Argumen Ketidakpastian Dalam Filsafat Matematika

Daftar Isi:

Argumen Ketidakpastian Dalam Filsafat Matematika
Argumen Ketidakpastian Dalam Filsafat Matematika

Video: Argumen Ketidakpastian Dalam Filsafat Matematika

Video: Argumen Ketidakpastian Dalam Filsafat Matematika
Video: Filsafat matematika (ontologi, epistimologi dan aksiologi) 2024, Maret
Anonim

Navigasi Masuk

  • Isi Entri
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Pratinjau PDF Teman
  • Penulis dan Info Kutipan
  • Kembali ke atas

Argumen Ketidakpastian dalam Filsafat Matematika

Pertama diterbitkan Senin 21 Des 1998; revisi substantif Kamis 28 Februari 2019

Salah satu fitur matematika yang paling menarik adalah penerapannya pada sains empiris. Setiap cabang sains memanfaatkan bagian matematika yang besar dan sering beragam, dari penggunaan ruang Hilbert dalam mekanika kuantum hingga penggunaan geometri diferensial dalam relativitas umum. Bukan hanya ilmu fisika yang memanfaatkan layanan matematika juga. Biologi, misalnya, menggunakan banyak persamaan dan statistik perbedaan. Peran matematika dalam teori-teori ini juga beragam. Matematika tidak hanya membantu dengan prediksi empiris, tetapi juga memungkinkan pernyataan yang elegan dan ekonomis dari banyak teori. Memang, yang sangat penting adalah bahasa matematika untuk sains,bahwa sulit membayangkan bagaimana teori-teori seperti mekanika kuantum dan relativitas umum bahkan dapat dinyatakan tanpa menggunakan sejumlah besar matematika.

Dari fakta yang agak luar biasa tetapi tampaknya tidak kontroversial bahwa matematika sangat diperlukan untuk sains, beberapa filsuf telah menarik kesimpulan metafisik yang serius. Secara khusus, Quine (1976; 1980a; 1980b; 1981a; 1981c) dan Putnam (1979a; 1979b) berargumen bahwa keharusan matematika untuk sains empiris memberi kita alasan yang baik untuk percaya pada keberadaan entitas matematika. Menurut garis argumen ini, referensi ke (atau kuantifikasi atas) entitas matematika seperti himpunan, angka, fungsi dan semacamnya sangat diperlukan untuk teori-teori ilmiah terbaik kita, dan karenanya kita harus berkomitmen pada keberadaan entitas matematika ini. Melakukan yang sebaliknya berarti bersalah atas apa yang disebut Putnam sebagai "ketidakjujuran intelektual" (Putnam 1979b, hlm. 347). Bahkan,entitas matematis terlihat setara dengan entitas teoretis sains lainnya, karena kepercayaan akan keberadaan yang pertama dibenarkan oleh bukti yang sama yang menegaskan teori secara keseluruhan (dan karenanya keyakinan pada yang terakhir). Argumen ini dikenal sebagai argumen ketidaktergantungan Quine-Putnam untuk realisme matematika. Ada argumen yang sangat diperlukan lainnya, tetapi yang ini sejauh ini yang paling berpengaruh, dan dalam hal berikut, kita akan lebih fokus pada itu.dan pada bagian selanjutnya, kita akan lebih fokus pada hal itu.dan pada bagian selanjutnya, kita akan lebih fokus pada hal itu.

Secara umum, argumen indispensability adalah argumen yang bertujuan untuk menetapkan kebenaran suatu klaim berdasarkan pada indispensability dari klaim yang dipermasalahkan untuk tujuan tertentu (ditentukan oleh argumen tertentu). Misalnya, jika penjelasan ditentukan sebagai tujuannya, maka kami memiliki argumen yang sangat diperlukan. Dengan demikian kita melihat bahwa penyimpulan pada penjelasan terbaik adalah kasus khusus dari argumen yang sangat diperlukan. Lihat pengantar Field (1989, hlm. 14-20) untuk diskusi yang bagus tentang argumen yang sangat diperlukan dan kesimpulan untuk penjelasan terbaik. Lihat juga Maddy (1992) dan Resnik (1995a) untuk variasi pada versi argumen Quine-Putnam. Kita harus menambahkan bahwa meskipun versi argumen yang disajikan di sini umumnya dikaitkan dengan Quine dan Putnam,itu berbeda dalam beberapa cara dari argumen yang diajukan oleh Quine atau Putnam.[1]

  • 1. Mengeja Argumen Ketidakpastian Quine-Putnam
  • 2. Apa itu menjadi sangat diperlukan?
  • 3. Naturalisme dan Holisme
  • 4. Keberatan
  • 5. Versi Argumen Penjelasan
  • 6. Kesimpulan
  • Bibliografi
  • Alat Akademik
  • Sumber Daya Internet lainnya
  • Entri terkait

1. Mengeja Argumen Ketidakpastian Quine-Putnam

Argumen ketidaktergantungan Quine-Putnam telah menarik banyak perhatian, sebagian karena banyak yang melihatnya sebagai argumen terbaik untuk realisme matematika (atau platonisme). Jadi anti-realis tentang entitas matematika (atau nominalis) perlu mengidentifikasi di mana argumen Quine-Putnam salah. Banyak platonis, di sisi lain, sangat bergantung pada argumen ini untuk membenarkan kepercayaan mereka pada entitas matematika. Argumen ini menempatkan nominalis yang ingin menjadi realis tentang entitas teoretis sains lainnya (quark, elektron, black hole dan semacamnya) dalam posisi yang sangat sulit. Karena biasanya mereka menerima sesuatu seperti argumen Quine-Putnam [2]) sebagai pembenaran untuk realisme tentang quark dan black hole. (Inilah yang Quine (1980b, hlm. 45) sebut memegang "standar ganda" sehubungan dengan ontologi.)

Untuk referensi di masa mendatang, kami akan menyatakan argumen ketidaktergantungan Quine-Putnam dalam bentuk eksplisit berikut:

(P1) Kita harus memiliki komitmen ontologis untuk semua dan hanya entitas yang diperlukan untuk teori-teori ilmiah terbaik kita.

(P2) Entitas matematika sangat diperlukan untuk teori ilmiah terbaik kami.

(C) Kita harus memiliki komitmen ontologis terhadap entitas matematika.

Diformulasikan demikian, argumennya valid. Ini memaksa fokus ke dua premis. Secara khusus, beberapa pertanyaan penting muncul secara alami. Yang pertama menyangkut bagaimana kita memahami klaim bahwa matematika sangat diperlukan. Kami membahas ini di bagian selanjutnya. Pertanyaan kedua menyangkut premis pertama. Itu sama sekali tidak terbukti sebagai yang kedua dan jelas membutuhkan pertahanan. Kami akan membahas pembelaannya di bagian berikut. Kami kemudian akan menyajikan beberapa keberatan yang lebih penting terhadap argumen tersebut, sebelum mempertimbangkan peran argumen Quine-Putnam dalam skema yang lebih besar - di mana ia terkait dengan argumen berpengaruh lainnya untuk dan melawan realisme matematika.

2. Apa itu menjadi sangat diperlukan?

Pertanyaan tentang bagaimana kita harus memahami 'ketidaktergantungan' dalam konteks saat ini sangat penting untuk argumen Quine-Putnam, namun ternyata hanya mendapat sedikit perhatian. Quine benar-benar berbicara dalam hal entitas yang dikuantifikasi dalam bentuk kanonik dari teori ilmiah terbaik kita, bukannya sangat diperlukan. Namun, perdebatan terus berlanjut dalam hal ketidaktergantungan, jadi kami akan melayani dengan baik untuk memperjelas istilah ini.

Hal pertama yang perlu diperhatikan adalah bahwa 'dispensabilitas' tidak sama dengan 'eliminabilitas'. Jika tidak demikian, setiap entitas akan dapat disingkirkan (karena teorema Craig). [3]Apa yang kita butuhkan untuk entitas menjadi 'dapat dibuang' adalah agar entitas dapat dihilangkan dan bahwa teori yang dihasilkan dari penghapusan entitas menjadi teori yang menarik. (Mungkin, bahkan lebih kuat, kita mengharuskan teori yang dihasilkan lebih menarik daripada yang asli.) Kita perlu menguraikan apa yang dianggap sebagai teori yang menarik tetapi untuk ini kita dapat menarik desiderata standar untuk teori-teori ilmiah yang baik: keberhasilan empiris; kekuatan unificatory; kesederhanaan; kekuatan penjelas; kesuburan dan sebagainya. Tentu saja akan ada perdebatan tentang desiderata apa yang sesuai dan atas bobot relatif mereka, tetapi masalah-masalah seperti itu perlu diatasi dan diselesaikan secara independen dari masalah-masalah ketidaktergantungan. (Lihat Burgess (1983) dan Colyvan (1999) untuk informasi lebih lanjut tentang masalah ini.)

Masalah-masalah ini secara alami memunculkan pertanyaan tentang berapa banyak matematika yang sangat diperlukan (dan karenanya berapa banyak matematika yang membawa komitmen ontologis). Tampaknya argumen yang tidak dapat diabaikan hanya membenarkan keyakinan pada matematika yang cukup untuk melayani kebutuhan sains. Jadi kita menemukan Putnam berbicara tentang "teori himpunan 'kebutuhan' fisika" (Putnam 1979b, p. 346) dan Quine mengklaim bahwa teori himpunan yang lebih tinggi adalah "rekreasi matematis … tanpa hak ontologis" (Quine 1986, hal. 400) karena mereka tidak menemukan aplikasi fisik. Orang dapat mengambil garis yang kurang membatasi dan mengklaim bahwa jangkauan yang lebih tinggi dari teori himpunan, meskipun tanpa aplikasi fisik, memang membawa komitmen ontologis berdasarkan kenyataan bahwa mereka memiliki aplikasi di bagian lain dari matematika. Selama rantai aplikasi pada akhirnya “terbentang” dalam ilmu fisika, kita berhak mengklaim bahwa seluruh rantai membawa komitmen ontologis. Quine sendiri membenarkan beberapa teori himpunan tak terbatas sepanjang garis-garis ini (Quine 1984, hal. 788), tetapi ia melihat tidak ada alasan untuk melampaui set konstruktif (Quine 1986, p. 400). Alasannya untuk pembatasan ini, bagaimanapun, tidak ada hubungannya dengan argumen yang sangat diperlukan dan karenanya pendukung argumen ini tidak perlu berpihak pada Quine dalam masalah ini.tidak ada hubungannya dengan argumen ketidaktergantungan dan karenanya pendukung argumen ini tidak perlu memihak Quine dalam masalah ini.tidak ada hubungannya dengan argumen ketidaktergantungan dan karenanya pendukung argumen ini tidak perlu memihak Quine dalam masalah ini.

3. Naturalisme dan Holisme

Meskipun kedua premis argumen ketidaktergantungan Quine-Putnam telah dipertanyakan, ini adalah premis pertama yang paling jelas membutuhkan dukungan. Dukungan ini berasal dari doktrin naturalisme dan holisme.

Mengikuti Quine, naturalisme biasanya dianggap sebagai doktrin filosofis bahwa tidak ada filosofi pertama dan bahwa perusahaan filosofis berkelanjutan dengan perusahaan ilmiah (Quine 1981b). Dengan ini Quine berarti bahwa filsafat tidak ada yang mendahului atau diistimewakan daripada sains. Terlebih lagi, sains, dengan demikian ditafsirkan (yaitu dengan filsafat sebagai bagian yang berkelanjutan) dianggap sebagai kisah lengkap dunia. Doktrin ini muncul dari rasa hormat yang mendalam terhadap metodologi ilmiah dan pengakuan atas keberhasilan metodologi ini sebagai cara menjawab pertanyaan mendasar tentang semua sifat benda. Seperti yang disarankan Quine, sumbernya terletak pada "realisme yang tidak diregenerasi, keadaan pikiran yang kuat dari ilmuwan alam yang tidak pernah merasakan keraguan di luar ketidakpastian yang dapat dinegosiasikan secara internal ke dalam sains" (Quine 1981b, p. 72). Bagi ahli metafisika, ini berarti mencari teori-teori ilmiah terbaik kita untuk menentukan apa yang ada, atau, mungkin lebih akurat, apa yang seharusnya kita yakini ada. Singkatnya, naturalisme mengesampingkan cara-cara tidak ilmiah untuk menentukan apa yang ada. Sebagai contoh, naturalisme mengesampingkan kepercayaan pada transmigrasi jiwa untuk alasan mistis. Akan tetapi, naturalisme tidak akan mengesampingkan transmigrasi jiwa-jiwa jika teori-teori ilmiah terbaik kita membutuhkan kebenaran dari doktrin ini.mengesampingkan transmigrasi jiwa jika teori-teori ilmiah terbaik kita membutuhkan kebenaran dari doktrin ini.mengesampingkan transmigrasi jiwa jika teori-teori ilmiah terbaik kita membutuhkan kebenaran dari doktrin ini.[4]

Naturalisme, kemudian, memberi kita alasan untuk percaya pada entitas dalam teori ilmiah terbaik kita dan tidak ada entitas lain. Bergantung pada bagaimana tepatnya Anda memahami naturalisme, mungkin atau mungkin tidak memberitahu Anda apakah akan percaya pada semua entitas teori ilmiah terbaik Anda. Kami menganggap bahwa naturalisme memang memberi kami beberapa alasan untuk percaya pada semua entitas seperti itu, tetapi ini tidak bisa ditolerir. Di sinilah holisme mengemuka: khususnya, holisme konfirmasional.

Holism konfirmasional adalah pandangan bahwa teori dikonfirmasikan atau diputuskan sebagai keutuhan (Quine 1980b, hal. 41). Jadi, jika teori dikonfirmasi oleh temuan empiris, seluruh teori dikonfirmasi. Secara khusus, apapun matematika yang digunakan dalam teori juga dikonfirmasi (Quine 1976, hlm. 120-122). Lebih jauh lagi, ini adalah bukti yang sama yang digunakan untuk membenarkan kepercayaan pada komponen matematika dari teori yang digunakan untuk membenarkan bagian empiris dari teori (jika memang empiris dapat dipisahkan dari matematika sama sekali). Naturalisme dan holisme yang disatukan kemudian membenarkan P1. Secara kasar, naturalisme memberi kita "satu-satunya" dan holisme memberi kita "semua" dalam P1.

Perlu dicatat bahwa dalam tulisan-tulisan Quine setidaknya ada dua tema holistik. Yang pertama adalah holisme konfirmasi yang dibahas di atas (sering disebut tesis Quine-Duhem). Yang lainnya adalah holisme semantik yang merupakan pandangan bahwa unit makna bukanlah kalimat tunggal, melainkan sistem kalimat (dan dalam beberapa kasus ekstrim seluruh bahasa). Holisme terakhir ini terkait erat dengan penolakan Quine yang terkenal akan perbedaan analitik-sintetik (Quine 1980b) dan ketidakpastian yang sama-sama terkenal dari tesis terjemahan (Quine 1960). Meskipun bagi Quine, holisme semantik dan holisme konfirmasional sangat erat kaitannya, ada alasan kuat untuk membedakannya, karena yang pertama secara umum dianggap sangat kontroversial sedangkan yang kedua dianggap relatif tidak kontroversial.

Mengapa ini penting untuk debat saat ini adalah bahwa Quine secara eksplisit meminta holisme semantik yang kontroversial untuk mendukung argumen yang tidak dapat diabaikan (Quine 1980b, hlm. 45-46). Namun, sebagian besar komentator berpendapat bahwa hanya holisme konfirmasional yang diperlukan untuk membuat argumen yang tidak dapat disangkal terbang (lihat, misalnya, Colyvan (1998a); Field (1989, hlm. 14-20); Hellman (1999); Resnik (1995a; 1997); Maddy (1992)) dan presentasi saya di sini mengikuti kebijaksanaan yang diterima itu. Harus diingat, bahwa meskipun argumen, dengan demikian ditafsirkan, adalah rasa dalam bahasa Quinean, itu tidak sepenuhnya merupakan argumen Quine.

4. Keberatan

Ada banyak keberatan terhadap argumen ketidaktergantungan, termasuk kekhawatiran Charles Parsons (1980) bahwa kejelasan pernyataan matematika dasar dibiarkan tidak dijelaskan oleh gambar Quinean dan Philip Kitcher's (1984, hal. 104-105) khawatir bahwa argumen ketidaktergantungan tidak menjelaskan mengapa matematika sangat diperlukan untuk sains. Namun, keberatan yang paling banyak mendapat perhatian adalah karena Hartry Field, Penelope Maddy, dan Elliott Sober. Secara khusus, program nominalisasi Field telah mendominasi diskusi terbaru tentang ontologi matematika.

Field (1980) menyajikan kasus untuk menyangkal premis kedua dari argumen Quine-Putnam. Artinya, ia menyarankan bahwa meskipun penampilan matematika tidak diperlukan untuk ilmu pengetahuan. Ada dua bagian untuk proyek Field. Yang pertama adalah untuk berpendapat bahwa teori matematika tidak harus benar untuk menjadi berguna dalam aplikasi, mereka hanya perlu bersifat konservatif. (Ini, kira-kira, bahwa jika teori matematika ditambahkan ke teori ilmiah nominalis, tidak ada konsekuensi nominalis yang tidak akan mengikuti dari teori ilmiah nominalis saja.) Ini menjelaskan mengapa matematika dapat digunakan dalam sains tetapi tidak menjelaskan mengapa itu digunakan. Yang terakhir ini disebabkan oleh fakta bahwa matematika membuat perhitungan dan pernyataan berbagai teori menjadi lebih sederhana. Jadi, untuk Lapangan,kegunaan matematika hanyalah pragmatis - matematika sama sekali tidak diperlukan.

Bagian kedua dari program Field adalah untuk menunjukkan bahwa teori-teori ilmiah terbaik kita dapat dinomori secara tepat. Artinya, ia berusaha untuk menunjukkan bahwa kita bisa melakukan tanpa kuantifikasi atas entitas matematika dan bahwa apa yang akan kita tinggalkan akan menjadi teori yang cukup menarik. Untuk tujuan ini, ia puas dengan menominalkan sebuah fragmen besar teori gravitasi Newton. Meskipun ini jauh dari menunjukkan bahwa semua teori ilmiah terbaik kita saat ini dapat dinominalkan, tentu saja tidak sepele. Harapannya adalah begitu orang melihat bagaimana penghapusan referensi ke entitas matematika dapat dicapai untuk teori fisik yang khas, akan tampak masuk akal bahwa proyek tersebut dapat diselesaikan untuk sisa ilmu pengetahuan. [5]

Ada banyak perdebatan tentang kemungkinan keberhasilan program Field tetapi hanya sedikit yang meragukan signifikansinya. Namun, baru-baru ini, Penelope Maddy, telah menunjukkan bahwa jika P1 salah, proyek Field mungkin berubah menjadi tidak relevan dengan perdebatan realisme / anti-realisme dalam matematika.

Maddy mengajukan beberapa keberatan serius terhadap premis pertama dari argumen yang tidak dapat dipisahkan (Maddy 1992; 1995; 1997). Secara khusus, ia menyarankan agar kita tidak memiliki komitmen ontologis terhadap semua entitas yang sangat diperlukan bagi teori ilmiah terbaik kita. Keberatannya menarik perhatian pada masalah rekonsiliasi naturalisme dengan holisme konfirmasi. Secara khusus, ia menunjukkan bagaimana pandangan holistik dari teori-teori ilmiah memiliki masalah dalam menjelaskan legitimasi aspek-aspek tertentu dari praktik ilmiah dan matematika. Praktek-praktek yang, mungkin, harus sah mengingat penghargaan tinggi untuk praktik ilmiah yang direkomendasikan naturalisme. Penting untuk menghargai bahwa keberatannya, untuk sebagian besar,prihatin dengan konsekuensi metodologis menerima doktrin naturalisme dan holisme Quinean - doktrin yang digunakan untuk mendukung premis pertama. Dengan demikian, premis pertama dipertanyakan dengan melemahkan dukungannya.

Keberatan pertama Maddy terhadap argumen ketidaktergantungan adalah bahwa sikap aktual para ilmuwan yang bekerja terhadap komponen-komponen teori yang telah dikonfirmasi dengan baik bervariasi dari keyakinan, melalui toleransi, hingga penolakan langsung (Maddy 1992, hal. 280). Intinya adalah bahwa naturalisme menasihati kita untuk menghormati metode para ilmuwan yang bekerja, namun holisme tampaknya memberi tahu kita bahwa para ilmuwan yang bekerja seharusnya tidak memiliki dukungan yang berbeda-beda terhadap entitas dalam teori mereka. Maddy menyarankan agar kita berpihak pada naturalisme dan bukan holisme di sini. Dengan demikian kita harus mendukung sikap para ilmuwan yang bekerja yang tampaknya tidak percaya pada semua entitas yang diajukan oleh teori terbaik kita. Karena itu kita harus menolak P1.

Masalah selanjutnya mengikuti dari yang pertama. Begitu seseorang menolak gambar teori-teori ilmiah sebagai unit-unit yang homogen, muncul pertanyaan apakah bagian-bagian matematika dari teori-teori itu termasuk dalam unsur-unsur sebenarnya dari teori-teori yang dikonfirmasi atau dalam unsur-unsur yang diidealkan. Maddy menyarankan yang terakhir. Alasannya untuk ini adalah bahwa para ilmuwan sendiri tampaknya tidak mengambil aplikasi yang sangat diperlukan dari teori matematika untuk menjadi indikasi kebenaran matematika yang dimaksud. Misalnya, anggapan keliru bahwa air memiliki kedalaman tak terhingga sering digunakan dalam analisis gelombang air, atau asumsi bahwa materi kontinu umumnya dibuat dalam dinamika fluida (Maddy 1992, hlm. 281–282). Kasus-kasus seperti itu menunjukkan bahwa para ilmuwan akan meminta matematika apa pun yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan,tanpa memperhatikan kebenaran teori matematika yang dimaksud (Maddy 1995, p. 255). Lagi-lagi tampaknya bahwa holisme konfirmasional bertentangan dengan praktik ilmiah yang sebenarnya, dan karenanya dengan naturalisme. Dan lagi Maddy berpihak pada naturalisme. (Lihat juga Parsons (1983) untuk beberapa kekhawatiran terkait tentang holisme Quinean.) Maksudnya di sini adalah bahwa jika naturalisme menasihati kita untuk berpihak pada sikap para ilmuwan yang bekerja dalam hal-hal seperti itu, maka tampaknya kita tidak boleh mengambil bagian yang tidak terpisahkan dari matematika. teori dalam aplikasi fisik sebagai indikasi kebenaran teori matematika. Lebih jauh, karena kita tidak punya alasan untuk percaya bahwa teori matematika yang dimaksud adalah benar, kita tidak punya alasan untuk percaya bahwa entitas yang diajukan oleh teori (matematika) itu nyata. Jadi sekali lagi kita harus menolak P1.hal. 255). Lagi-lagi tampaknya bahwa holisme konfirmasional bertentangan dengan praktik ilmiah yang sebenarnya, dan karenanya dengan naturalisme. Dan lagi Maddy berpihak pada naturalisme. (Lihat juga Parsons (1983) untuk beberapa kekhawatiran terkait tentang holisme Quinean.) Maksudnya di sini adalah bahwa jika naturalisme menasihati kita untuk berpihak pada sikap para ilmuwan yang bekerja dalam hal-hal seperti itu, maka tampaknya kita tidak boleh mengambil bagian yang tidak terpisahkan dari matematika. teori dalam aplikasi fisik sebagai indikasi kebenaran teori matematika. Lebih jauh, karena kita tidak punya alasan untuk percaya bahwa teori matematika yang dimaksud adalah benar, kita tidak punya alasan untuk percaya bahwa entitas yang diajukan oleh teori (matematika) itu nyata. Jadi sekali lagi kita harus menolak P1.hal. 255). Lagi-lagi tampaknya bahwa holisme konfirmasional bertentangan dengan praktik ilmiah yang sebenarnya, dan karenanya dengan naturalisme. Dan lagi Maddy berpihak pada naturalisme. (Lihat juga Parsons (1983) untuk beberapa kekhawatiran terkait tentang holisme Quinean.) Maksudnya di sini adalah bahwa jika naturalisme menasihati kita untuk berpihak pada sikap para ilmuwan yang bekerja dalam hal-hal seperti itu, maka tampaknya kita tidak boleh mengambil bagian yang tidak terpisahkan dari matematika. teori dalam aplikasi fisik sebagai indikasi kebenaran teori matematika. Lebih jauh, karena kita tidak punya alasan untuk percaya bahwa teori matematika yang dimaksud adalah benar, kita tidak punya alasan untuk percaya bahwa entitas yang diajukan oleh teori (matematika) itu nyata. Jadi sekali lagi kita harus menolak P1.dan karenanya dengan naturalisme. Dan lagi Maddy berpihak pada naturalisme. (Lihat juga Parsons (1983) untuk beberapa kekhawatiran terkait tentang holisme Quinean.) Maksudnya di sini adalah bahwa jika naturalisme menasihati kita untuk berpihak pada sikap para ilmuwan yang bekerja dalam hal-hal seperti itu, maka tampaknya kita tidak boleh mengambil bagian yang tidak terpisahkan dari matematika. teori dalam aplikasi fisik sebagai indikasi kebenaran teori matematika. Lebih jauh, karena kita tidak punya alasan untuk percaya bahwa teori matematika yang dimaksud adalah benar, kita tidak punya alasan untuk percaya bahwa entitas yang diajukan oleh teori (matematika) itu nyata. Jadi sekali lagi kita harus menolak P1.dan karenanya dengan naturalisme. Dan lagi Maddy berpihak pada naturalisme. (Lihat juga Parsons (1983) untuk beberapa kekhawatiran terkait tentang holisme Quinean.) Maksudnya di sini adalah bahwa jika naturalisme menasihati kita untuk berpihak pada sikap para ilmuwan yang bekerja dalam hal-hal seperti itu, maka tampaknya kita tidak boleh mengambil bagian yang tidak terpisahkan dari matematika. teori dalam aplikasi fisik sebagai indikasi kebenaran teori matematika. Lebih jauh, karena kita tidak punya alasan untuk percaya bahwa teori matematika yang dimaksud adalah benar, kita tidak punya alasan untuk percaya bahwa entitas yang diajukan oleh teori (matematika) itu nyata. Jadi sekali lagi kita harus menolak P1.) Maksudnya di sini adalah bahwa jika naturalisme menasihati kita untuk berpihak pada sikap para ilmuwan yang bekerja pada hal-hal seperti itu, maka tampaknya kita tidak boleh mengambil tak tergantikan dari beberapa teori matematika dalam aplikasi fisik sebagai indikasi kebenaran teori matematika. Lebih jauh, karena kita tidak punya alasan untuk percaya bahwa teori matematika yang dimaksud adalah benar, kita tidak punya alasan untuk percaya bahwa entitas yang diajukan oleh teori (matematika) itu nyata. Jadi sekali lagi kita harus menolak P1.) Maksudnya di sini adalah bahwa jika naturalisme menasihati kita untuk berpihak pada sikap para ilmuwan yang bekerja pada hal-hal seperti itu, maka tampaknya kita tidak boleh mengambil tak tergantikan dari beberapa teori matematika dalam aplikasi fisik sebagai indikasi kebenaran teori matematika. Lebih jauh, karena kita tidak punya alasan untuk percaya bahwa teori matematika yang dimaksud adalah benar, kita tidak punya alasan untuk percaya bahwa entitas yang diajukan oleh teori (matematika) itu nyata. Jadi sekali lagi kita harus menolak P1.kami tidak memiliki alasan untuk percaya bahwa entitas yang diajukan oleh teori (matematika) adalah nyata. Jadi sekali lagi kita harus menolak P1.kami tidak memiliki alasan untuk percaya bahwa entitas yang diajukan oleh teori (matematika) adalah nyata. Jadi sekali lagi kita harus menolak P1.

Keberatan ketiga Maddy adalah sulit memahami apa yang dilakukan oleh ahli matematika yang bekerja ketika mereka mencoba menyelesaikan pertanyaan independen. Ini adalah pertanyaan, yang independen dari aksioma standar teori himpunan - aksioma ZFC. [6]Untuk menyelesaikan beberapa pertanyaan ini, kandidat aksioma baru telah diusulkan untuk melengkapi ZFC, dan argumen telah diajukan untuk mendukung para kandidat ini. Masalahnya adalah bahwa argumen yang dikemukakan tampaknya tidak ada hubungannya dengan aplikasi dalam ilmu fisika: mereka biasanya argumen intra-matematika. Akan tetapi, menurut teori tak-tergantikan, aksioma-aksioma baru harus dinilai pada seberapa baik mereka sejalan dengan teori-teori ilmiah terbaik kita saat ini. Artinya, teori set harus menilai calon aksioma baru dengan satu mata pada perkembangan terbaru dalam fisika. Mengingat bahwa set theoretis tidak melakukan ini, holisme konfirmasional lagi tampaknya menganjurkan revisi praktik matematika standar, dan ini juga, klaim Maddy, bertentangan dengan naturalisme (Maddy 1992, hlm. 286–289).

Meskipun Maddy tidak merumuskan keberatan ini dengan cara yang secara langsung bertentangan dengan P1, itu jelas menggambarkan ketegangan antara naturalisme dan holisme konfirmasional. [7] Dan karena keduanya diperlukan untuk mendukung P1, keberatan tersebut secara tidak langsung meragukan P1. Maddy, bagaimanapun, mendukung naturalisme dan dengan demikian menolak untuk menunjukkan bahwa holisme konfirmatif itu salah. Kita akan meninggalkan diskusi tentang dampak penolakan holisme konfirmatif pada argumen tak-tergantikan sampai setelah kita menguraikan keberatan Sober, karena Sober tiba pada kesimpulan yang hampir sama.

Keberatan Elliott Sober terkait erat dengan keberatan kedua dan ketiga Maddy. Sober (1993) mengambil masalah dengan klaim bahwa teori matematika berbagi dukungan empiris yang diperoleh oleh teori ilmiah terbaik kami. Pada intinya, ia berpendapat bahwa teori matematika tidak diuji dengan cara yang sama dengan teori sains yang jelas empiris. Dia menunjukkan bahwa hipotesis dikonfirmasi relatif terhadap hipotesis yang bersaing. Jadi, jika matematika dikonfirmasi bersama dengan hipotesis empiris terbaik kami (seperti klaim teori tak-tergantikan), harus ada pesaing yang bebas matematika. Tapi Sober menunjukkan bahwa semua teori ilmiah menggunakan inti matematika yang sama. Dengan demikian, karena tidak ada hipotesis yang bersaing, merupakan kesalahan untuk berpikir bahwa matematika menerima dukungan konfirmasi dari bukti empiris dalam cara hipotesis ilmiah lainnya.

Ini dengan sendirinya bukan merupakan keberatan terhadap P1 dari argumen yang tidak dapat dipisahkan, seperti yang cepat ditunjukkan oleh Sober (Sober 1993, hlm. 53), meskipun itu merupakan keberatan terhadap pandangan keseluruhan Quine bahwa matematika adalah bagian dari ilmu empiris. Seperti keberatan ketiga Maddy, ini memberi kita alasan untuk menolak holisme konfirmasi. Dampak keberatan ini pada P1 tergantung pada seberapa penting Anda berpikir holisme konfirmasi untuk premis itu. Tentu saja banyak dari daya tarik intuitif P1 terkikis jika konfirmasi holisme ditolak. Dalam kasus apa pun, untuk mengambil kesimpulan dari argumen yang tidak dapat digantikan dalam menghadapi keberatan Sober atau Maddy adalah untuk memegang posisi bahwa setidaknya diizinkan untuk memiliki komitmen ontologis terhadap entitas yang tidak menerima dukungan empiris. Ini, jika tidak bisa dipertahankan,tentu saja tidak dalam semangat argumen Quine-Putnam yang asli.

5. Versi Argumen Penjelasan

Argumen yang menentang holisme dari Maddy dan Sober menghasilkan evaluasi ulang terhadap argumen yang tidak dapat digantikan. Jika, conta Quine, para ilmuwan tidak menerima semua entitas dari teori-teori ilmiah terbaik kita, di mana ini meninggalkan kita? Kita perlu kriteria kapan harus memperlakukan posisi secara realistis. Di sinilah perdebatan tentang argumen yang sangat diperlukan sangat menarik. Realis ilmiah, setidaknya, menerima posisi teori-teori ilmiah terbaik kami yang berkontribusi pada penjelasan ilmiah. Menurut garis pemikiran ini, kita harus percaya pada elektron, katakanlah, bukan karena mereka sangat diperlukan untuk teori ilmiah terbaik kita tetapi karena mereka sangat diperlukan dalam cara yang sangat spesifik: mereka jelas sangat diperlukan. Jika matematika dapat ditunjukkan untuk berkontribusi pada penjelasan ilmiah dengan cara ini,Realisme matematika akan kembali setara dengan realisme ilmiah. Memang, ini adalah fokus dari sebagian besar diskusi kontemporer tentang argumen yang sangat diperlukan. Pertanyaan sentralnya adalah: apakah matematika berkontribusi pada penjelasan ilmiah dan jika demikian, apakah matematika melakukannya dengan cara yang benar.

Salah satu contoh bagaimana matematika dapat dianggap sebagai penjelasan ditemukan dalam kasus jangkrik periodik (Yoshimura 1997 dan Baker 2005). Magicicada Amerika Utara ditemukan memiliki siklus hidup 13 atau 17 tahun. Diusulkan oleh beberapa ahli biologi bahwa ada keuntungan evolusioner dalam memiliki siklus kehidupan yang prima. Siklus hidup bilangan prima berarti bahwa Magicicadas menghindari persaingan, pemangsa potensial, dan hibridisasi. Idenya cukup sederhana: karena bilangan prima tidak memiliki faktor non-sepele, ada sangat sedikit siklus hidup lain yang dapat disinkronkan dengan siklus hidup bilangan prima. Dengan demikian Magicicadas memiliki strategi penghindaran yang efektif, yang dalam kondisi tertentu, akan dipilih. Sementara penjelasan yang diajukan melibatkan biologi (misalnya teori evolusi, teori persaingan dan predasi),bagian penting dari penjelasan berasal dari teori bilangan, yaitu, fakta mendasar tentang bilangan prima. Baker (2005) berpendapat bahwa ini adalah penjelasan yang benar-benar matematis dari fakta biologis. Ada contoh lain dari dugaan penjelasan matematis dalam literatur tetapi ini tetap yang paling banyak dibahas dan merupakan sesuatu dari anak poster untuk penjelasan matematika.

Pertanyaan tentang kasus ini fokus pada apakah matematika benar-benar berkontribusi pada penjelasan (atau apakah itu hanya berdiri untuk fakta-fakta biologis dan inilah yang benar-benar melakukan penjelasan), apakah penjelasan yang diduga adalah penjelasan sama sekali, dan apakah matematika yang dimaksud terlibat dalam penjelasan dengan cara yang benar. Akhirnya, perlu disebutkan bahwa meskipun minat baru-baru ini dalam penjelasan matematis muncul dari perdebatan tentang argumen yang tidak dapat diabaikan, status penjelasan matematis dalam ilmu-ilmu empiris juga telah menarik minat pada haknya sendiri. Bahkan,penjelasan seperti itu (kadang-kadang disebut "penjelasan ekstra-matematis") membuat orang sangat berpikir tentang penjelasan fakta-fakta matematika dengan menarik fakta-fakta matematika lebih lanjut (kadang-kadang disebut "penjelasan intra-matematika"). Kedua jenis penjelasan matematis ini saling terkait, tentu saja. Jika, misalnya, beberapa teorema matematika memiliki penjelasannya tetap dalam bukti penjelas, maka setiap aplikasi teorema itu dalam ranah empiris akan memunculkan kasus prima facie bahwa penjelasan lengkap tentang fenomena empiris yang dipermasalahkan melibatkan informasi intra penjelasan matematis teorema. Untuk alasan ini dan lainnya, kedua jenis penjelasan matematis telah menarik banyak minat dari filsuf matematika dan filsuf ilmu dalam beberapa tahun terakhir. Kedua jenis penjelasan matematis ini saling terkait, tentu saja. Jika, misalnya, beberapa teorema matematika memiliki penjelasannya tetap dalam bukti penjelas, maka setiap aplikasi teorema itu dalam ranah empiris akan memunculkan kasus prima facie bahwa penjelasan lengkap tentang fenomena empiris yang dipermasalahkan melibatkan informasi intra penjelasan matematis teorema. Untuk alasan ini dan lainnya, kedua jenis penjelasan matematis telah menarik banyak minat dari filsuf matematika dan filsuf ilmu dalam beberapa tahun terakhir. Kedua jenis penjelasan matematis ini saling terkait, tentu saja. Jika, misalnya, beberapa teorema matematika memiliki penjelasannya tetap dalam bukti penjelas, maka setiap aplikasi teorema itu dalam ranah empiris akan memunculkan kasus prima facie bahwa penjelasan lengkap tentang fenomena empiris yang dipermasalahkan melibatkan informasi intra penjelasan matematis teorema. Untuk alasan ini dan lainnya, kedua jenis penjelasan matematis telah menarik banyak minat dari filsuf matematika dan filsuf ilmu dalam beberapa tahun terakhir.maka aplikasi apa pun dari teorema itu dalam ranah empiris akan memunculkan kasus prima facie bahwa penjelasan lengkap dari fenomena empiris yang dipertanyakan melibatkan penjelasan teorema matematis dari teorema tersebut. Untuk alasan ini dan lainnya, kedua jenis penjelasan matematis telah menarik banyak minat dari filsuf matematika dan filsuf ilmu dalam beberapa tahun terakhir.maka setiap aplikasi teorema itu dalam ranah empiris akan memunculkan kasus prima facie bahwa penjelasan lengkap tentang fenomena empiris yang dipertanyakan melibatkan penjelasan teorema teorema intra-matematis. Untuk alasan ini dan lainnya, kedua jenis penjelasan matematis telah menarik banyak minat dari filsuf matematika dan filsuf ilmu dalam beberapa tahun terakhir.

6. Kesimpulan

Tidak jelas seberapa merusak kritik di atas terhadap argumen yang sangat diperlukan dan apakah versi penjelasan dari argumen tersebut bertahan. Memang, perdebatan itu sangat hidup, dengan banyak artikel baru-baru ini membahas topik tersebut. (Lihat catatan bibliografi di bawah ini.) Terkait erat dengan debat ini adalah pertanyaan apakah ada argumen yang layak untuk platonisme. Jika, seperti yang diyakini sebagian orang, argumen yang tidak dapat diabaikan adalah satu-satunya argumen untuk platonisme yang layak dipertimbangkan, maka jika gagal, platonisme dalam filsafat matematika tampaknya bangkrut. Relevansi kemudian adalah status argumen lain untuk dan melawan realisme matematika. Dalam kasus apa pun, perlu dicatat bahwa argumen yang tidak dapat diabaikan adalah salah satu dari sejumlah kecil argumen yang mendominasi diskusi ontologi matematika. Karena itu penting agar argumen ini tidak dilihat secara terpisah.

Dua argumen paling penting terhadap realisme matematika adalah masalah epistemologis untuk platonisme - bagaimana kita bisa mengetahui pengetahuan tentang entitas matematika yang lembam? (Benacerraf 1983b) - dan masalah ketidakpastian untuk pengurangan angka menjadi set - jika angka adalah set, set mana yang mereka (Benacerraf 1983a)? Terlepas dari argumen yang sangat diperlukan, argumen utama lainnya untuk realisme matematika menarik bagi keinginan untuk semantik yang seragam untuk semua wacana: matematika dan non-matematika sama (Benacerraf 1983b). Realisme matematika, tentu saja, memenuhi tantangan ini dengan mudah, karena ia menjelaskan kebenaran pernyataan matematika dengan cara yang persis sama seperti di domain lain. [8] Namun tidak begitu jelas, bagaimana nominalisme dapat memberikan semantik yang seragam.

Akhirnya, perlu ditekankan bahwa bahkan jika argumen yang tidak dapat diabaikan adalah satu-satunya argumen yang baik untuk platonisme, kegagalan argumen ini tidak selalu mengotorisasi nominalisme, karena argumen yang terakhir juga mungkin tanpa dukungan. Tampaknya adil untuk mengatakan, bahwa jika keberatan terhadap argumen ketidaktergantungan dipertahankan maka salah satu argumen paling penting untuk platonisme dirusak. Ini akan meninggalkan platonisme di tanah yang agak goyah.

Bibliografi

Meskipun argumen sangat diperlukan dapat ditemukan di banyak tempat dalam tulisan-tulisan Quine (termasuk 1976; 1980a; 1980b; 1981a; 1981c), locus classicus adalah monograf pendek Putnam, Philosophy of Logic (dimasukkan sebagai bab dari edisi kedua dari volume ketiga) makalah yang dikumpulkannya (Putnam, 1979b)). Lihat juga Putnam (1979a) dan pengantar Field (1989) yang memiliki garis besar argumen. Colyvan (2001) adalah pembelaan argumen yang berkelanjutan.

Lihat Chihara (1973), dan Field (1980; 1989) untuk serangan terhadap premis kedua dan Colyvan (1999; 2001), Lyon dan Colyvan (2008), Maddy (1990), Malament (1982), Resnik (1985), Shapiro (1983) dan Urquhart (1990) untuk kritik terhadap program Field. Untuk pandangan yang cukup komprehensif pada strategi nominalis dalam filsafat matematika (termasuk diskusi yang baik tentang program Field), lihat Burgess dan Rosen (1997), sementara Feferman (1993) mempertanyakan jumlah matematika yang diperlukan untuk sains empiris. Lihat Azzouni (1997; 2004; 2012), Balaguer (1996b; 1998), Bueno (2012), Leng (2002; 2010; 2012), Liggins (2012), Maddy (1992; 1995; 1997), Melia (2000; 2002)), Peressini (1997), Pincock (2004), Sober (1993), Vineberg (1996) dan Yablo (1998; 2005; 2012) untuk serangan terhadap premis pertama. Baker (2001; 2005; 2012), Bangu (2012), Colyvan (1998a; 2001; 2002;2007; 2010; 2012), Hellman (1999) dan Resnik (1995a; 1997) membalas beberapa keberatan ini.

Untuk varian argumen ketidaktergantungan Quinean lihat Maddy (1992) dan Resnik (1995a).

Ada banyak literatur baru-baru ini tentang versi penjelasan dari argumen yang sangat diperlukan. Presentasi awal argumen semacam itu dapat ditemukan di Colyvan (1998b; 2002), dan paling eksplisit di Baker (2005), meskipun karya ini telah diantisipasi oleh Steiner (1978a; 1978b) pada penjelasan matematis dan Smart pada penjelasan geometris (1990). Beberapa artikel utama pada versi penjelasan argumen termasuk Baker (2005; 2009; 2012; 2017), Bangu (2008; 2013), Baron (2014), Batterman (2010), Bueno dan Prancis (2012), Colyvan (2002; 2010; 2012; 2018), Lyon (2012), Rizza (2011), Saatsi (2011; 2016) dan Yablo (2012).

Timbul dari perdebatan ini tentang peran penjelasan matematis dalam argumen yang sangat diperlukan, telah menjadi minat baru dalam penjelasan matematis untuk kepentingannya sendiri. Ini termasuk bekerja pada rekonsiliasi penjelasan matematika dalam sains dengan bentuk lain dari penjelasan ilmiah serta menyelidiki penjelasan dalam matematika itu sendiri. Beberapa karya ini meliputi: Baron (2016) Baron et al. (2017), Colyvan et al. (2018), Lange (2017), Mancosu (2008), dan Pincock (2011).

  • Azzouni, J., 1997, "Matematika Terapan, Komitmen Eksistensial dan Tesis Indispensabilitas Quine-Putnam", Philosophia Mathematica, 5 (3): 193-209.
  • –––, 2004, Deflating Existential Consequence, New York: Oxford University Press.
  • –––, 2012, “Mengambil Jalan yang Mudah dari Dodge”, Mind, 121 (484): 951–965.
  • Baker, A., 2001, “Matematika, Ketidakpastian dan Kemajuan Ilmiah”, Erkenntnis, 55 (1): 85–116.
  • –––, 2005, “Adakah Penjelasan Matematika Asli tentang Fenomena Fisik?”, Mind, 114 (454): 223–238.
  • –––, 2009, “Penjelasan Matematis dalam Ilmu Pengetahuan”, British Journal for the Philosophy of Science, 60 (3): 611–633.
  • –––, 2012, “Penjelasan Matematis Berbasis Sains”, Mind, 121 (482): 243–267.
  • –––, 2017, “Matematika Matriks”, Australasian Journal of Philosophy, 95 (4): 779–793.
  • Balaguer, M., 1996a, “Menuju Nominalisasi Mekanika Kuantum”, Mind, 105 (418): 209–226.
  • –––, 1996b, “Sebuah Catatan Fiksi tentang Aplikasi Matematika yang Tidak Terpisahkan”, Studi Filsafat, 83 (3): 291–314.
  • –––, 1998, Platonisme dan Anti-Platonisme dalam Matematika, New York: Oxford University Press.
  • Bangu, SI, 2008, "Inferensi Penjelasan Terbaik dan Realisme Matematika", Synthese, 160 (1): 13-20.
  • –––, 2012, Penerapan Matematika dalam Sains: Indispensability dan Ontology, London: Palmgrave, MacMillan.
  • –––, 2013, “Indispensability and Explanation”, British Journal for the Philosophy of Science, 64 (2): 225–277.
  • Baron, S., 2014, "Optimasi dan Penjelasan Matematika: Melakukan Lévy Walk", Synthese, 191 (3): 459-479.
  • –––, 2016, “Menjelaskan Penjelasan Matematika”, The Philosophical Quarterly, 66 (264): 458–480.
  • Baron, S., Colyvan, M., dan Ripley, D., 2017, "Bagaimana Matematika Dapat Membuat Perbedaan", Philprinters 'Imprint, 17 (3): 1–29.
  • Batterman, R., 2010, “Tentang Peran Penjelasan Matematika dalam Ilmu Empiris”, Jurnal Inggris untuk Filsafat Ilmu Pengetahuan, 61 (1): 1–25.
  • Benacerraf, P., 1983a, "What Numbers Could Be Be", dicetak ulang dalam Benacerraf dan Putnam (1983), hlm. 272–294.
  • –––, 1983b, “Matematis Kebenaran”, dicetak ulang dalam Benacerraf dan Putnam (1983), hlm. 403–420 dan dalam Hart (1996), hlm. 14–30.
  • Benacerraf, P. dan Putnam, H. (eds.), 1983, Filsafat Matematika: Bacaan Pilihan, edisi ke-2, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Bueno, O., 2003, “Mungkinkah Menominasikan Mekanika Kuantum?”, Philosophy of Science, 70 (5): 1424–1436.
  • –––, 2012, “Jalan Mudah menuju Nominalisme”, Mind, 121 (484): 967–982.
  • Bueno, O. dan French, S., 2012, “Bisakah Matematika Menjelaskan Fenomena Fisik?”, Jurnal Inggris untuk Filsafat Ilmu Pengetahuan, 63 (1): 85–113.
  • Burgess, J., 1983, "Mengapa Aku Bukan Seorang Nominalis", Jurnal Notre Dame Formal Logic, 24 (1): 93-105.
  • Burgess, J. dan Rosen, G., 1997, Subjek tanpa Objek: Strategi untuk Nominalistik Interpretasi Matematika, Oxford: Clarendon.
  • Chihara, C., 1973, Ontologi dan Prinsip Vicious Circle, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • Colyvan, M., 1998a, “In Defense of Indispensability”, Philosophia Mathematica, 6 (1): 39–62.
  • –––, 1998b, “Bisakah Prinsip Eleatic Dapat Dibenarkan?”, The Canadian Journal of Philosophy, 28 (3): 313–336.
  • –––, 1999, “Teori Konfirmasi dan Ketidakpastian”, Studi Filsafat, 96 (1): 1–19.
  • –––, 2001, The Indispensability of Mathematics, New York: Oxford University Press.
  • –––, 2002, “Pertimbangan Matematika dan Estetika dalam Sains”, Mind, 111 (441): 69–74.
  • –––, 2007, “Rekreasi Matematika versus Pengetahuan Matematika”, dalam M. Leng, A. Paseau, dan M. Potter (eds.), Pengetahuan Matematika, Oxford: Oxford University Press, hlm. 109–122.
  • –––, 2010, “Tidak Ada Jalan yang Mudah menuju Nominalisme”, Mind, 119 (474): 285–306.
  • –––, 2012, “Pekerjaan Jalan di Depan: Alat Berat di Jalan yang Mudah”, Mind, 121 (484): 1031–1046.
  • –––, 2018, “Seluk Beluk Penjelasan Matematika”, Mathematics Intelligencer, 40 (4): 26–9.
  • Colyvan, M., Cusbert, J., dan McQueen, K., 2018, "Dua Rasa Penjelasan Matematika", dalam A. Reutlinger dan J. Saatsi (eds.), Penjelasan di luar Sebab-Akibat, Oxford: Oxford University Press, pp. 231–249.
  • Feferman, S., 1993, "Mengapa Sedikit Berlalu Jauh: Yayasan Logika Matematika yang Berlaku Secara Ilmiah", Prosiding dari Philosophy of Science Association, 2: 442–455.
  • Field, HH, 1980, Sains Tanpa Angka: Pertahanan Nominalisme, Oxford: Blackwell.
  • –––, 1989, Realisme, Matematika dan Modalitas, Oxford: Blackwell.
  • Hart, WD (ed.), 1996, The Philosophy of Mathematics, Oxford: Oxford University Press.
  • Hellman, G., 1999, “Beberapa Seluk Beluk Indispensability: A Perspektif Modal-Struktural”, dalam A. Cantini, E. Casari dan P. Minari (eds.), Logika dan Yayasan Matematika, Dordrecht: Kluwer, pp 25–39.
  • Irvine, AD (ed.), 1990, Physicalism in Mathematics, Dordrecht: Kluwer.
  • Kitcher, P., 1984, Sifat Pengetahuan Matematika, New York: Oxford University Press.
  • Lange, M., 2017, Karena Tanpa Penyebab: Penjelasan Non-kausal dalam Sains dan Matematika, Oxford: Oxford University Press.
  • Leng, M., 2002, “Ada Apa dengan Indispensability? (Atau, Kasus untuk Matematika Rekreasi)”, Synthese, 131 (3): 395–417.
  • –––, 2010, Matematika dan Realitas, Oxford: Oxford University Press.
  • –––, 2012, “Santai: Respon terhadap Colyvan”, Mind, 121 (484): 983–995.
  • Liggins, D., 2012, “Weaseling and Content of Science”, Mind, 121 (484): 997–1005.
  • Lyon, A., 2012, "Penjelasan Matematis Fakta Empiris, dan Realisme Matematika", Australasian Journal of Philosophy, 90 (3): 559–578.
  • Lyon, A. dan Colyvan, M., 2008, “Kekuatan Penjelasan Ruang Fase”, Philosophia Mathematica, 16 (2): 227–243.
  • Maddy, P., 1990, "Platonisme Fisikistik", dalam AD Irvine (ed.), Fisikisme dalam Matematika, Dordrecht: Kluwer, hlm. 259–289.
  • –––, 1992, “Indispensability and Practice”, Journal of Philosophy, 89 (6): 275–289.
  • –––, 1995, “Naturalisme dan Ontologi”, Philosophia Mathematica, 3 (3): 248–270.
  • –––, 1997, Naturalisme dalam Matematika, Oxford: Clarendon Press.
  • –––, 1998, “Bagaimana menjadi Naturalis tentang Matematika”, dalam HG Dales dan G. Oliveri (eds.), Truth in Mathematics, Oxford: Clarendon, hlm. 161–180.
  • Malament, D., 1982, "Tinjauan Ilmu Lapangan Tanpa Angka", Journal of Philosophy, 79 (9): 523–534 dan dicetak ulang di Resnik (1995b), hlm. 75–86.
  • Mancosu, P., 2008, "Penjelasan Matematika: Mengapa Penting", dalam P. Mancosu (ed.), The Philosophy of Mathematical Practice, Oxford: Oxford University Press, 134–150.
  • Melia, J., 2000, “Melemahkan Argumen Indispensabilitas”, Mind, 109 (435): 455–479
  • –––, 2002, “Response to Colyvan”, Mind, 111 (441): 75–80.
  • Parsons, C., 1980, "Intuisi Matematika", Prosiding Masyarakat Aristotelian, 80: 145–168; dicetak ulang dalam Resnik (1995b), hlm. 589–612 dan dalam Hart (1996), hlm. 95–113.
  • –––, 1983, “Quine on the Philosophy of Mathematics”, in Mathematics in Philosophy: Esai Terpilih, Ithaca, NY: Cornell University Press, hlm. 176–205.
  • Peressini, A., 1997, "Masalah dengan Indispensability: Menerapkan Matematika Murni dalam Teori Fisik", Philosophia Mathematica, 5 (3): 210-227.
  • Pincock, C., 2004, “Kekeliruan yang Mengungkap dalam Argumen Indispensabilitas Colyvan”, Philosophy of Science, 71 (1): 61–79.
  • –––, 2011, “Penjelasan Matematika Pelangi”, Studi Sejarah dan Filsafat Fisika Modern, 42 (1): 13–22.
  • Putnam, H., 1979a, "Apa itu Matematika Kebenaran", dalam Materi dan Metode Matematika: Makalah Filsafat, Volume 1, edisi ke-2, Cambridge: Cambridge University Press, hlm. 60–78.
  • –––, 1979b, “Philosophy of Logic”, dicetak ulang dalam Matriks dan Metode Matematika: Makalah Filsafat, Volume 1, edisi ke-2, Cambridge: Cambridge University Press, hlm. 323–357.
  • –––, 2012, “Argumen Ketidakpastian dalam Filsafat Matematika”, dalam H. Putnam, Filsafat dalam Zaman Ilmu Pengetahuan: Fisika, Matematika dan Skeptisisme, Cambridge, MA: Harvard University Press, bab. 9.
  • Quine, WV, 1960, Word and Object, Cambridge, MA: MIT Press.
  • –––, 1976, “Carnap and Logical Truth” dicetak ulang dalam The Ways of Paradox dan Other Essays, edisi revisi, Cambridge, MA: Harvard University Press, hlm. 107–132 dan dalam Benacerraf dan Putnam (1983), hlm. 355 –376.
  • –––, 1980a, “Tentang Apa Adanya Ada”, dicetak ulang dalam From a Logical Point of View, edisi ke-2, Cambridge, MA: Harvard University Press, hlm. 1–19.
  • –––, 1980b, “Two Dogmas of Empiricism”, dicetak ulang dalam From a Logical Point of View, edisi ke-2, Cambridge, MA: Harvard University Press, hlm. 20–46; dicetak ulang dalam Hart (1996), hlm. 31–51 (Referensi halaman adalah untuk pencetakan ulang pertama).
  • –––, 1981a, “Benda dan Tempatnya di Teori”, di Teori dan Benda, Cambridge, MA: Harvard University Press, hlm. 1–23.
  • –––, 1981b, “Lima Tonggak Empirisme”, dalam Theories and Things, Cambridge, MA: Harvard University Press, hlm. 67–72.
  • –––, 1981c, “Keberhasilan dan Batas Matematika”, dalam Theories and Things, Cambridge, MA: Harvard University Press, hlm. 148–155.
  • –––, 1984, “Tinjauan Parsons, Matematika dalam Filsafat,” Journal of Philosophy, 81 (12): 783–794.
  • –––, 1986, “Balas ke Charles Parsons”, dalam L. Hahn dan P. Schilpp (eds.), The Philosophy of WV Quine, La Salle, ILL: Open Court, hlm. 396-403.
  • Resnik, MD, 1985, “Bagaimana Nominalis adalah Nominalisme Hartry Field”, Studi Filsafat, 47: 163–181.
  • –––, 1995a, “Realisme Matematika Ilmiah Vs: Argumen Ketidakpastian”, Philosophia Mathematica, 3 (2): 166–174.
  • –––, 1997, Matematika sebagai Ilmu Pola, Oxford: Clarendon Press.
  • Resnik, MD (ed.), 1995b, Objek Matematika dan Pengetahuan Matematika, Aldershot (Inggris): Dartmouth.
  • Rizza, D., 2011, "Magicicada, Penjelasan Matematika dan Realisme Matematika", Erkenntnis, 74 (1): 101–114.
  • Saatsi, J., 2011, “Argumen Indispensabilitas yang Ditingkatkan: Peran Representasional versus Penjelasan untuk Matematika dalam Sains”, Jurnal Inggris untuk Filsafat Ilmu Pengetahuan, 63 (1): 143–154.
  • –––, 2016, “Tentang 'Peran Penjelasan yang Tidak Terpisahkan' dari Matematika”, Mind, 125 (500): 1045–1070.
  • Shapiro, S., 1983, "Conservativeness and Incompleteness", Journal of Philosophy, 80 (9): 521-531; dicetak ulang dalam Resnik (1995b), hlm. 87–97 dan dalam Hart (1996), hlm. 225–234
  • Smart, JJC, 1990, "Alamat Pembukaan Penjelasan", dalam D. Knowles (ed.), Penjelasan dan Batasnya, Cambridge: Cambridge University Press, 1–19.
  • Sober, E., 1993, “Matematika dan Ketidakpastian”, Philosophical Review, 102 (1): 35–57.
  • Steiner, M., 1978a, "Penjelasan Matematika", Studi Filsafat, 34 (2): 135–151.
  • –––, 1978b, “Matematika, Penjelasan, dan Pengetahuan Ilmiah”, Noûs, 12 (1): 17–28.
  • Urquhart, A., 1990, "Logika Teori Fisik", dalam AD Irvine (ed.), Physicalism in Mathematics, Dordrecht: Kluwer, hlm. 145–154.
  • Vineberg, S., 1996, "Konfirmasi dan Indispensability of Matematika to Science", PSA 1996 (Philosophy of Science, suplemen vol. 63), hlm. 256-263.
  • Yablo, S., 1998, “Apakah Ontologi Bergantung pada Kesalahan?”, Masyarakat Aristotelian (Volume Tambahan), 72: 229–261.
  • –––, 2005, "The Myth of the Seven", dalam ME Kalderon (ed.), Fictionalism in Metaphysics, Oxford: Oxford University Press, hlm. 90–115.
  • –––, 2012, “Penjelasan, Ekstrapolasi, dan Keberadaan”, Mind, 121 (484): 1007–1029.
  • Yoshimura, J., 1997, "Asal Usul Evolusi Cicadas Berkala selama Zaman Es", American Naturalist, 149 (1): 112-124.

Alat Akademik

ikon sep man
ikon sep man
Cara mengutip entri ini.
ikon sep man
ikon sep man
Pratinjau versi PDF dari entri ini di Friends of the SEP Society.
ikon inpho
ikon inpho
Cari topik entri ini di Internet Ontology Philosophy Project (InPhO).
ikon makalah phil
ikon makalah phil
Bibliografi yang disempurnakan untuk entri ini di PhilPapers, dengan tautan ke basis datanya.

Sumber Daya Internet lainnya

[Silakan hubungi penulis dengan saran.]

Direkomendasikan: