Logika Fuzzy

Daftar Isi:

Logika Fuzzy
Logika Fuzzy

Video: Logika Fuzzy

Video: Logika Fuzzy
Video: Fuzzy Logic Toolbox 2024, Maret
Anonim

Navigasi Masuk

  • Isi Entri
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratinjau PDF Teman
  • Penulis dan Info Kutipan
  • Kembali ke atas

Logika Fuzzy

Diterbitkan pertama Sel pada 15 Nov 2016; revisi substantif Sel 18 Jul 2017

Logika fuzzy dimaksudkan untuk memodelkan penalaran logis dengan pernyataan yang tidak jelas atau tidak tepat seperti "Petr masih muda (kaya, tinggi, lapar, dll.)". Ini mengacu pada keluarga logika bernilai tinggi (lihat entri pada logika bernilai banyak) dan dengan demikian menetapkan bahwa nilai kebenaran (yang, dalam hal ini setara dengan tingkat kebenaran) dari proposisi yang secara logis majemuk, seperti “Carles tinggi dan Chris kaya”, ditentukan oleh nilai kebenaran komponennya. Dengan kata lain, seperti dalam logika klasik, seseorang memaksakan fungsionalitas kebenaran.

Logika fuzzy muncul dalam konteks teori set fuzzy, diperkenalkan oleh Zadeh (1965). Set fuzzy menetapkan derajat keanggotaan, biasanya bilangan real dari interval ([0,1]), ke elemen alam semesta. Logika fuzzy muncul dengan memberikan derajat kebenaran pada proposisi. Seperangkat nilai kebenaran standar (derajat) adalah ([0,1]), di mana (0) mewakili "benar-benar salah", (1) mewakili "sepenuhnya benar", dan angka-angka lain merujuk ke parsial kebenaran, yaitu tingkat kebenaran menengah. [1]

"Logika fuzzy" sering dipahami dalam arti yang sangat luas yang mencakup semua jenis formalisme dan teknik yang mengacu pada penanganan sistematis beberapa jenis (lihat, misalnya, Nguyen & Walker 2000). Khususnya dalam konteks teknik (kontrol fuzzy, klasifikasi fuzzy, komputasi lunak) itu ditujukan untuk metode komputasi yang efisien toleran terhadap suboptimalitas dan ketidaktepatan (lihat, misalnya, Ross 2010). Entri ini berfokus pada logika fuzzy dalam arti sempit, didirikan sebagai disiplin logika matematika mengikuti monografi mani oleh Petr Hájek (1998) dan saat ini biasanya disebut sebagai "logika fuzzy matematika" (lihat Cintula, Fermüller, Hájek, & Noguera 2011 dan 2015). Ini berfokus pada logika berdasarkan pada akun fungsional-kebenaran dari kebenaran parsial dan mempelajarinya dalam semangat logika matematika klasik (sintaksis,memodelkan semantik teoritik, sistem pembuktian, kelengkapan, dll.; keduanya, pada tingkat proposisional dan predikat).

  • 1. Konektivitas fuzzy berdasarkan pada t-norms
  • 2. MTL: Logika fuzzy mendasar
  • 3. Logika Łukasiewicz
  • 4. Logika Gödel-Dummett
  • 5. Logika fuzzy terkenal lainnya
  • 6. Predikat logika
  • 7. Semantik aljabar
  • 8. Teori pembuktian
  • 9. Semantik membenarkan fungsi kebenaran
  • 10. Logika dan ketidakjelasan kabur
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Daya Internet lainnya
  • Entri terkait

1. Konektivitas fuzzy berdasarkan pada t-norms

Seperangkat derajat kebenaran standar untuk logika fuzzy adalah interval satuan nyata ([0,1]) dengan urutan alaminya (leq), mulai dari kepalsuan total (diwakili oleh (0)) hingga kebenaran total (diwakili oleh (1)) melalui rangkaian derajat kebenaran menengah. Asumsi yang paling mendasar dari logika fuzzy matematis (arus utama) adalah bahwa penghubung harus ditafsirkan kebenaran secara fungsional di atas serangkaian derajat kebenaran. Fungsi kebenaran seperti itu diasumsikan berperilaku klasik pada nilai-nilai ekstrem (0) dan (1). Perilaku konjungsi dan disjungsi yang sangat alami dicapai dengan memaksakan (x / land y = / min {x, y }) dan (x / lor y = / max {x, y }) untuk masing-masing (x, y / dalam [0,1]).

Konjungsi lain, non-idempoten, konjungsi (&) biasanya ditambahkan untuk menjelaskan intuisi bahwa penerapan hipotesis benar sebagian dua kali dapat menyebabkan tingkat kebenaran yang berbeda dari menggunakannya hanya sekali. Konjungsi seperti itu biasanya ditafsirkan oleh operasi biner pada ([0,1]), yang tidak selalu idempoten, tetapi masih asosiatif, komutatif, tidak menurun dalam kedua argumen dan memiliki (1) sebagai elemen netral. Operasi ini disebut norma-t (norma segitiga) dan sifat matematika mereka telah dipelajari secara menyeluruh (misalnya, oleh Klement, Mesiar, & Pap 2000). Contoh-contoh penting dari t-norm adalah fungsi yang telah disebutkan (min), produk standar dari bilangan real, dan t-norma Łukasiewicz: (x * _ {Ł} y = / max {x + y- 1,0 }). Ketiga norma-t ini sebenarnya merupakan fungsi kontinu dan norma-kontinu lainnya dapat digambarkan sebagai jumlah ordinal dari ketiga norma dasar ini (lihat, Ling 1965; Mostert & Shields 1957).

Negasi ditafsirkan oleh penugasan fungsi yang tidak meningkat (0) ke (1) dan sebaliknya; pilihan yang biasa adalah negasi Łukasiewicz (neg_ {Ł} x = 1 - x) dan negasi Gödel: (neg_ / mathrm {G} 0 = 1) dan (neg_ / mathrm {G} x = 0) untuk setiap (x> 0). Juga biasa untuk memperkenalkan simbol konstan (overline {0}) untuk kepalsuan total, karenanya ditafsirkan sebagai (0). Akhirnya, pilihan yang cocok untuk implikasi adalah residuum t-norm (ast), yaitu fungsi unik (Rightarrow) yang memenuhi apa yang disebut kondisi residuasi: (x / ast y / leq z), jika dan hanya jika, (x / leq y / Rightarrow z). Fungsi seperti itu ada (dan didefinisikan sebagai (x / Rightarrow y = / max {z / mid x / ast z / leq y })) jika, dan hanya jika, norma-t dibiarkan terus-menerus.

2. MTL: Logika fuzzy mendasar

Logika terlemah dengan koneksi yang ditafsirkan oleh fungsi kebenaran dari tipe yang dijelaskan di atas adalah MTL (Monoidal T-norm based Logic, Esteva & Godo 2001). Ini adalah logika dengan penghubung primitif (mathbin { &}, / to, / wedge,) dan (overline {0}), dan penghubung derivatif didefinisikan sebagai:) begin {align} varphi / lor / psi & = ((varphi / to / psi) to / psi) land ((psi / to / varphi) to / varphi), \\ / neg / varphi & = / varphi / to / overline {0}, \\ / varphi / leftrightarrow / psi & = (varphi / to / psi) land (psi / to / varphi), dan \\ / overline {1} & = / neg / overline { 0}. / end {align}) MTL didefinisikan sebagai hubungan konsekuensi atas semantik yang diberikan oleh semua t-norm-kontinyu kiri. Yaitu, mengingat t-norm tertentu yang terus-menerus kiri (ast), evaluasi (e_ / ast) adalah pemetaan dari variabel proposisional ke ([0,1]),diperluas ke semua rumus dengan menafsirkan (&) sebagai (ast), implikasi (ke) sebagai residuumnya (Rightarrow), dan (land) dan (overline {0}) masing-masing sebagai (min) dan (0).

Rumus (varphi) adalah konsekuensi dari sekumpulan rumus (Gamma) dalam MTL, dilambangkan (Gamma / models_ / mathrm {MTL} varphi), jika untuk setiap t terus-menerus kiri- norma (ast) dan setiap evaluasi (e_ / ast) sedemikian rupa sehingga (e (psi) = 1) untuk setiap (psi / dalam / Gamma) yang kita miliki (e (varphi) = 1); yaitu: setiap evaluasi yang membuat premis sepenuhnya benar juga harus membuat kesimpulan sepenuhnya benar. Rumus (varphi) yang selalu dievaluasi menjadi (1) ((models_ / mathrm {MTL} varphi)) disebut tautologi MTL. Perhatikan bahwa rumus ((varphi / mathbin { &} psi) to (varphi / land / psi)) adalah tautologi dalam MTL, yaitu konjungsi (&) lebih kuat daripada (tanah).

MTL juga dapat disajikan oleh sistem bukti gaya Hilbert dengan aksioma berikut:

) begin {align} (varphi / to / psi) & / to ((psi / to / chi) to (varphi / to / chi)) / \ varphi / mathbin { &} psi & / to / varphi \\ / varphi / mathbin { &} psi & / to / psi / mathbin { &} varphi \\ / varphi / tanah / psi & / untuk / varphi \\ / varphi / land / psi & / to / psi / land / varphi \(chi / to / varphi) & / to ((chi / to / psi) to (chi / to / varphi / wedge / psi)) (varphi / mathbin { &} psi / to / chi) & / to (varphi / to (psi / to / chi)) (varphi / to (psi / to / chi)) & / to (varphi / mathbin { &} psi / to / chi) ((varphi / to / psi) to / chi) & / to (((psi / to / varphi) to / chi) to / chi) / \ overline {0} & / to / varphi \\ / end {align})

dan modus ponens sebagai satu-satunya aturan inferensi: dari (varphi) dan (varphi / hingga / psi), infer (psi). Sistem ini adalah aksiomatisasi lengkap dari logika MTL: (Gamma / models_ / mathrm {MTL} varphi) iff (Gamma / vdash_ / mathrm {MTL} varphi), di mana hubungan yang terakhir menunjukkan turunan dari contoh aksioma dan formula di atas dalam (Gamma). Masalah validitas (mathrm {MTL}) diketahui dapat ditentukan, namun kompleksitas komputasinya belum ditentukan.

3. Logika Łukasiewicz

Logika Łukasiewicz dapat didefinisikan dengan menambahkan [((varphi / to / psi) to / psi) to ((psi / to / varphi) ke / varphi)) ke sistem gaya Hilbert untuk MTL. Ini sesuai dengan versi final dari hubungan konsekuensi yang didefinisikan sehubungan dengan evaluasi berdasarkan pada t-norma Łukasiewicz (dalam simbol: untuk setiap set rumus hingga (Gamma) dan setiap rumus (varphi), kami memiliki (Gamma / models_ {Ł} varphi) iff (Gamma / vdash_ {Ł} varphi)). [2]

Logika ini adalah contoh awal dari logika bernilai tinggi, diperkenalkan oleh Łukasiewicz & Tarski (1930), jauh sebelum dimulainya teori set fuzzy, dengan menggunakan sistem aksiomatik setara (dengan modus ponens sebagai satu-satunya aturan inferensi):

) begin {align} varphi & / to (psi / to / varphi) (varphi / to / psi) & / to ((psi / to / chi) to (varphi / to / chi)) ((varphi / to / psi) to / psi) & / to ((psi / to / varphi) to / varphi) (neg / psi / to / neg / varphi) & / to (varphi / to / psi) ((varphi / to / psi) & / to (psi / to / varphi)) to (psi / to / varphi) / \ end {align })

Logika Łukasiewicz adalah satu-satunya logika fuzzy berbasis t-norm di mana semua penghubung ditafsirkan oleh fungsi kontinu, termasuk implikasi yang, sebagai residuum dari (_ {Ł}), diberikan oleh fungsi (x / to_ {Ł } y = / min {1,1-x + y }). Teorema McNaughton (1951) menyatakan bahwa fungsi bernilai riil lebih dari [0,1] yang menginterpretasikan rumus-rumus logika Łukasiewicz adalah fungsi linear kontinu piecewise linear dengan koefisien integer. Dalam hal kompleksitas komputasi, masalah validitas untuk logika ini asimptotik tidak lebih buruk daripada dalam logika klasik: tetap komplit-TNP.

4. Logika Gödel-Dummett

Logika Gödel-Dummett, juga dikenal sebagai LC Dummett atau hanya logika Gödel, adalah contoh awal lain dari logika yang sangat dihargai dengan nilai kebenaran dalam ([0,1]). Ini diperkenalkan oleh Michael Dummett (1959) sebagai perpanjangan dari logika intuitionistic (lihat entri pada logika intuitionistic) oleh aksioma [(varphi / to / psi) lor (psi / to / varphi).) Rumus ini menegakkan tatanan linear dalam semantik (gaya Kripke dan aljabar) yang mendasarinya. Ini juga muncul dalam konteks pengamatan Gödel bahwa mustahil untuk mengkarakterisasi logika intuitionistic dengan tabel kebenaran yang terbatas (Gödel 1932). Logika Gödel – Dummett dapat secara alternatif diperoleh sebagai ekstensi aksiomatis dari MTL dengan menambahkan aksioma (varphi / ke / varphi / mathbin { &} varphi), yang sama dengan membutuhkan idempotensi dari (&),dan karenanya membuat interpretasi dari kedua konjungsi tersebut bertepatan. Dalam pengaturan logika fuzzy, logika Gödel-Dummett dapat dilihat sebagai hubungan konsekuensi yang diberikan oleh norma-t minimum. Ini dibedakan sebagai satu-satunya logika berbasis-t di mana kebenaran formula dalam evaluasi yang diberikan tidak tergantung pada nilai-nilai spesifik yang diberikan pada variabel proposisional, tetapi hanya pada urutan relatif dari nilai-nilai ini. Dalam pengertian ini, logika Gödel-Dummett dapat dilihat sebagai logika kebenaran komparatif. Seperti untuk logika Łukasiewicz, kompleksitas komputasi dari validitas pengujian tetap lengkap. Ini dibedakan sebagai satu-satunya logika berbasis-t di mana kebenaran formula dalam evaluasi yang diberikan tidak tergantung pada nilai-nilai spesifik yang diberikan pada variabel proposisional, tetapi hanya pada urutan relatif dari nilai-nilai ini. Dalam pengertian ini, logika Gödel-Dummett dapat dilihat sebagai logika kebenaran komparatif. Seperti untuk logika Łukasiewicz, kompleksitas komputasi dari validitas pengujian tetap lengkap. Ini dibedakan sebagai satu-satunya logika berbasis-t di mana kebenaran formula dalam evaluasi yang diberikan tidak tergantung pada nilai-nilai spesifik yang diberikan pada variabel proposisional, tetapi hanya pada urutan relatif dari nilai-nilai ini. Dalam pengertian ini, logika Gödel-Dummett dapat dilihat sebagai logika kebenaran komparatif. Seperti untuk logika Łukasiewicz, kompleksitas komputasi dari validitas pengujian tetap lengkap.

5. Logika fuzzy terkenal lainnya

Selain MTL (logika semua norma-kontinu kiri-kiri) dan logika Łukasiewicz dan Gödel-Dummett (masing-masing diinduksi oleh satu norma-t tertentu), seseorang dapat mempertimbangkan logika yang disebabkan oleh serangkaian norma-t lain atau, secara umum, sewenang-wenang. ekstensi MTL aksiomatik. Secara khusus, logika semua norma-t kontinu (Hájek's Basic Fuzzy Logic) diperoleh dengan menambahkan aksioma [(varphi / mathbin { &} (varphi / to {{ psi}}))) to (psi / mathbin { &} (psi / to / varphi))) untuk yang dari MTL. Sebenarnya, untuk setiap himpunan t-norma kontinu ada aksioma terbatas hingga logika yang sesuai (Esteva, Godo, & Montagna 2003; Haniková 2014). Khususnya logika dari t-norma kontinu terakhir yang menonjol (produk aljabar), yang dikenal sebagai logika Produk, adalah perpanjangan dari Logika Dasar Fuzzy Hájek oleh aksioma:) neg / varphi / vee ((varphi / to / varphi / mathbin { &} {{ psi}}) to {{ psi}})) Di sisi lain, tidak semua ekstensi MTL secara aksiomatis dapat diberikan semantik dari t-norma. Sebagai contoh, logika klasik dapat di aksioma sebagai MTL (+) (varphi / vee / neg / varphi), tetapi aksioma menengah yang dikecualikan bukanlah tautologi berdasarkan interpretasi berbasis t-norma.

Ada juga alasan untuk mempertimbangkan logika fuzzy yang lebih lemah. Sebagai contoh, dapat dikatakan bahwa asumsi yang memaksa interpretasi konjungsi menjadi norma-t terlalu kuat. Secara khusus, asumsi bahwa (1) adalah elemen netral dari konjungsi menegakkan definisi tautologi sebagai formula yang selalu dievaluasi menjadi (1) dan hubungan konsekuensi sebagai pelestarian nilai (1) - yaitu, (1) adalah satu-satunya nilai yang ditunjuk dalam semantik. [3]Cara alami untuk memperkenalkan logika dengan lebih dari satu derajat kebenaran yang ditetapkan adalah dengan mengasumsikan bahwa elemen netral untuk (ast) adalah angka (t <1). (Dapat ditunjukkan bahwa dalam situasi ini derajat kebenaran yang ditunjuk tepat lebih besar dari atau sama dengan (t).) Penafsiran konjungsi semacam itu disebut uninorms. Logika yang dihasilkan di aksioma oleh Metcalfe & Montagna (2007).

Secara analogi seseorang dapat berdebat menentang komutatif atau bahkan menentang asosiatifitas konjungsi. Axiomatizations dari logika yang dihasilkan dijelaskan dalam literatur (lihat Cintula, Horčík, & Noguera 2013; Jenei & Montagna 2003); pengecualian adalah logika uninorm non-komutatif yang sistem aksiomatik alami tidak diketahui.

Akhirnya, dengan mempertimbangkan bahwa logika fuzzy, tidak seperti logika klasik, biasanya tidak lengkap secara fungsional, orang dapat meningkatkan kekuatan ekspresif mereka dengan menambahkan penghubung baru. Konektif yang paling umum dipertimbangkan adalah: konstanta kebenaran (bar r) untuk setiap bilangan rasional (r / in (0,1)); penghubung unary (sim) dan (triangle) diartikan sebagai ({ sim} x = 1-x) dan (triangle x = 1) jika (x = 1) dan (0) sebaliknya; ikat biner (odot) ditafsirkan sebagai produk aljabar biasa, dll. (Baaz 1996; Esteva, Gispert, Godo, & Noguera 2007; Esteva, Godo, & Montagna 2001; Esteva, Godo, Hájek, & Navara 2000).

Tinjauan menyeluruh dari semua jenis logika fuzzy proposisional yang disebutkan dalam bagian ini (dan teori umum) dapat ditemukan dalam Buku Pegangan Logika Fuzzy Matematika (3 volume, Cintula et al. 2011a, b, 2015).

6. Predikat logika

Dengan logika fuzzy proposisional apa pun L, ada cara yang seragam untuk memperkenalkan rekan orde pertama L (forall) dalam bahasa predikat (mathcal {P \! L}) (didefinisikan seperti dalam kasus klasik). Pada bagian ini, untuk kesederhanaan, kami menyajikannya untuk logika berbasis-t-norma.

Semantik diberikan oleh struktur di mana simbol predikat ditafsirkan sebagai fungsi memetakan tupel elemen domain menjadi nilai kebenaran. Lebih tepatnya, struktur ({ mathbf M}) terdiri dari domain elemen yang tidak kosong (M), suatu fungsi (f _ { mathbf M} titik dua M ^ n / to M) untuk setiap (n) - ary fungsi simbol (f / in / mathcal {P \! L}), dan fungsi (P _ { mathbf M} titik dua M ^ n / hingga [0,1]) untuk setiap (n) - ary simbol predikat (P / in / mathcal {P \! L}). Memperbaiki evaluasi ({ mathrm v}) variabel objek dalam (M), satu mendefinisikan nilai istilah ((| f (t_1, / dots, t_n) | _ { mathrm v} = f _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / dots, / | t_n / | _ { mathrm v}))) dan nilai-nilai kebenaran dari rumus atom ((| P (t_1, / dots, t_n) | _ { mathrm v} = P _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / dots, / | t_n / | _ { mathrm v}))). Nilai-nilai kebenaran dari formula terkuantifikasi secara universal / eksistensial dihitung sebagai nilai maksimum / tertinggi dari contoh-contoh rumus di mana variabel terkuantifikasi berjalan di atas semua elemen domain (M). Secara formal:) begin {align} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / dalam M } / \ | (ada x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / di M }, \\ / end {align}) di mana ({ mathrm v} [x {:} a]) adalah pengiriman evaluasi (x) ke (a) dan menjaga nilai variabel lain tidak berubah. Nilai-nilai formula lain dihitung menggunakan fungsi kebenaran untuk koneksi proposisional L.) begin {align} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } mid a / dalam M } / \ | (ada x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / dalam M }, \\ / end {align}) di mana ({ mathrm v} [x {:} a]) adalah pengiriman evaluasi (x) ke (a) dan menjaga nilai variabel lain tidak berubah. Nilai-nilai formula lain dihitung menggunakan fungsi kebenaran untuk koneksi proposisional L.) begin {align} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } mid a / dalam M } / \ | (ada x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / dalam M }, \\ / end {align}) di mana ({ mathrm v} [x {:} a]) adalah pengiriman evaluasi (x) ke (a) dan menjaga nilai variabel lain tidak berubah. Nilai-nilai formula lain dihitung menggunakan fungsi kebenaran untuk koneksi proposisional L. Nilai-nilai formula lain dihitung menggunakan fungsi kebenaran untuk koneksi proposisional L. Nilai-nilai formula lain dihitung menggunakan fungsi kebenaran untuk koneksi proposisional L.

Logika orde pertama L (forall) kemudian didefinisikan sebagai hubungan konsekuensi yang diberikan oleh pelestarian kebenaran total (nilai (1)), seperti dalam kasus proposisional. Lebih tepatnya, kita mengatakan bahwa rumus orde pertama (varphi) adalah konsekuensi dari serangkaian rumus (Gamma) (dalam simbol: (Gamma / model _ { mathrm {L} forall} varphi)) jika (| / varphi / | _ { mathrm v} = 1) untuk setiap evaluasi v, setiap kali (| / psi / | _ { mathrm v} = 1) untuk masing-masing evaluasi v dan setiap (psi / dalam / Gamma).

L (forall) dapat diberi kalkulus gaya Hilbert dengan aksioma berikut:

  • (P) Contoh (urutan pertama) dari aksioma dari logika proposisional L
  • ((forall1)) ((forall x) varphi (x) to / varphi (t)), di mana istilah (t) dapat diganti untuk (x) di
  • ((exist1)) (varphi (t) to (ada x) varphi (x)), di mana istilah (t) dapat disubstitusikan untuk (x) di
  • ((forall2)) ((forall x) (chi / to / varphi) to (chi / to (forall (x) varphi)), di mana (x) tidak gratis di (chi)
  • ((ada2)) ((forall x) (varphi / to / chi) to ((ada x) varphi / to / chi)), di mana (x) tidak gratis di (chi)
  • ((forall3)) ((forall x) (chi / vee / varphi) to / chi / vee (forall x) varphi), di mana (x) tidak bebas dalam (chi).

Aturan deduksi L (forall) adalah aturan L ditambah aturan generalisasi: from (varphi) infer ((forall x) varphi).

Untuk banyak logika fuzzy proposisional yang terkenal (termasuk logika MTL dan Gödel) sistem aksiomatik di atas adalah suara dan lengkap sehubungan dengan semantik (yaitu, (Gamma / model _ { mathrm {L} forall} varphi) iff (Gamma / vdash _ { mathrm {L} forall} varphi) untuk setiap (Gamma) dan setiap (varphi); Cintula, Horčík, & Noguera 2014).

Namun, logika Łukasiewicz orde pertama tidak secara aksiomatis dapat diterima seperti ditunjukkan oleh Scarpellini (1962; Ragaz (1981) membuktikan bahwa himpunan tautologi sebenarnya (Sigma_2) - lengkap dalam arti hierarki aritmatika). Kelengkapan dapat dicapai baik dengan memasukkan aturan inferensi infinitary (Hay 1963) atau dengan menggeneralisasi himpunan nilai-nilai kebenaran (lihat bagian selanjutnya). Situasi ini bahkan lebih rumit dalam kasus Basic Fuzzy Logic Hájek, di mana himpunan tautologi tingkat pertama dari semua struktur yang diberikan oleh norma-t kontinu sama rumitnya dengan aritmatika sejati (Montagna 2001).

7. Semantik aljabar

Salah satu alat utama dalam studi logika fuzzy adalah semantik aljabar (lihat entri pada aljabar semantik). Secara kasar, idenya adalah untuk mengganti interval satuan nyata dengan set arbitrer dan menafsirkan penghubung sebagai operasi dari arities yang sesuai pada set itu.

Aljabar MTL (diperkenalkan oleh Esteva & Godo (2001)) adalah tuple ({ mathbf A} = / langle A, &, / to, / wedge, / vee, / overline {0}, / overline { 1} rangle) di mana

  • (langle A, / wedge, / vee, / overline {0}, / overline {1} rangle) adalah kisi yang dibatasi
  • (langle A, &, / overline {1} rangle) adalah mono komutatif
  • ((x / to y) vee (y / to x) = / overline {1})
  • (x / mathbin { &} y / leq z) iff (x / leq y / to z) (di mana (leq) adalah urutan kisi yang diinduksi oleh (wedge) atau (vee)).

MTL-algebras adalah generalisasi dari semantik berbasis-t yang dijelaskan di atas dan memberikan semantik yang lengkap dan lengkap untuk MTL. [4]

Rantai MTL adalah mereka yang urutan kisi-kisinya total dan merupakan blok bangunan dasar dari seluruh kelas aljabar, dalam arti bahwa setiap aljabar MTL dapat didekomposisi sebagai produk rantai subdirektori. Ini menyiratkan bahwa logika juga lengkap sehubungan dengan semantik rantai MTL, yang kemudian digunakan sebagai langkah pertama dalam bukti kelengkapannya sehubungan dengan semantik berbasis-t-norma (Jenei & Montagna 2002).

Semantik aljabar adalah alat universal yang dapat digunakan untuk logika apa pun. Secara khusus, untuk logika fuzzy sewenang-wenang yang dipelajari dalam literatur (bahkan yang tidak mendukung semantik berbasis t-norma seperti logika fuzzy bernilai terbatas atau logika uninorm non-komutatif) orang dapat menemukan kelas aljabar yang sesuai yang dapat didekomposisi sebagai produk langsung dari rantai. Fakta ini telah mendorong Běhounek & Cintula (2006) untuk mengusulkan definisi logika fuzzy sebagai logika yang lengkap sehubungan dengan struktur aljabar yang dipesan secara total.

Penggunaan semantik aljabar untuk logika orde pertama biasanya menghasilkan kompleksitas yang lebih rendah untuk menguji validitas atau kepuasan dibandingkan dengan semantik standar (Montagna & Noguera 2010).

8. Teori pembuktian

Merupakan tantangan besar untuk menghasilkan sistem bukti analitik untuk logika fuzzy. Ini adalah sistem yang memiliki fitur-fitur penting, seperti eliminasi pemotongan dan properti subformula, dengan kalkulus berurutan Gentzen untuk logika klasik dan intuitionistic (lihat entri tentang pengembangan teori bukti). Sebuah terobosan besar telah dicapai dengan memperkenalkan apa yang disebut kalkulus hypersequent untuk logika Gödel-Dummett oleh Arnon Avron (1991). Kalkulus hipersekuen muncul dari kalkulus sekuens dengan mempertimbangkan multiset terbatas atau sekuens sekuens, ditafsirkan sebagai disjungsi sekuens, sebagai objek utama inferensi. Dalam kasus logika Gödel-Dummett, seseorang mengangkat aturan kalkulus sekuens intuitionistic Gentzen dengan hanya menambahkan hipersequen samping ke sekuens atas dan bawah. Sebagai contoh,aturan berurutan untuk memperkenalkan disjungsi di sisi kanan) frac { Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} Gamma_2 / Rightarrow / psi} { Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}] di mana (Gamma_1) dan (Gamma_2) adalah urutan formula yang terbatas, diubah menjadi aturan hipersequen berikut:) frac {H / mid / Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} H ' / mid / Gamma_2 / Rightarrow / psi} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}) di mana (H) dan (H') menunjukkan sisi- hypersequents, yaitu urutan terbatas atau multiset urutan. Ini dengan sendirinya tidak mengubah logika yang sesuai (logika intuitionistic, dalam hal ini). Aturan struktural tambahan yang penting adalah yang disebut aturan komunikasi:) frac {H / mid / Gamma_1, / Pi_1 / Rightarrow / Delta_1 / hspace {3ex} H '\ mid / Gamma_2,\ Pi_2 / Rightarrow / Delta_2} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / Delta_1 / mid / Pi_2, / Pi_2 / Rightarrow / Delta_2}) Di sini (Gamma_1, / Gamma_2, / Pi_1, / Pi_2) adalah daftar rumus hingga; (Delta_1) dan (Delta_2) adalah rumus tunggal atau tetap kosong; (H) dan (H ') menunjukkan persamaan sisi-hipers, seperti di atas.

Untuk mendapatkan kalkulus hipersekuen untuk logika fuzzy mendasar MTL kita harus menambahkan aturan komunikasi ke sistem berurutan untuk versi bebas logika intuitionistic yang bebas kontraksi. Sistem bukti analitik untuk logika fuzzy lainnya, khususnya logika Łukasiewicz, menyerukan kepergian yang lebih radikal dari kalkulus tradisional, di mana komponen sekuens hipersekuen diinterpretasikan secara berbeda dari sekuens intuitionistic atau klasik. Juga disebut sistem bukti berlabel dan berbagai kalkulus tablo telah disarankan. Presentasi terperinci dari keadaan yang sesuai dari seni dapat ditemukan di Metcalfe, Olivetti, & Gabbay 2008 dan Metcalfe 2011.

9. Semantik membenarkan fungsi kebenaran

Ini diinginkan, tidak hanya dari sudut pandang filosofis, tetapi juga untuk mendapatkan pegangan yang lebih baik pada aplikasi potensial logika fuzzy untuk menghubungkan makna nilai kebenaran perantara dan penghubung logis yang sesuai dengan model dasar penalaran dengan gagasan yang kabur dan tidak tepat. Sejumlah semantik seperti itu yang berusaha untuk membenarkan pilihan tertentu dari penghubung fungsional kebenaran telah diperkenalkan. Hanya dua dari mereka yang dijelaskan secara singkat di sini.

Voting semantik didasarkan pada gagasan bahwa agen yang berbeda (pemilih) dapat menilai proposisi yang sama secara berbeda. Proporsi agen yang menerima proposisi (varphi) sebagai benar dapat dilihat sebagai nilai kebenaran. Tanpa pembatasan lebih lanjut, ini tidak mengarah pada semantik fungsional yang sebenarnya, melainkan pada penugasan probabilitas untuk proposisi. Tetapi jika seseorang memberikan tingkat skeptisisme yang tetap kepada masing-masing agen dan memaksakan beberapa kondisi alami yang menjaga penilaian pada pernyataan yang kompleks secara logis konsisten dengan level tersebut, maka seseorang dapat memulihkan (min), (max), dan (1-x) sebagai fungsi kebenaran untuk konjungsi, disjungsi dan negasi, masing-masing. Rinciannya dapat ditemukan di Lawry 1998.

Model penalaran menarik lainnya yang memberikan pembenaran untuk semua penghubung proposisional dari logika Łukasiewicz standar telah diperkenalkan oleh Giles (1974). Ini terdiri dari permainan, di mana dua pemain, saya dan Anda, secara sistematis mengurangi pernyataan yang rumit secara logis (rumus) menjadi lebih sederhana sesuai dengan aturan seperti berikut:

  • Jika saya menyatakan (varphi / lor / psi), maka saya harus menyatakan (varphi) atau (psi).
  • Jika saya menyatakan (varphi / land / psi), maka Anda memilih salah satu kata hubung dan saya harus menyatakan baik (varphi) atau (psi).
  • Jika saya menyatakan (varphi / to / psi), maka saya harus menegaskan (psi) jika Anda menegaskan (varphi).

Aturan untuk pernyataan terukur mengacu pada domain tetap, dengan asumsi bahwa ada simbol konstan untuk setiap elemen domain yang ditetapkan:

  • Jika saya menyatakan ((forall x) varphi (x)), maka saya harus menyatakan (varphi (c)), untuk konstanta (c) yang dipilih oleh Anda.
  • Jika saya menyatakan ((ada x) varphi (x)), maka saya harus menyatakan (varphi (c)), untuk konstanta (c) yang dipilih oleh saya sendiri.

Aturan untuk pernyataan Anda ganda. Di setiap keadaan permainan, terjadi suatu formula non-atom baik dalam multiset pernyataan saat ini oleh saya atau oleh Anda dipilih dan digantikan oleh subformula, seperti yang ditunjukkan oleh aturan ini, hingga hanya pernyataan atom yang tersisa. Keadaan pertandingan final kemudian dievaluasi sesuai dengan skema taruhan berikut.

Untuk setiap rumus atom ada percobaan yang sesuai yang dapat gagal atau berhasil, tetapi dapat menunjukkan dispersi, yaitu, dapat menghasilkan hasil yang berbeda ketika diulang. Probabilitas kegagalan tetap, yang disebut nilai risiko, ditetapkan untuk setiap percobaan dan dengan demikian untuk setiap rumus atom. Para pemain harus membayar ($) 1 kepada pemain lain untuk setiap pernyataan atom mereka di mana percobaan terkait gagal. Untuk permainan apa pun yang dimulai dengan pernyataan (varphi) saya, kerugian uang saya yang diharapkan secara keseluruhan jika kami berdua bermain secara rasional dapat ditunjukkan berkorespondensi terbalik dengan nilai kebenaran (varphi) yang dievaluasi dalam interpretasi logika Łukasiewicz yang menetapkan kebalikan dari nilai risiko sebagai nilai kebenaran pada rumus atom. Secara khusus, formula valid dalam logika Łukasiewicz jika dan hanya jika, untuk setiap penetapan nilai risiko,Saya memiliki strategi yang menjamin bahwa kerugian keseluruhan yang saya harapkan pada akhir pertandingan adalah (0) atau negatif.

Fermüller & Metcalfe (2009) telah menunjukkan korespondensi antara strategi optimal dalam permainan Giles dan bukti bebas-potong dalam sistem hipersequent untuk logika Łukasiewicz. Permainan ini juga telah diperluas oleh Fermüller & Roschger (2014) untuk mengkarakterisasi berbagai jenis kuantifikasi fuzzy (semi-), yang dimaksudkan untuk memodelkan ekspresi bahasa alami seperti "sekitar setengah" atau "hampir semua".

Paris (2000) memberikan tinjauan umum atas semantik lain yang mendukung berbagai pilihan fungsi kebenaran; khususnya, semantik acak ulang (Hisdal 1988), semantik kesamaan (misalnya, Ruspini 1991), semantik akseptabilitas (Paris 1997), dan semantik aproksimasi (Paris 2000). Mari kita juga menyebutkan semantik berbasis sumber daya dari Běhounek (2009). Selain itu ada berbagai bentuk permainan evaluasi untuk berbagai logika fuzzy, selain salah satu Giles untuk logika Łukasiewicz yang diuraikan di atas. Tinjauan umum atas game-game semantik tersebut dapat ditemukan di Fermüller 2015.

10. Logika dan ketidakjelasan kabur

Pemodelan penalaran dengan predikat yang tidak jelas dan proposisi sering dikutip sebagai motivasi utama untuk memperkenalkan logika fuzzy. Ada banyak teori alternatif ketidakjelasan (lihat entri tentang ketidakjelasan), tetapi ada kesepakatan umum bahwa kerentanan terhadap paradoks sorites (lihat entri tentang paradoks sorites) adalah fitur utama ketidakjelasan. Pertimbangkan versi paradoks berikut:

  • (1) (10 ^ {100}) adalah angka yang sangat besar.
  • (2) Jika (n) adalah angka yang besar, maka (n-1) juga sangat besar.

Sepintas lalu, tampaknya tidak masuk akal untuk menerima dua asumsi ini. Dengan instantiating (n) dengan (10 ^ {100}) di (2) dan menerapkan modus ponens dengan (1) sebagai premis lain, kami menyimpulkan bahwa (10 ^ {100} -1) sangat besar. Dengan hanya mengulangi inferensi semacam ini, kita sampai pada pernyataan yang tidak masuk akal

(3) (0) adalah angka yang sangat besar

Logika fuzzy menyarankan analisis paradoks sorites yang menghormati intuisi bahwa pernyataan (2), walaupun bisa dibilang tidak sepenuhnya benar, hampir benar.

Ada berbagai cara untuk memodelkan bentuk penalaran ini dalam logika fuzzy berbasis t-norm yang melarutkan paradoks. Sebagai contoh, seseorang dapat menyatakan bahwa instans mode ponens apa pun baik jika tingkat kebenaran kesimpulan tidak lebih rendah dari konjungsi yang kuat dari premis-premisnya. [5]Seperti yang ditunjukkan, satu menyatakan bahwa setiap instance dari (2) adalah benar untuk derajat (1- / epsilon), untuk beberapa jumlah yang sangat kecil (epsilon). Sekalipun kita menyatakan (1) benar-benar benar, pernyataan bahwa (10 ^ {100} -1) juga besar, mungkin kemudian kurang dari benar tanpa mengorbankan kesehatan instantiasi dan modus ponens. Jika, lebih jauh lagi, tingkat kebenaran konjungsi dari dua pernyataan yang tidak sepenuhnya benar (atau tidak sepenuhnya salah) kurang dari masing-masing konjungsi, kita dapat dengan aman menyatakan bahwa pernyataan (3) benar-benar salah dan tetap menekankan pada kesehatan setiap langkah dalam rantai inferensi yang ditunjukkan. Berbicara secara informal, paradoks menghilang dengan mengasumsikan bahwa berulang-ulang mengurangi sejumlah sangat besar dengan jumlah kecil menyebabkan jumlah yang kurang dan kurang benar bahwa mereka juga besar.

Sebuah solusi alternatif berbasis tingkat kebenaran untuk paradoks sorites telah diusulkan oleh Hájek & Novak (2003). Mereka memperkenalkan pemodelan konektif fungsional kebenaran yang baru dengan ungkapan "hampir benar bahwa". Dengan cara ini mereka meresmikan penalaran gaya sorites dalam teori aksiomatik dari logika fuzzy berbasis-t-norma yang sesuai.

Smith (2008; lihat juga 2005) berpendapat bahwa apa yang disebut prinsip kedekatan menangkap esensi ketidakjelasan. Ini mengungkapkan bahwa pernyataan dalam bentuk yang sama tentang objek yang tidak bisa dibedakan harus tetap dekat dalam hal kebenaran. Ini adalah ciri khas dari banyak pendekatan terhadap paradoks yang menggunakan logika fuzzy yang kompatibel dengan prinsip ini. [6]

Bibliografi

Dokumen pelengkap:

Daftar Pustaka Diurut berdasarkan Topik

  • Aguzzoli, S., Bova, S., dan Gerla, B., 2011, "Aljabar gratis dan representasi fungsional untuk logika fuzzy", dalam P. Cintula, P. Hájek, dan C. Noguera, (editor), Handbook of Mathematics Logika Fuzzy, Volume 2, (Logika dan Yayasan Matematika, Volume 38), London: College Publications, halaman 713-719.
  • Avron, Arnon, 1991, "Hipersekuensi, Konsekuensi Logika, dan Logika Menengah untuk Konkurensi", Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 4 (3–4): 225–248. doi: 10.1007 / BF01531058
  • Baaz, Matthias, 1996, "Logika Gödel yang Tak Terbatas dengan Proyeksi dan Relativisasi 0-1", di Petr Hájek (ed.), Gödel'96: Yayasan Logika Matematika, Ilmu Komputer, dan Fisika (Catatan Kuliah di Logika, vol. 6), Brno: Springer, 23–33
  • Baaz, M., Hájek, P., Montagna, F., dan Veith, H., 2002, "Kompleksitas T-Tautologi", Sejarah Logika Murni dan Terapan, 113 (1-3): 3–11.
  • Baaz, Matthias, dan Preining, Norbert, 2011, "Gödel-Dummett Logics", di Cintula, Petr, Petr Hájek, dan Carles Noguera (eds.), Buku Pegangan Logika Fuzzy Matematika, Volume 2, (Logika dan Yayasan Matematika, Volume 38), London: College Publications, halaman 585–625.
  • Běhounek, Libor, 2009, “Logika Fuzzy Diterjemahkan sebagai Logika Sumber Daya”, dalam Michal Peliš (ed.), The Logica Yearbook 2008, London: College Publications, hlm. 9–21.
  • –––, 2014, “Dalam Sense Mana Fuzzy Logic Logic For Vagueness?”, Dalam Lukasiewicz, Thomas, Peñaloza, Rafael, dan Turhan, Anni-Yasmin, (editor), PRUV 2014: Logika untuk Berpikir Tentang Preferensi, Ketidakpastian, dan Vagueness, (Prosiding Workshop CEUR, Volume 1205), Dresden: CEUR.
  • Běhounek, Libor, dan Cintula, Petr, 2005, “Teori Kelas Fuzzy”, Fuzzy Sets and Systems, 154 (1): 34–55.
  • –––, 2006, “Logika Fuzzy sebagai Logika Rantai”, Fuzzy Sets and Systems, 157 (5): 604–610.
  • Běhounek, Libor, dan Haniková, Zuzana, 2014, "Set Teori dan Aritmatika dalam Logika Fuzzy", di Montagna, Franco, (editor), Petr Hájek tentang Matematika Fuzzy Logika, (Kontribusi Luar Biasa pada Logika, Volume 6), Cham: Springer, halaman 63–89.
  • Bělohlávek, R., dan Vychodil, V., 2005, Fuzzy Equational Logic, (Studi dalam Fuzziness dan Soft Computing, Volume 186), Berlin dan Heidelberg: Springer.
  • Bobillo, F., Cerami, M., Esteva, F., García-Cerdaña, À., Peñaloza, R., dan Straccia, U., 2015, “Logika Deskripsi Fuzzy”, di Cintula, P., Fermüller, CG, dan Noguera, C., (editor), Buku Pegangan Logika Fuzzy Matematika, Volume 3, (Logika dan Yayasan Matematika, Volume 58), London: College Publications, halaman 1105–1181.
  • Bou, F., Esteva, F., Godo, L., dan Rodríguez, RO, 2011, “Tentang Logika Modal Minimum Berharga Minimum Lebih Dari Kisi Residu yang Terbatas”, Jurnal Logika dan Komputasi, 21 (5): 739 –790.
  • Busaniche, Manuela, dan Montagna, Franco, 2011, "Hájek's Logic BL dan BL-Algebras", di Cintula, Petr, Petr Hájek, dan Carles Noguera (eds.), Handbook of Mathematic Fuzzy Logic, Volume 1, (Matematika Matematika dan Yayasan, Volume 37), London: College Publications, halaman 355–447.
  • Ciabattoni, A., Galatos, N., dan Terui, K., 2012, "Teori Bukti Aljabar untuk Logika Substruktural: Cut-Elimination and Completions", Sejarah Logika Murni dan Terapan, 163 (3): 266–290.
  • Caicedo, X., dan Rodríguez, RO, 2010, “Standard Gödel Modal Logics”, Studia Logica, 94 (2): 189–214.
  • Cicalese, F., dan Montagna, F., 2015, "Semantik Berbasis Game Ulam-Rényi Untuk Logika Fuzzy", dalam P. Cintula, CG Fermüller, dan C. Noguera, (editor), Buku Pegangan Matematika Fuzzy Logic, Volume 3, (Logika dan Yayasan Matematika, Volume 58), London: College Publications, halaman 1029-1062.
  • Cignoli, R., D'Ottaviano, IM, dan Mundici, D., 1999, Yayasan Aljabar dari Berbagai Penalaran Berharga, (Volume 7), Dordrecht: Kluwer.
  • Cintula, Petr, 2006, "Logika I lemah Lemah impredikatif (properti fuzzy)", Archive for Mathematical Logic, 45 (6): 673–704.
  • Cintula, P., Esteva, F., Gispert, J., Godo, L., Montagna, F., dan Noguera, C., 2009, “Semantik Aljabar Berbeda untuk Logika Fuzzy Berbasis T-Norm: Metode dan Kesetaraan Aljabar”, Annals of Pure and Applied Logic, 160 (1): 53–81.
  • Cintula, Petr, Christian Fermüller, & Carles Noguera (eds.), 2015, Buku Pegangan Logika Fuzzy Matematika, volume 3, (Studi dalam Logika, vol. 58), London: College Publications.
  • Cintula, Petr, Petr Hájek, & Carles Noguera (eds.), 2011a, Buku Pegangan Logika Fuzzy Matematika, volume 1 (Studi dalam Logika, vol. 37), London: College Publications.
  • ––– (eds.), 2011b, Buku Pegangan Logika Fuzzy Matematika, volume 2 (Studi dalam Logika, vol. 38), London: College Publications.
  • Cintula, Petr, Rostislav Horčík, & Carles Noguera, 2013, "Logika Substruktural Non-Asosiatif dan Ekstensi Semilinear mereka: Axiomatization dan Kelengkapan Properti", Tinjauan Symbolic Logic, 6 (3): 394-423. doi: 10.1017 / S1755020313000099
  • –––, 2014, “Quest for the Basic Fuzzy Logic”, dalam Franco Montagna (ed.), Petr Hájek tentang Matematika Fuzzy Logic (Kontribusi Outstanding to Logic, vol. 6), Cham: Springer, hlm. 245–290. doi: 10.1007 / 978-3-319-06233-4_12
  • Cintula, Petr, dan Noguera, Carles, 2011, "Kerangka Umum untuk Logika Fuzzy Matematika", di Cintula, Petr, Petr Hájek, dan Carles Noguera (eds.), Handbook of Mathematics Fuzzy Logic, Volume 1, (Matematika Matematika dan Yayasan, Volume 37), London: College Publications, halaman 103–207.
  • Cintula, P., dan Metcalfe, G., 2009, "Kelengkapan Struktural dalam Logika Fuzzy", Jurnal Notre Dame Formal Logic, 50 (2): 153–183.
  • Dellunde, P., 2012, "Mempertahankan Pemetaan dalam Logika Predikat Fuzzy", Jurnal Logika dan Komputasi, 22 (6): 1367–1389.
  • Di Nola, A., dan Gerla, G., 1986, "Model Fuzzy Bahasa First-Order", Zeitschrift untuk Mathematische Logik dan Grundlagen der Mathematik, 32 (19-24): 331–340.
  • Dummett, Michael, 1959, “Kalkulus Proposisional dengan Matriks Denumerable”, Journal of Symbolic Logic, 24 (2): 97–106. doi: 10.2307 / 2964753
  • Esteva, Francesc, Joan Gispert, Lluís Godo, & Carles Noguera, 2007, “Menambahkan Kebenaran-Konstanta pada Logika Norma-T Berkelanjutan: Axiomatization dan Hasil Kelengkapan”, Fuzzy Sets and Systems, 158 (6): 597–618. doi: 10.1016 / j.fss.2006.11.010
  • Esteva, Francesc & Lluís Godo, 2001, “Logika Berbasis Norm-T Monoidal: Menuju Logika untuk Norma-Kontinyu Kiri-Kontinyu”, Fuzzy Sets and Systems, 124 (3): 271–288. doi: 10.1016 / S0165-0114 (01) 00098-7
  • Esteva, Francesc, Godo, Lluís, dan García-Cerdaña, Àngel, 2003, "Tentang Hierarki Berdasarkan Logika Fuzzy Residuated Berbasis Norma-t", di Fitting, Melvin, dan Orłowska, Ewa, (editor), Beyond Two: Theory and Aplikasi Multiple-Valued Logic, (Studi di Fuzziness dan Soft Computing, Volume 114), Heidelberg: Springer, halaman 251-272.
  • Esteva, Francesc, Lluís Godo, Petr Hájek, & Mirko Navara, 2000, "Residuated Fuzzy Logics with Negative Involutive", Arsip untuk Logika Matematika, 39 (2): 103-124. doi: 10.1007 / s001530050006
  • Esteva, Francesc, Godo, Lluís, dan Marchioni, Enrico, 2011, "Logika Fuzzy dengan Bahasa yang Diperkaya", di Cintula, Petr, Petr Hájek, dan Carles Noguera (eds.), Buku Pegangan Matematika Fuzzy Logic, Volume 2, (Matematika Logika dan Yayasan, Volume 38), London: College Publications, halaman 627-711.
  • Esteva, Francesc, Lluís Godo, & Franco Montagna, 2001, “Logika (L / Pi) dan (L / Pi / frac12): Dua Sistem Fuzzy Lengkap Bergabung Łukasiewicz dan Logika Produk”, Arsip untuk Matematika Logika, 40 (1): 39-67. doi: 10.1007 / s001530050173
  • –––, 2003, “Axiomatization of Setiap Residu Fuzzy Logic Didefinisikan oleh Continuous T-Norm”, di Taner Bilgiç, Bernard De Baets, & Okyay Kaynak (eds.), Perangkat dan Sistem Fuzzy: IFSA 2003 (Catatan Kuliah di Komputer Sains, vol. 2715), Berlin / Heidelberg: Springer, hal. 172–179. doi: 10.1007 / 3-540-44967-1_20
  • Fedel, M., Hosni, H., dan Montagna, F., 2011, "Karakterisasi Logis Koherensi untuk Kemungkinan Peningkatan", Jurnal Internasional Pendekatan Perkiraan, 52 (8): 1147–1170, doi: 10.1016 / j. ijar.2011.06.004.
  • Fermüller, Christian G., 2015, “Game Semantik untuk Logika Fuzzy”, di Cintula, Fermüller, & Noguera 2015: 969–1028.
  • Fermüller, Christian G. & George Metcalfe, 2009, “Permainan Giles dan Teori Bukti untuk Łukasiewicz Logic”, Studia Logica, 92 (1): 27–61. doi: 10.1007 / s11225-009-9185-2
  • Fermüller, Christian G. & Christoph Roschger, 2014, “Randomized Game Semantics untuk Semi-Fuzzy Quantifiers”, Jurnal Logika Kelompok Minat Logika Murni dan Terapan, 22 (3): 413-439. doi: 10.1093 / jigpal / jzt049
  • Flaminio, T., Godo, L., dan Marchioni, E., 2011, "Penalaran Tentang Ketidakpastian Acara Fuzzy: Tinjauan", di Cintula, Petr, Fermuller, Christian G., Godo, Lluis, dan Hájek, Petr, (editor), Memahami Ketidakjelasan: Perspektif Logika, Filsafat, dan Linguistik, (Studi dalam Logika, Volume 36), London: College Publications, halaman 367-400.
  • Flaminio, T., dan Kroupa, T., 2015, "Serikat MV-Algebras", di Cintula, Petr, Christian Fermüller, dan Carles Noguera (eds.), Buku Pegangan Matematika Fuzzy Logic, Volume 3, (Logika Matematika dan Yayasan, Volume 58), London: College Publications, halaman 1183–1236.
  • Font, Josep Maria, 2016, Abstrak Logika Aljabar: Sebuah Buku Pendahuluan, (Logika dan Yayasan Matematika, Volume 60), London: College Publications.
  • Galatos, Nikolaos, Jipsen, Peter, Kowalski, Tomasz, dan Ono, Hiroakira, (editor), 2007, Residuated Lattices: Pandangan Aljabar pada Logika Substruktural, (Studi Logika dan Yayasan Matematika, Volume 151), Amsterdam: Elsevier.
  • García-Cerdaña, À., Armengol, E., dan Esteva, F., 2010, “Logika Penjelasan Fuzzy dan Logika Fuzzy Berbasis Norma T-Norm”, Jurnal Internasional tentang Perkiraan Penaksiran, 51 (6): 632-655.
  • Gerla, G., 2001, Fuzzy Logic-Mathematical Tool untuk Approximate Reasoning, (Tren Logika, Volume 11), New York: Kluwer dan Plenum Press.
  • Giles, Robin, 1974, “Logika Non-Klasik untuk Fisika”, Studia Logica, 33 (4): 397–415. doi: 10.1007 / BF02123379
  • Gödel, Kurt, 1932, "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül", Akademi Anzeiger Der Wissenschaften Wien, 69: 65-66.
  • Godo, L., Esteva, F., dan Hájek, P., 2000, "Penalaran Tentang Probabilitas Menggunakan Fuzzy Logic", Neural Network World, 10 (5): 811–823, (Edisi Khusus tentang SOFSEM 2000).
  • Goguen, Joseph A., 1969, “Logika Konsep yang Tidak Tepat”, Synthese, 19 (3–4): 325–373.
  • Gottwald, Siegfried, 2001, Sebuah Risalah Tentang Logika Berharga Banyak, (Studi dalam Logika dan Komputasi, Volume 9), Baldock: Research Studies Press Ltd.
  • Hájek, Petr, 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic (Tren dalam Logika, jilid 4), Dordrecht: Kluwer.
  • –––, 2001, “On Very True”, Fuzzy Sets and Systems, 124 (3): 329–333.
  • –––, 2005, “Membuat Logika Deskripsi Fuzzy Lebih Umum”, Fuzzy Sets and Systems, 154 (1): 1–15.
  • Hájek, P., dan Cintula, P., 2006, "Tentang Teori dan Model dalam Logika Predikat Fuzzy", Journal of Symbolic Logic, 71 (3): 863–880.
  • Hájek, P., dan Haniková, Z., 2003, "Pengembangan Teori Set dalam Logika Fuzzy", dalam Fitting, Melvin, dan Orłowska, Ewa, (editor), Beyond Two: Teori dan Aplikasi Logika Bervariasi, (Studi dalam Kekaburan dan Komputasi Lunak, Volume 114), Heidelberg: Springer, halaman 273–285.
  • Hájek, P., Montagna, F., & Noguera, C., 2011, “Kompleksitas Aritmetika Logika Fuzzy Orde Pertama”, di Cintula, Petr, Hájek, Petr, dan Noguera, Carles, (editor), Buku Pegangan Matematika Logika Fuzzy, Volume 2, (Logika dan Yayasan Matematika, Volume 38), London: College Publications, halaman 853-908.
  • Hájek, Petr & Vilém Novák, 2003, “Parade Sorites dan Logika Fuzzy”, Jurnal Internasional Sistem Umum, 32 (4): 373-383. doi: 10.1080 / 0308107031000152522
  • Háajek, P., Paris, J., dan Shepherdson, JC, 2000, “The Liar Paradox and Fuzzy Logic”, Jurnal Symbolic Logic, 65 (1): 339–346.
  • Haniková, Zuzana, 2011, "Kompleksitas Komputasi Logika Fuzzy Proposisional", di Cintula, Petr, Hájek, Petr, dan Noguera, Carles, (editor), Buku Pegangan Logika Fuzzy Matematika, Volume 2, (Logika dan Yayasan Matematika, Volume 38), London: College Publications, halaman 793–851.
  • –––, 2014, “Varietas Yang Dihasilkan oleh Standard BL-Algebras”, Order, 31 (1): 15–33. doi: 10.1007 / s11083-013-9285-5
  • Hansoul, G., dan Teheux, B., 2013, "Memperluas Logika řukasiewicz Dengan Modality: Pendekatan Aljabar untuk Semantik Relasional", Studia Logica, 101 (3): 505-545, doi: 10.1007 / s11225-012-9396- 9.
  • Hay, Louise Schmir, 1963, "Axiomatization dari Predicate Calculated Predicate Calculus", Jurnal Logika Simbolik, 28 (1): 77-86. doi: 10.2307 / 2271339
  • Hisdal, Ellen, 1988, "Apakah Nilai Kemungkinan Keanggotaan?" Perangkat dan Sistem Fuzzy, 25 (3): 325–348. doi: 10.1016 / 0165-0114 (88) 90018-8
  • Horčík, Rostislav, 2011, "Semantik Aljabar: Semilinear FL-Algebras", dalam P. Cintula, P. Hájek, dan C. Noguera, (editor), Buku Pegangan Logika Fuzzy Matematika, Volume 1, (Logika Matematika dan Yayasan, Volume 37), London: College Publications, halaman 283–353.
  • Horn, Alfred, 1969, "Logika dengan Nilai-Nilai Kebenaran dalam Aljabar Heyting Beraturan Linier", The Journal of Symbolic Logic, 34 (3): 395-408.
  • Jenei, Sándor & Franco Montagna, 2002, “Bukti Kelengkapan Standar untuk Esteva dan Godo Logic MTL”, Studia Logica, 70 (2): 183–192. doi: 10.1023 / A: 1015122331293
  • Jeřábek, E., 2010, “Dasar-Dasar Aturan yang Dapat Diterima Łukasiewicz Logic”, Jurnal Logika dan Komputasi, 20 (6): 1149–1163.
  • –––, 2003, “Bukti Kelengkapan Standar untuk Logika T-norma Monoidal Non-Komutatif”, Neural Network World, 13 (5): 481–489.
  • Klement, Erich Peter, Radkos Mesiar, & Endre Pap, 2000, Norma Triangular (Tren dalam Logika, Volume 8), Dordrecht: Kluwer.
  • Lawry, J., 1998, "Mekanisme Voting untuk Fuzzy Logic", International Journal of Approximate Reasoning, 19 (3–4): 315–333. doi: 10.1016 / S0888-613X (98) 10013-0
  • Leştean, I., dan DiNola, A., 2011, "Łukasiewicz Logic dan MV-Algebras", di P. Cintula, P. Hájek, dan C. Noguera, (editor), Buku Pegangan Matematika Fuzzy Logic, Volume 2, (Logika dan Yayasan Matematika, Volume 38), London: College Publications, halaman 469-583.
  • Ling, Cho-Hsin, 1965, "Representasi Fungsi Asosiatif", Publikasi Mathematicae Debrecen, 12: 189–212.
  • Ł Pendidikanewicz, Jan, 1920, “O Logice Trójwartościowej”, Ruch Filozoficzny, 5: 170–171. Terjemahan bahasa Inggris, “On Three-Valued Logic”, dalam Storrs McCall, (editor), 1967, Polish Logic 1920–1939, Oxford: Clarendon Press, halaman 16–18, dan pada Jan ewukasiewicz, 1970, Selected Works, L. Borkowski, (editor), Amsterdam: Belanda Utara, halaman 87–88.
  • Ł Pendidikanewicz, J. & A. Tarski, 1930, "Untersuchungen über den Aussagenkalkül", Comptes Rendus Des Séances de La Société Des Sciences dan Des Lettres de Varsovie, Cl. III, 23 (iii): 30-50.
  • Marra, V., dan Spada, L., 2013, "Dualitas, Proyektivitas, dan Penyatuan dalam řukasiewicz Logic dan MV-Algebras", Annals of Pure and Applied Logic, 164 (3): 192–210.
  • McNaughton, Robert, 1951, “Teorema Tentang Infinite-Valued Sentential Logic”, Jurnal Logika Simbolik, 16 (1): 1–13. doi: 10.2307 / 2268660
  • Metcalfe, George, 2011, “Teori Bukti untuk Logika Fuzzy Matematika”, di Cintula, Hájek, & Noguera 2011a: 209–282.
  • Metcalfe, George & Franco Montagna, 2007, “Logika Fuzzy Substruktural”, Jurnal Logika Simbolik, 72 (3): 834–864. doi: 10.2178 / jsl / 1191333844
  • Metcalfe, George, Nicola Olivetti, & Dov M. Gabbay, 2008, Teori Bukti untuk Logika Fuzzy (Seri Logika Terapan, vol. 36), Dordrecht: Springer Netherlands.
  • Montagna, Franco, 2001, "Tiga Masalah Kompleksitas dalam Quantified Fuzzy Logic", Studia Logica, 68 (1): 143–152. doi: 10.1023 / A: 1011958407631
  • Montagna, Franco & Carles Noguera, 2010, "Kompleksitas Aritmetika Predikat Tingkat Pertama Logika Fuzzy Atas Semantik yang Dibedakan", Jurnal Logika dan Komputasi, 20 (2): 399-424. doi: 10.1093 / logcom / exp052
  • Montagna, Franco, Noguera, Carles, dan Horčík, Rostislav, 2006, “On Weakly Cancellative Fuzzy Logics”, Jurnal Logika dan Komputasi, 16 (4): 423–450.
  • Montagna, Franco, dan Ono, Hiroakira, “Semrip Kripke, Ketidakpastian dan Kelengkapan Standar untuk Esteva dan Logo MTL Logika (forall)”, Studia Logica, 71 (2): 227–245.
  • Mostert, Paul S. & Allen L. Shields, 1957, "Tentang Struktur Semigroup pada Manifold Ringkas dengan Batas", The Annals of Mathematics, Second Series, 65 (1): 117–143. doi: 10.2307 / 1969668
  • Mundici, D., 1987, & ldauo; Kepuasan dalam Logika Sentensial Berharga Banyak Apakah NP-Lengkap ", Theoretical Computer Science, 52 (1-2): 145-153.
  • –––, 1992, “Logika Permainan Ulam Dengan Kebohongan”, dalam C. Bicchieri, dan M. Dalla Chiara, (editor), Pengetahuan, Keyakinan, dan Interaksi Strategis (Castiglioncello, 1989), Cambridge: Cambridge University Press, 275–284.
  • –––, 2011, Advanced Łukasiewicz Calculus dan MV-Algebras, (Tren dalam Logika, Volume 35), New York: Springer.
  • Novák, V., 2004, "On Fuzzy Type Theory", Fuzzy Sets and Systems, 149 (2): 235-273.
  • –––, 2015, “Logika Fuzzy Dengan Sintaks yang Dievaluasi”, di Cintula, Petr, Christian Fermüller, dan Carles Noguera (eds.), Buku Pegangan Logika Fuzzy Matematika, Volume 3, (Logika dan Yayasan Matematika, Volume 58), London: College Publications, halaman 1063–1104.
  • Novák, V., Perfilieva, I., dan Močkoř, J., 2000, Prinsip Matematika dari Fuzzy Logic, Dordrecht: Kluwer.
  • Nguyen, Hung T. & Elbert A. Walker, 2005, Kursus Pertama dalam Logika Fuzzy (edisi ketiga), Chapman and Hall / CRC.
  • Paris, Jeff B., 1997, "A Semantik untuk Fuzzy Logic", Soft Computing, 1 (3): 143–147. doi: 10.1007 / s005000050015
  • –––, 2000, “Semantik untuk Fungsionalitas Pendukung Logika Fuzzy”, di Vilém Novák & Irina Perfilieva (eds.), Menemukan Dunia dengan Fuzzy Logic (Studi dalam Kekeruhan dan Komputasi Lunak, vol. 57). Heidelberg: Springer, hlm. 82–104.
  • Pavelka, J., 1979, "On Fuzzy Logic I, II, dan III", Zeitschrift untuk Mathematische Logik dan Grundlagen der Mathematik, 25: 45–52, 119–134, dan 447–464.
  • Ragaz, Matthias Emil, 1981, Arithmetische Klassifikation von Formelmengen der unendlichwertigen Logik (tesis PhD). Institut Teknologi Federal Swiss, Zürich. doi: 10.3929 / ethz-a-000226207
  • Ross, Timothy J., 2016, Logika Fuzzy dengan Aplikasi Rekayasa (edisi keempat), Hoboken, NJ: Wiley.
  • Ruspini, Enrique H., 1991, "Pada Semantik Logika Fuzzy", Jurnal Internasional Penaksiran Perkiraan, 5 (1): 45-88. doi: 10.1016 / 0888-613X (91) 90006-8
  • Scarpellini, Bruno, 1962, "Die Nichtaxiomatisierbarkeit des unendlichwertigen Prädikatenkalküls von Łukasiewicz", Journal of Symbolic Logic, 27 (2): 159-170. doi: 10.2307 / 2964111
  • Smith, Nicholas JJ, 2005, “Ketidakjelasan sebagai Kedekatan”, Australasian Journal of Philosophy, 83 (2): 157–183. doi: 10.1080 / 00048400500110826
  • –––, 2008, Ketidakjelasan dan Derajat Kebenaran, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2015, “Logika Fuzzy dalam Teori Ketidakjelasan”, di Cintula, Petr, Christian Fermüller, dan Carles Noguera (eds.), Buku Pegangan Logika Fuzzy Matematika, Volume 3, (Logika dan Yayasan Matematika, Volume 58), London: College Publications, halaman 1237–1281.
  • Straccia, U., 1998, "A Fuzzy Description Logic", dalam Mostow, J., dan Rich, C., (editor), Prosiding Konferensi Nasional ke-15 tentang Kecerdasan Buatan (AAAI 1998), Menlo Park: AAAI Press, halaman 594–599.
  • Takeuti, G., dan Titani, S., 1984, "Intuitionistic Fuzzy Logic dan Intuitionistic Fuzzy Set Theory", Journal of Symbolic Logic, 49 (3): 851–866.
  • Takeuti, G., dan Titani, S., 1992, "Logika Fuzzy dan Teori Set Fuzzy", Arsip untuk Matematika Logika, 32 (1): 1–32.
  • Vetterlein, T., 2015, "Semantik Aljabar: Struktur Rantai Residuated", dalam P. Cintula, CG Fermüller, dan C. Noguera, (editor), Buku Pegangan Logika Fuzzy Matematika, Volume 3, (Logika Matematika dan Yayasan, Volume 58), London: College Publications, halaman 929–967.
  • Zadeh, Lotfi A., 1965, "Set Fuzzy", Informasi dan Kontrol, 8 (3): 338–353. doi: 10.1016 / S0019-9958 (65) 90241-X

Alat Akademik

ikon sep man
ikon sep man
Cara mengutip entri ini.
ikon sep man
ikon sep man
Pratinjau versi PDF dari entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Internet Ontology Philosophy Project (InPhO).
ikon makalah phil
ikon makalah phil
Bibliografi yang disempurnakan untuk entri ini di PhilPapers, dengan tautan ke basis datanya.

Sumber Daya Internet lainnya

Direkomendasikan: