkapan kedua dalam abstrak yang diterbitkan pada Oktober 1930: tidak ada bukti konsistensi sistem seperti Principia, teori himpunan Zermelo-Fraenkel, atau sistem yang diselidiki oleh Ackermann dan von Neumann dimungkinkan oleh metode yang dapat dirumuskan dalam sistem ini. Dalam versi lengkap makalahnya, Gödel (1931) membiarkan terbuka kemungkinan bahwa mungkin ada metode keuangan yang tidak dapat diformalkan dalam sistem ini dan yang akan menghasilkan bukti konsistensi yang diperlukan. Reaksi pertama Bernays dalam sebuah surat kepada Gödel pada bulan Januari 1931 adalah juga bahwa “jika, seperti yang dilakukan von Neumann, orang menganggapnya pasti bahwa setiap dan setiap pertimbangan keuangan dapat diformalkan dalam sistem (P) - seperti Anda, saya rasa bahwa sama sekali tidak diselesaikan - seseorang sampai pada kesimpulan bahwa demonstrasi finisial tentang konsistensi (P) tidak mungkin”(Gödel, 2003a, 87).

Bagaimana teorema Gödel berdampak pada program Hilbert? Melalui pengkodean (“Gödel” -) yang hati-hati terhadap urutan simbol (rumus, bukti), Gödel menunjukkan bahwa dalam teori (T) yang mengandung aritmatika dalam jumlah yang cukup, dimungkinkan untuk menghasilkan rumus (Pr (x), y)) yang “mengatakan” bahwa (x) adalah (kode) bukti (rumus dengan kode) (y). Khususnya, jika (ulcorner 0 = 1 / urcorner) adalah kode rumus (0 = 1), maka (Con_T = / forall x / neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)) dapat diambil untuk “mengatakan” bahwa (T) konsisten (tidak ada nomor adalah kode derivasi dalam (T) dari (0 = 1)). Teorema ketidaklengkapan kedua (G2) mengatakan yang mengatakan bahwa berdasarkan asumsi tertentu tentang (T) dan peralatan pengkodean, (T) tidak membuktikan (Con_T). Sekarang anggaplah ada bukti konsistensi keuangan (T). Metode yang digunakan dalam bukti semacam itu mungkin akan diformalkan dalam (T). ("Dapat diformalkan" berarti bahwa, secara kasar, jika bukti menggunakan operasi finit (f) pada derivasi yang mengubah derivasi apa pun (D) menjadi derivasi (f (D)) dari bentuk sederhana; maka ada adalah rumus (F (x, y)) sehingga, untuk semua derivasi (D, T / vdash F (ulcorner D / urcorner, / ulcorner f (D) urcorner)).) Konsistensi dari (T) akan dinyatakan secara hipotesis sebagai hipotesis umum bahwa, jika (D) adalah urutan simbol yang diberikan, (D) bukan derivasi dalam (T) dari rumus (0 = 1). Formalisasi proposisi ini adalah rumus (neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)) di mana variabel (x) terjadi gratis. Jika ada bukti keuangan dari konsistensi (T), formalisasi akan menghasilkan derivasi dalam (T) dari (neg Pr_T (x,\ ulcorner 0 = 1 / urcorner)), dari mana (Con_T) dapat diturunkan dalam (T) dengan generalisasi universal sederhana pada (x). Namun, derivasi (Con_T) di (T) dikesampingkan oleh G2.

Seperti yang disebutkan di atas, pada awalnya Gödel dan Bernays berpikir bahwa kesulitan untuk bukti konsistensi (PA) dapat diatasi dengan menggunakan metode yang, meskipun tidak dapat diformalkan dalam (PA), tetap bersifat finansial. Apakah metode-metode seperti itu akan dianggap finititer sesuai dengan konsepsi asli finitisme atau merupakan perpanjangan dari sudut pandang finitist asli adalah masalah perdebatan. Metode baru yang dipertimbangkan termasuk versi finitari dari aturan (omega) - yang diajukan oleh Hilbert (1931b; 1931a). Adalah adil untuk mengatakan, bahwa setelah sekitar tahun 1934, hampir secara universal diterima bahwa metode pembuktian diterima sebagai hasil sebelum hasil Gödel semuanya dapat diformalkan dalam (PA). Perluasan sudut pandang finitist asli telah diusulkan dan dipertahankan atas dasar finansial yang luas, misalnya,Gentzen (1936) membela penggunaan induksi tak terbatas hingga (varepsilon_0) dalam bukti konsistensi untuk (PA) sebagai "tidak terbantahkan," Takeuti (1987) memberi pembelaan lain. Gödel (1958) menyajikan perpanjangan lain dari sudut pandang finitist; karya Kreisel yang disebutkan di atas dapat dilihat sebagai upaya lain untuk memperluas finitisme sambil mempertahankan semangat konsepsi asli Hilbert.

Upaya berbeda dalam memberikan jalan di sekitar teorema kedua Gödel untuk Program Hilbert diusulkan oleh Detlefsen (1986; 2001; 1979). Detlefsen menghadirkan beberapa garis pertahanan, salah satunya mirip dengan yang baru saja dijelaskan: dengan alasan bahwa versi (omega) - aturan dapat diterima secara finansial, meskipun tidak mampu diformalkan (namun, lihat Ignjatovic 1994). Argumen lain Detlefsen terhadap interpretasi umum teorema kedua Gödel berfokus pada gagasan formalisasi: Bahwa formalisasi khusus "(T) konsisten" dengan rumus Gödel (Con_T) tidak dapat dibuktikan tidak menyiratkan bahwa tidak mungkin ada ' t adalah formula lain, yang dapat dibuktikan dalam (T), dan yang memiliki hak untuk disebut "formalisasi konsistensi (T).”Ini bergantung pada formalisasi berbeda dari predikat predabilitas (Pr_T) daripada yang standar. Diketahui bahwa pernyataan konsistensi yang diformalkan tidak dapat dibuktikan kapan pun predabilitas predibilitas mematuhi kondisi derabilitas umum tertentu. Detlefsen berpendapat bahwa kondisi ini tidak diperlukan untuk predikat untuk dihitung sebagai predikat provabilitas asli, dan memang ada predikat provabilitas yang melanggar kondisi provabilitas dan yang memunculkan formula konsistensi yang dapat dibuktikan dalam teori yang sesuai. Akan tetapi, ini tergantung pada konsepsi provabilitas yang tidak standar yang kemungkinan tidak akan diterima oleh Hilbert (lihat juga Resnik 1974, Auerbach 1992 dan Steiner 1991). Diketahui bahwa pernyataan konsistensi yang diformalkan tidak dapat dibuktikan kapan pun predabilitas predibilitas mematuhi kondisi derabilitas umum tertentu. Detlefsen berpendapat bahwa kondisi ini tidak diperlukan untuk predikat untuk dihitung sebagai predikat provabilitas asli, dan memang ada predikat provabilitas yang melanggar kondisi provabilitas dan yang memunculkan formula konsistensi yang dapat dibuktikan dalam teori yang sesuai. Akan tetapi, ini tergantung pada konsepsi provabilitas yang tidak standar yang kemungkinan tidak akan diterima oleh Hilbert (lihat juga Resnik 1974, Auerbach 1992 dan Steiner 1991). Diketahui bahwa pernyataan konsistensi yang diformalkan tidak dapat dibuktikan kapan pun predabilitas predibilitas mematuhi kondisi derabilitas umum tertentu. Detlefsen berpendapat bahwa kondisi ini tidak diperlukan untuk predikat untuk dihitung sebagai predikat provabilitas asli, dan memang ada predikat provabilitas yang melanggar kondisi provabilitas dan yang memunculkan formula konsistensi yang dapat dibuktikan dalam teori yang sesuai. Akan tetapi, ini tergantung pada konsepsi provabilitas yang tidak standar yang kemungkinan tidak akan diterima oleh Hilbert (lihat juga Resnik 1974, Auerbach 1992 dan Steiner 1991).dan memang ada predikat predabilitas yang melanggar kondisi provabilitas dan yang memunculkan formula konsistensi yang dapat dibuktikan dalam teorinya yang sesuai. Akan tetapi, ini tergantung pada konsepsi provabilitas yang tidak standar yang kemungkinan tidak akan diterima oleh Hilbert (lihat juga Resnik 1974, Auerbach 1992 dan Steiner 1991).dan memang ada predikat predabilitas yang melanggar kondisi provabilitas dan yang memunculkan formula konsistensi yang dapat dibuktikan dalam teorinya yang sesuai. Akan tetapi, ini tergantung pada konsepsi provabilitas yang tidak standar yang kemungkinan tidak akan diterima oleh Hilbert (lihat juga Resnik 1974, Auerbach 1992 dan Steiner 1991).

Smorynski (1977) berpendapat bahwa teorema ketidaklengkapan pertama telah mengalahkan Program Hilbert. Tujuan Hilbert bukan hanya untuk menunjukkan bahwa matematika formal adalah konsisten, tetapi untuk melakukannya dengan cara tertentu dengan menunjukkan bahwa matematika ideal tidak pernah dapat mengarah pada kesimpulan yang tidak sesuai dengan matematika nyata. Dengan demikian, agar berhasil, matematika ideal harus konservatif daripada bagian yang sebenarnya: kapan pun matematika ideal yang diformalkan membuktikan formula nyata (P, P) itu sendiri (atau proposisi finansial yang diungkapkannya) harus dapat dibuktikan secara finansial. Untuk Smorynski, rumus nyata mencakup tidak hanya persamaan numerik dan kombinasinya, tetapi juga rumus umum dengan variabel bebas tetapi tanpa pengukur yang tidak terikat.

Sekarang teorema ketidaklengkapan pertama Gödel (G1) menyatakan bahwa untuk setiap teori formal yang cukup kuat dan konsisten (S) terdapat kalimat (G_S) yang benar tetapi tidak diturunkan dalam (S). (G_S) adalah kalimat nyata sesuai dengan definisi Smorynski. Sekarang pertimbangkan sebuah teori (T) yang memformalkan matematika ideal dan sub-teorinya (S) yang memformalkan matematika nyata. (S) memenuhi kondisi G1 dan karenanya (S) tidak berasal (G_S). Namun, (T), menjadi formalisasi semua matematika (termasuk apa yang diperlukan untuk melihat bahwa (G_S) adalah benar), tidak diturunkan (G_S). Oleh karena itu, kami memiliki pernyataan nyata yang dapat dibuktikan dalam matematika ideal dan bukan dalam matematika nyata.

Detlefsen (1986, Lampiran; lihat juga 1990) telah membela Program Hilbert terhadap argumen ini juga. Detlefsen berpendapat bahwa instrumentalisme “Hilbertian” lolos dari argumen G1 dengan menyangkal bahwa matematika ideal harus konservatif daripada bagian yang sebenarnya; semua yang diperlukan adalah kesehatan nyata. Instrumentalisme Hilbertian hanya mensyaratkan bahwa teori ideal tidak membuktikan apa pun yang bertentangan dengan teori nyata; tidak diharuskan untuk membuktikan hanya pernyataan nyata yang juga dibuktikan oleh teori sebenarnya. (Lihat Zach 2006 untuk informasi lebih lanjut tentang masalah konservatif dan konsistensi, bagian yang relevan dalam entri pada Gödel untuk diskusi lebih lanjut, Frank 2009 untuk pertahanan terkait dan evaluasi ulang proyek Hilbert, dan McCarthy 2016 untuk pendekatan alternatif terhadap provabilitas konsistensi dan G2 karena Gödel sendiri.)

5. Program Hilbert yang Direvisi

Sekalipun tidak ada bukti konsistensi aritmatika yang dapat diberikan, pertanyaan untuk menemukan bukti konsistensi tetap bernilai: metode yang digunakan dalam bukti semacam itu, meskipun mereka harus melampaui rasa finitisme asli Hilbert, mungkin memberikan wawasan asli ke dalam konten konstruktif dari teori aritmatika dan lebih kuat. Apa yang ditunjukkan hasil Gödel adalah bahwa tidak ada bukti konsistensi absolut dari semua matematika; karenanya bekerja dalam teori bukti setelah Gödel berkonsentrasi pada hasil relatif, baik: relatif terhadap sistem yang diberikan bukti konsistensi, dan relatif terhadap metode bukti yang digunakan.

Teori bukti reduktif dalam pengertian ini telah mengikuti dua tradisi: yang pertama, terutama dilakukan oleh ahli teori bukti mengikuti Gentzen dan Schütte, telah mengejar program apa yang disebut analisis ordinal, dan dicontohkan oleh bukti konsistensi pertama Gentzen dari (PA) dengan induksi hingga (varepsilon_0. / varepsilon_0) adalah ordinal transfinite (meskipun dapat dihitung), namun, "induksi hingga (varepsilon_0)" dalam arti yang digunakan di sini bukanlah prosedur yang benar-benar transfinite. Analisis ordinal tidak beroperasi dengan bilangan ordinal yang tak terbatas, melainkan dengan sistem notasi ordinal yang dengan sendirinya dapat diformalkan dalam sistem yang sangat lemah (pada dasarnya, finansial). Analisis ordinal sistem (T) diberikan jika:(a) seseorang dapat menghasilkan sistem notasi ordinal yang meniru ordinal kurang dari beberapa ordinal (alpha_T) sehingga (b) dapat dibuktikan secara finansial bahwa formalisasi (TI (alpha_T)) dari prinsip induksi hingga (alpha_T) menyiratkan konsistensi (T) (yaitu, (S / vdash TI (alpha_T) rightarrow Con_T)) dan (c) (T) membuktikan (TI (beta)) untuk semua (beta / lt / alpha_T) ((S) adalah teori yang memformalkan metamathematika keuangan dan umumnya merupakan sub-teori lemah dari (T)). Untuk memiliki signifikansi mendasar, juga diperlukan bahwa seseorang dapat memberikan argumen konstruktif untuk induksi transfinite hingga (alpha_T). Seperti yang disebutkan di atas, ini dilakukan untuk oleh Gentzen dan Takeuti untuk (varepsilon_0), bukti teoretis ordinal dari (PA),tetapi menjadi lebih sulit dan signifikansi filosofis semakin dipertanyakan untuk teori yang lebih kuat.

Kelanjutan filosofis yang lebih memuaskan dari Program Hilbert dalam istilah teori bukti telah dikemukakan oleh Kreisel (1983; 1968) dan Feferman (Feferman, 1988; Feferman, 1993a). Karya ini berasal dari konsepsi yang lebih luas dari Program Hilbert sebagai upaya untuk membenarkan matematika ideal dengan cara terbatas. Dalam konsepsi ini, tujuan teori pembuktian Hilbert adalah untuk menunjukkan bahwa, setidaknya sejauh kelas tertentu dari proposisi nyata yang bersangkutan, matematika ideal tidak melampaui matematika nyata. Bukti konsistensi finansial dari jenis yang dibayangkan oleh Hilbert akan mencapai hal ini: jika matematika ideal membuktikan proposisi nyata, maka proposisi ini sudah dapat dibuktikan dengan metode nyata (yaitu, finansial). Dalam arti tertentu ini mengurangi matematika ideal menjadi matematika nyata. Pengurangan teori-bukti teori (T) menjadi teori (S) menunjukkan bahwa, sejauh menyangkut kelas proposisi tertentu, jika (T) membuktikan proposisi, maka (S) membuktikannya juga, dan bukti dari fakta ini sendiri bersifat fana. Program pembuktian teori Hilbert kemudian dapat dilihat sebagai pencarian untuk pembuktian teoritik pembuktian dari semua matematika menjadi matematika finiter; dalam program yang dinisbikan, orang mencari pengurangan teori yang lebih lemah dari semua matematika klasik ke teori yang sering lebih kuat dari matematika finiter. Para ahli teori bukti telah memperoleh sejumlah hasil seperti itu, termasuk reduksi teori-teori yang menurut mereka memerlukan sejumlah besar matematika ideal untuk pembenaran mereka (misalnya, subsistem analisis) ke sistem keuangan. (Feferman,1993b) telah menggunakan hasil tersebut dalam kombinasi dengan hasil lain yang menunjukkan bahwa sebagian besar, jika tidak semua, matematika yang dapat diterapkan secara ilmiah dapat dilakukan dalam sistem di mana pengurangan tersebut tersedia untuk membantah argumen yang sangat diperlukan dalam filosofi matematika. Signifikansi filosofis dari pengurangan teoritik bukti seperti saat ini menjadi bahan perdebatan (Hofweber, 2000; Feferman, 2000).

Program yang disebut matematika terbalik yang dikembangkan oleh, khususnya, Friedman dan Simpson, adalah kelanjutan lain dari program Hilbert. Dalam menghadapi hasil Gödel yang menunjukkan bahwa tidak semua matematika klasik dapat direduksi menjadi finitary, mereka berusaha menjawab pertanyaan: berapa banyak matematika klasik yang dapat dikurangi? Matematika terbalik berusaha untuk memberikan jawaban yang tepat untuk pertanyaan ini dengan menyelidiki teorema matematika klasik mana yang terbukti dalam subsistem analisis yang lemah yang dapat direduksi menjadi matematika finiter (dalam pengertian yang dibahas dalam paragraf sebelumnya). Hasil khas adalah bahwa teorema analisis fungsional Hahn-Banach terbukti dalam teori yang dikenal sebagai (WKL_0) (untuk "lem König lemma" lemah); (WKL_0) lebih konservatif daripada (PRA) untuk kalimat (Pi ^ {0} _2) (yaitu,kalimat dari bentuk (forall x / ada yA (x, y)). (Lihat Simpson 1988 untuk ikhtisar dan Simpson 1999 untuk perawatan teknis.)

Bibliografi

Versi diperpanjang dari revisi pertama entri ini dapat ditemukan di Zach (2006).

  • Ackermann, Wilhelm, 1924, “Begründung des” tertium non datur “sarung tangan der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit”, Mathematische Annalen, 93: 1–36.
  • Auerbach, David, 1992, “Bagaimana mengatakan sesuatu dengan formalisme”, dalam Bukti, Logika, dan Formalisasi, Michael Detlefsen, ed., London: Routledge, 77–93.
  • Avigad, Jeremy, 2003, "Teori bilangan dan aritmatika dasar", Philosophia Mathematica, 11: 257–284. [Preprint tersedia online]
  • Bernays, Paul, 1922, “Über Hilberts Gedanken zur Grundlegung der Arithmetik”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 31: 10–19. Terjemahan bahasa Inggris dalam bahasa Mancosu (1998a, 215–222).
  • –––, 1923, “Erwiderung auf die Note von Herrn Aloys Müller: Über Zahlen als Zeichen”, Mathematische Annalen, 90: 159–63. Terjemahan bahasa Inggris di Mancosu (1998a, 223-226).
  • –––, 1928a, “Über Nelsons Stellungnahme in der Philosophie der Mathematik”, Die Naturwissenschaften, 16: 142–45.
  • –––, 1928b, “Zusatz zu Hilberts Vortrag über 'Die Grundlagen der Mathematik'”, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 88–92. Terjemahan bahasa Inggris di: van Heijenoort (1967, 485–489).
  • –––, 1930, “Die Philosophie der Mathematik und die Hilbertsche Beweistheorie”, Blätter für deutsche Philosophie, 4: 326–67. Dicetak ulang di Bernays (1976, 17-61). Terjemahan bahasa Inggris dalam bahasa Mancosu (1998a, 234–265).
  • –––, 1976, Abhandlungen zur Philosophie der Mathematik, Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.
  • Dean, Walter, 2015, “Refleksi aritmatika dan kemampuan kesehatan”, Philosophia Mathematica, 23: 31-64, doi: 10.1093 / philmat / nku026
  • Detlefsen, Michael, 1979, "Tentang menafsirkan teorema kedua Gödel", Journal of Philosophical Logic, 8: 297–313. Dicetak ulang dengan catatan tambahan di Shanker (1988, 131–154).
  • –––, 1986, Program Hilbert, Dordrecht: Reidel.
  • –––, 1990, “Pada dugaan bantahan terhadap program Hilbert menggunakan teorema ketidaklengkapan pertama Gödel”, Journal of Philosophial Logic, 19: 343–377.
  • –––, 2001, “Apa yang dikatakan teorema kedua Gödel?”, Philosophia Mathematica, 9: 37–71.
  • Ewald, William Bragg (ed.), 1996, Dari Kant ke Hilbert. Buku Sumber di Yayasan Matematika, vol. 2, Oxford: Oxford University Press.
  • Ewald, William Bragg dan Wilfried Sieg (eds.), 2013, David Hilbert's Lectures on Foundations of Arithmetic and Logic 1917–1933, Berlin dan Heidelberg: Springer.
  • Feferman, Solomon, 1988, “Program Hilbert direlatifikasi: pengurangan bukti-teoretis dan fondasional”, Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 364–284.
  • –––, 1993a, “Apa yang ada di atas apa? Analisis bukti-teori matematika”, dalam Philosophy of Mathematics. Prosiding International Wittgenstein-Symposium ke-15, Bagian 1, Johannes Czermak, ed., Vienna: Hölder-Pichler-Tempsky, 147–171. Dicetak ulang di Feferman (1998, Bab 10, 187-208). [Preprint tersedia online].
  • –––, 1993b, “Mengapa sedikit berjalan jauh: Fondasi logis dari matematika yang dapat diterapkan secara ilmiah”, PSA 1992, 2: 442–455. Dicetak ulang di Feferman (1998, Bab 14, 284–298). [Preprint tersedia online].
  • –––, 1998, Dalam Terang Logika, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2000, “Apakah teori bukti reduktif memiliki alasan yang masuk akal?”, Erkenntnis, 53: 63–96. [Preprint tersedia online].
  • Franks, Curtis, 2009, Otonomi Pengetahuan Matematika: Program Hilbert Revisited, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Ganea, Mihai, 2010, “Dua (atau tiga) gagasan tentang finitisme”, Review of Symbolic Logic, 3: 119–144.
  • Gentzen, Gerhard, 1936, “Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie”, Mathematische Annalen, 112: 493–565. Terjemahan bahasa Inggris di Gentzen (1969, 132–213).
  • –––, 1969, The Collected Papers of Gerhard Gentzen, Amsterdam: Belanda Utara.
  • Giaquinto, Marcus, 1983, "filsafat matematika Hilbert", British Journal for Philosophy of Science, 34: 119–132.
  • Gödel, Kurt, 1931, “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”, Monatshefte für Mathematik und Physik, 38: 173–198. Dicetak ulang dan diterjemahkan dalam Gödel (1986, 144–195).
  • –––, 1958, “Über eine bisher noch nicht benütze Erweiterung des finiten standpunktes”, Dialectica, 280–287. Dicetak ulang dan diterjemahkan dalam Gödel (1990, 217–251).
  • –––, 1986, Collected Works, vol. 1, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 1990, Collected Works, vol. 2, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2003, Collected Works, vol. 4, Oxford: Oxford University Press.
  • Hallett, Michael, 1990, "Fisikisme, reduksionisme dan Hilbert", dalam Fisikaisme dalam Matematika, Andrew D. Irvine, ed., Dordrecht: Reidel, 183-257.
  • Hilbert, David, 1899, “Grundlagen der Geometrie”, di Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals di Göttingen, Leipzig: Teubner, 1–92, edisi pertama.
  • –––, 1900a, “Mathematische Probleme”, Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Math.-Phys. Klasse, 253–297. Ceramah yang diberikan di Kongres Internasional Matematikawan, Paris, 1900. Terjemahan bahasa Inggris parsial di Ewald (1996, 1096-1105).
  • –––, 1900b, “Über den Zahlbegriff”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 8: 180-184. Terjemahan bahasa Inggris di Ewald (1996, 1089-1096).
  • –––, 1905, “Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik”, di Verhandlungen des dritten Internationalen Mathematiker-Kongresses di Heidelberg vom 8. bis 13. Agustus 1904, A. Krazer, ed., Leipzig, Teubner, 174–85. Terjemahan bahasa Inggris di van Heijenoort (1967, 129–138).
  • –––, 1918a, “Axiomatisches Denken”, Mathematische Annalen, 78: 405–15. Ceramah yang diberikan di Masyarakat Matematikawan Swiss, 11 September 1917. Dicetak ulang di Hilbert (1935, 146–156). Terjemahan bahasa Inggris di Ewald (1996, 1105–1115).
  • –––, 1918b, “Prinzipien der Mathematik”, catatan Kuliah oleh Paul Bernays. Musim Dingin-Semester 1917/18. Naskah. Bibliothek, Mathematisches Institute, Universität Göttingen. Diedit dalam Ewald dan Sieg (2013, 59–221)..
  • –––, 1922a, “Grundlagen der Mathematik”, Vorlesung, Musim Dingin-Semester 1921/22. Catatan kuliah oleh Paul Bernays. Naskah. Bibliothek, Mathematisches Institute, Universität Göttingen. Diedit dalam Ewald dan Sieg (2013, 431–527).
  • –––, 1922b, “Neubegründung der Mathematik: Erste Mitteilung”, Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 1: 157–177. Serangkaian pembicaraan diberikan di Universitas Hamburg, 25-27 Juli 1921. Dicetak ulang dengan catatan Bernays di Hilbert (1935, 157–177). Terjemahan bahasa Inggris dalam bahasa Mancosu (1998a, 198–214) dan Ewald (1996, 1115–1134).
  • –––, 1923, “Die logischen Grundlagen der Mathematik”, Mathematische Annalen, 88: 151–165. Ceramah yang diberikan di Deutsche Naturforscher-Gesellschaft, September 1922. Dicetak ulang di Hilbert (1935, 178–191). Terjemahan bahasa Inggris di Ewald (1996, 1134–1148).
  • –––, 1926, “Über das Unendliche”, Mathematische Annalen, 95: 161–190. Ceramah yang diberikan Münster, 4 Juni 1925. Terjemahan bahasa Inggris dalam van Heijenoort (1967, 367-392).
  • –––, 1928, “Die Grundlagen der Mathematik”, Abhandlungen aus dem Seminar der Hamburgischen Universität, 6: 65–85. Dicetak ulang di Ewald dan Sieg (2013, 917–942). Terjemahan bahasa Inggris di van Heijenoort (1967, 464-479).
  • –––, 1929, “Probleme der Grundlegung der Mathematik”, Mathematische Annalen, 102: 1-9. Ceramah yang diberikan di Kongres Internasional Matematikawan, 3 September 1928. Dicetak ulang di Ewald dan Sieg (2013, 954–966). Terjemahan bahasa Inggris dalam bahasa Mancosu (1998a, 227–233).
  • –––, 1931a, “Beweis des Tertium non datur”, Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Matematika-fisik. Klasse, 120-125. Dicetak ulang di Ewald dan Sieg (2013, 967-982).
  • –––, 1931b, “Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre”, Mathematische Annalen, 104: 485–494. Dicetak ulang di Hilbert (1935, 192–195) dan Ewald dan Sieg (2013, 983–990). Terjemahan bahasa Inggris di Ewald (1996, 1148-1157).
  • –––, 1935, Gesammelte Abhandlungen, vol. 3, Berlin: Springer.
  • –––, 1992, Natur und mathematisches Erkennen, Basel: Birkhäuser. Vorlesungen, 1919–2020.
  • Hilbert, David dan Ackermann, Wilhelm, 1928, Grundzüge der theoretischen Logik, Berlin: Springer.
  • Hilbert, David dan Bernays, Paul, 1923, “Logische Grundlagen der Mathematik”, Vorlesung, Winter-Semester 1922-23. Catatan kuliah oleh Paul Bernays, dengan catatan tulisan tangan oleh Hilbert. Hilbert-Nachlaß, Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Cod. Ms. Hilbert 567.
  • –––, 1934, Grundlagen der Mathematik, vol. 1, Berlin: Springer.
  • –––, 1939, Grundlagen der Mathematik, vol. 2, Berlin: Springer.
  • Hofweber, Thomas, 2000, "Reduksi bukti-teoretis sebagai alat filsuf", Erkenntnis, 53: 127–146.
  • Ignjatovic, Aleksandar, 1994, "Program Hilbert dan aturan omega", Journal of Symbolic Logic, 59: 322–343.
  • Kitcher, Philip, 1976, “epistemologi Hilbert”, Philosophy of Science, 43: 99–115.
  • Kreisel, Georg, 1960, "Logika ordinal dan karakterisasi gagasan informal pembuktian", dalam Prosiding International Congress of Mathematicians. Edinburgh, 14–21 Agustus 1958, JA Todd, ed., Cambridge: Cambridge University Press, 289–299.
  • –––, 1968, “Sebuah survei teori pembuktian”, Journal of Symbolic Logic, 33: 321–388.
  • –––, 1970, “Prinsip pembuktian dan tata cara tersirat dalam konsep yang diberikan”, dalam Intuitionism and Proof Theory, A. Kino, J. Myhill, dan RE Veseley, eds., Amsterdam, Belanda Utara.
  • –––, 1983, “program Hilbert”, dalam bidang Filsafat Matematika, Paul Benacerraf dan Hilary Putnam, eds., Cambridge: Cambridge University Press, 207–238, edisi kedua.
  • Mancosu, Paolo (ed.), 1998a, Dari Brouwer ke Hilbert. Debat tentang Yayasan Matematika pada 1920-an, Oxford: Oxford University Press.
  • Mancosu, Paolo, 1998b, “Hilbert and Bernays on Metamathematics”, dalam (Mancosu, 1998a), 149–188. Dicetak ulang di Mancosu (2010).
  • –––, 1999, “Antara Russell dan Hilbert: Behmann tentang fondasi matematika”, Bulletin of Symbolic Logic, 5 (3): 303–330. Dicetak ulang di Mancosu (2010).
  • –––, 2010, The Adventure of Reason: Interaksi antara Filsafat Matematika dan Logika Matematika, 1900–1940, Oxford: Oxford University Press.
  • Mancosu, Paolo dan Ryckman, Thomas, 2002, "Matematika dan fenomenologi: Korespondensi antara O. Becker dan H. Weyl", Philosophia Mathematica, 10: 130-202. Dicetak ulang di Mancosu (2010).
  • McCarthy, T., 2016, “teorema ketidaklengkapan ketiga Gödel”, Dialectica 70: 87–112.
  • Parsons, Charles, 1998, “Finitisme dan pengetahuan intuitif”, dalam The Philosophy of Mathematics Today, Matthias Schirn, ed., Oxford: Oxford University Press, 249–270.
  • –––, 2007, Pemikiran Matematika dan Objeknya, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Patton, Lydia, 2014, “Objektivitas Hilbert”, Historia Mathematica, 41 (2): 188–203.
  • Peckhaus, Volker, 1990, Hilbertprogramm und Kritische Philosophie, Göttingen: Vandenhoeck und Ruprecht.
  • Poincaré, Henri, 1906, “Les mathématiques et la logique”, Revue de métaphysique et de morale, 14: 294–317. Terjemahan bahasa Inggris di Ewald (1996, 1038–1052).
  • Resnik, Michael D., 1974, "Tentang signifikansi filosofis bukti konsistensi", Journal of Philosophical Logic, 3: 133-47.
  • –––, 1980, Frege dan Filsafat Matematika, Ithaca: Cornell University Press.
  • Shanker, Stuart G., 1988, Teorema Gödel di Fokus, London: Routledge.
  • Sieg, Wilfried, 1990, “Reflection on Hilbert's program”, dalam Acting and Reflecting, Wilfried Sieg, ed., Dordrecht: Kluwer, 171–82. Dicetak ulang di Sieg (2013).
  • –––, 1999, “Program Hilbert: 1917–1922”, Buletin Simbolik Logika, 5 (1): 1–44. Dicetak ulang di Sieg (2013).
  • –––, 2013, Program Hilbert's and Beyond, New York: Oxford University Press.
  • Simpson, Stephen G., 1988, "Realisasi sebagian dari program Hilbert", Journal of Symbolic Logic, 53 (2): 349-363.
  • –––, 1999, Subsistem Aritmatika Orde Kedua, Berlin: Springer.
  • Smorynski, Craig, 1977, “Teorema ketidaklengkapan”, dalam Handbook of Mathematical Logic, Jon Barwise, ed., Amsterdam: Belanda Utara, 821–865.
  • Steiner, Mark, 1975, Pengetahuan Matematika, Ithaca: Cornell University Press.
  • –––, 1991, “Tinjauan Program Hilbert: Sebuah Esai tentang Instrumentalisme Matematika (Detlefsen, 1986)”, Journal of Philosophy, 88 (6): 331–336.
  • Tait, WW, 1981, "Finitism", Journal of Philosophy, 78: 524-546. Dicetak ulang di Tait (2005a, 21–42).
  • –––, 2002, “Keterangan tentang finitisme”, dalam Refleksi Yayasan Matematika. Esai untuk Kehormatan Solomon Feferman, Wilfried Sieg, Richard Sommer, dan Carolyn Talcott, eds., Association for Symbolic Logic, LNL 15. Dicetak ulang di Tait (2005a, 43-53). [Preprint tersedia online]
  • –––, 2005a, The Provenance of Pure Reason: Esai dalam Filsafat Matematika dan Sejarahnya, New York: Oxford University Press.
  • –––, 2005b, “Lampiran untuk Bab 1 dan 2,” dalam Tait (2005a, 54–60)
  • Takeuti, Gaisi, 1987, Proof Theory (Studi dalam Logika: 81), Amsterdam: Belanda Utara, edisi ke-2
  • van Heijenoort, Jean (ed.), 1967, Dari Frege ke Gödel. Sebuah Buku Sumber dalam Logika Matematika, 1897–1931, Cambridge, Mass.: Harvard University Press.
  • von Neumann, Johann, 1927, “Zur Hilbertschen Beweistheorie”, Mathematische Zeitschrift, 26: 1–46.
  • Weyl, Hermann, 1921, “Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik”, Mathematische Zeitschrift, 10: 37–79. Dicetak ulang di Weyl (1968, 143-180). Terjemahan bahasa Inggris di Mancosu (1998a, 86-118).
  • –––, 1925, “Die heutige Erkenntnislage in der Mathematik”, Symposion, 1: 1–23. Dicetak ulang di: Weyl (1968, 511-42). Terjemahan bahasa Inggris di: Mancosu (1998a, 123–42).
  • –––, 1928, “Diskussionsbemerkungen zu dem zweiten Hilbertschen Vortrag über die Grundlagen der Mathematik”, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 6: 86-88. Terjemahan bahasa Inggris di van Heijenoort (1967, 480-484).
  • –––, 1968, Gesammelte Abhandlungen, vol. 1, Berlin: Springer Verlag.
  • Zach, Richard, 1999, "Kelengkapan sebelum Post: Bernays, Hilbert, dan pengembangan logika proposisional", Bulletin of Symbolic Logic, 5 (3): 331-366. [Preprint tersedia online]
  • –––, 2003, “Praktek finitisme. Kalkulus Epsilon dan bukti konsistensi dalam Program Hilbert”, Synthese, 137: 211–259. [Preprint tersedia online]
  • –––, 2004, “Hilbert's 'Verunglückter Beweis,' teorema epsilon pertama, dan bukti konsistensi”, History and Philosophy of Logic, 25: 79–94. [Preprint tersedia online]
  • –––, 2006, “Program Hilbert dulu dan sekarang”, dalam: Dale Jacquette, ed., Philosophy of Logic. Buku Pegangan dari Philosophy of Science, vol. 5. Amsterdam: Elsevier, 411-447. [Preprint tersedia online]

Alat Akademik

ikon sep man
ikon sep man
Cara mengutip entri ini.
ikon sep man
ikon sep man
Pratinjau versi PDF dari entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Internet Ontology Philosophy Project (InPhO).
ikon makalah phil
ikon makalah phil
Bibliografi yang disempurnakan untuk entri ini di PhilPapers, dengan tautan ke basis datanya.

Sumber Daya Internet lainnya

[Silakan hubungi penulis dengan saran.]

Direkomendasikan: